北师大版数学八年级下第1章《三角形的证明》单元测试试卷及答案

1、第 1 章三角形的证明单元测试试卷一选择题（共9 小题）1 如图，在Rt ACB 中， ACB=90 °，A=25 °， D 是 AB 上一点将Rt ABC 沿 CD 折叠，使B 点落在 AC 边上的 B 处，则ADB 等于（）A 25°B 30°C 35°D 40°2轮船从B 处以每小时50 海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C 处，在 C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是A 25B 25C 50D 253

2、如图， ABC 中，C=90°， AC=3，B=30°，点 P 是 BC 边上的动点，则AP 长不可能是（B 4.2C 5.8D 74如图，在 ABC 中， ABC 和 ACB 的平分线交于点E，过点 E作 MN BC 交 AB 于 M，交AC 于N，若BM+CN=9 ，则线段MN 的长为（） w W w . K b 1.c o MA 6B 7C 8D 95如图，AD 是 ABC 的角平分线，DF AB ，垂足为F， DE=DG ， ADG 和 AED 的面积分别为50和 39，则 EDF 的面积为（）C 7D 3.56在Rt ABC 中，C=90°， AC=9

3、， BC=12，则点C 到 AB 的距离是（）ABCD7 如图， 在 ABC 中 AD BC， CE AB， 垂足分别为D、 E， AD、 CE 交于点 H， 已知 EH=EB=3 ， AE=4，则 CH 的长是（）A 1B 2C 3D 48如图，点O 是矩形 ABCD 的中心，E 是 AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3 ，9如图，已知：MON=30 °，点A 1、A2、A3在射线 ON 上，点B 1、B2、B3在射线 OM 上， A 1B1A2、A 6C 32B 12D 64二填空题（共8 小题）10 如图，在 ABC 中， AB=AC ， BAC 的

4、角平分线交BC 边于点D， AB=5， BC=6， 则 AD= 11如图所示，在 ABC 中，B=90°， AB=3 ， AC=5，将 ABC 折叠，使点C 与点 A 重合，折痕为DE，则 ABE 的周长为 12如图，等边 ABC 的边长为6， AD 是 BC 边上的中线，M 是 AD 上的动点，E 是 AC 边上一点，若AE=2， EM+CM 的最小值为 13 如图， 在 Rt ABC 中， ACB=90 °， AB 的垂直平分线DE 交 AC 于 E， 交 BC 的延长线于F， 若F=30°，DE=1 ，则 BE 的长是 14 如图，已知 ABC 是等边三角形

5、，点 B、 C、 D、 E 在同一直线上，且 CG=CD， DF=DE ， 则 E= 度15如图，在 ABC 中， BC=5cm ， BP、 CP 分别是ABC 和 ACB 的角平分线，且PD AB ， PE AC，则 PDE 的周长是 cm16如图，梯形ABCD 中，AB DC， ADC+ BCD=90 °，且 DC=2AB ，分别以DA， AB， BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1， S2， S3，则S1， S2， S3之间的关系是 n 个三角形的面积为17如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第三解答题（共5 小题）18如图，在 ABC 中，C=90°， A

6、D 平分 CAB ，交 CB 于点D，过点D 作 DE AB 于点E（ 1）求证： ACD AED ；（ 2）若B=30 °， CD=1 ，求 BD 的长19如图， ABC 中， AB=BC ， BE AC 于点 E， AD BC 于点D，BAD=45 °， AD 与 BE 交于点 F，连接CF（ 1）求证：BF=2AE ；（ 2）若CD= ，求 AD 的长20 如图， ABC 和 ADE 都是等腰三角形，且BAC=90 °， DAE=90 °， B， C， D 在同一条直线上求证： BD=CE 21如图，直线AC BD，连接AB，直线 AC、 BD 及

7、线段 AB 把平面分成 、 、 、 四个部分，规定：线上各点不属于任何部分当动点P 落在某个部分时，连接PA， PB，构成PAC，APB，PBD三个角 （提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（ 1）当动点P 落在第 部分时，求证：APB= PAC+ PBD；（ 2）当动点P 落在第 部分时，APB= PAC+ PBD 是否成立？（直接回答成立或不成立）（ 3）当动点P 落在第 部分时，全面探究PAC， APB， PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明22在 Rt ABC 中， ACB=90 °，A=30°，

8、点 D 是 AB 的中点，DE BC，垂足为点E，连接CD（ 1）如图1 ， DE 与 BC 的数量关系是 ；（ 2）如图2，若P 是线段 CB 上一动点（点P 不与点 B、 C 重合） ，连接DP，将线段DP 绕点 D 逆时针旋转 60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、 BF、 BP 三者之间的数量关系，并证明你的结论；（ 3）若点P 是线段 CB 延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3 中补全图形，并直接写出DE、BF、 BP 三者之间的数量关系参考答案与试题解析一选择题（共9 小题）1 如图，在Rt ACB 中， ACB=90 °，A=25 °，

9、 D 是 AB 上一点将Rt ABC 沿 CD 折叠，使B 点落在 AC 边上的 B 处，则ADB 等于（）A 25°B 30°C 35°D 40°解答： 解：在Rt ACB 中， ACB=90 °，A=25 °，B=90 ° 25°=65°， CDB 由 CDB 反折而成，CB D= B=65°，CB D 是 AB D 的外角，ADB = CBDA=65 ° 25° =40° 故选 D 2轮船从B 处以每小时50 海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在

10、B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C 处，在 C 处观测灯塔A 位于北偏东60°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是A 25B 25C 50D 25解答：解：根据题意， 1= 2=30°，ACD=60°，ACB=30°+60°=90°，CBA=75°30°=45°，ABC 为等腰直角三角形， BC=50 ×0.5=25， AC=BC=25 （海里） 故选D3如图， ABC 中，C=90°， AC=3，B=30°，点 P 是 BC 边上的动点，

11、则AP 长不可能是（）A 3.5B 4.2C 5.8D 7解答：解：根据垂线段最短，可知AP 的长不可小于3； ABC 中，C=90°， AC=3，B=30°， AB=6 ， AP 的长不能大于6故选 D 4如图，在 ABC 中， ABC 和 ACB 的平分线交于点E，过点 E作 MN BC 交 AB 于 M，交 AC 于N ，若 BM+CN=9 ，则线段MN 的长为（）C 8A 6B 7D 9考点：分析：解答：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质由ABC、ACB 的平分线相交于点E，MBE= EBC，ECN= ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可MBE= M

12、EB ， NEC= ECN，然后即可求得结论ABC 、ACB 的平分线相交于点E，MBE= EBC， ECN= ECB，MN BC，EBC= MEB ， NEC= ECB， w W w . K b 1.c o MMBE= MEB ，NEC= ECN，BM=ME ， EN=CN ，MN=ME+EN ，MN=BM+CN BM+CN=9MN=9 ， 故选 D5如图，AD 是 ABC 的角平分线，DF AB ，垂足为F， DE=DG ， ADG 和 AED 的面积分别为50和 39，则 EDF 的面积为（C 7D 3.5考点： 专题： 分析：解答：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质计算题；压轴题作

13、 DM=DE 交 AC 于 M，作 DN AC，利用角平分线的性质得到DN=DF ，将三角形EDF 的面积转化为三角形DNM 的面积来求解：作 DM=DE 交 AC 于 M，作 DN AC， DE=DG ， DM=DE ， DM=DG ， AD 是 ABC 的角平分线，DF AB， DF=DN ，在 Rt DEF 和 Rt DMN 中， Rt DEF Rt DMN （ HL） ， ADG 和 AED 的面积分别为50 和 39， S MDG=S ADG S ADM =50 39=11，S DNM =S DEF= S MDG=5.5故选 B点评：本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，

14、解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求6在Rt ABC 中，C=90°， AC=9 ， BC=12，则点 C 到 AB 的距离是（ABC）D解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在 Rt ABC 中， AC=9 ， BC=12，根据勾股定理得：AB=15，过C 作 CD AB ，交AB于点D ，又 S ABC= AC?BC= AB ?CD，CD= =，则点 C 到 AB 的距离是故选 A7 如图， 在 ABC 中 AD BC， CE AB， 垂足分别为D、 E， AD、 CE 交于点 H， 已知 EH=EB=3 ， AE=4，则 CH 的

15、长是（）A 1B 2C 3D 4解答： ABC 中， AD BC， CE AB，AEH= ADB=90 °；EAH+ AHE=90 °， DHC+ BCH=90 °，EHA= DHC（对顶角相等），EAH= DCH（等量代换）； BCE 和 HAE 中，AEH CEB（ AAS ） ；AE=CE ；EH=EB=3 ， AE=4，CH=CE EH=AE EH=4 3=1 故选A8如图，点O 是矩形 ABCD 的中心，E 是 AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3 ，则折痕 CE 的长为（）BCD解答： 解：CEO 是 CEB 翻折而成， B

16、C=OC， BE=OE， B= COE=90°， EO AC ， O 是矩形 ABCD 的中心， OE 是 AC 的垂直平分线，AC=2BC=2 ×3=6， AE=CE ，在 Rt ABC 中，AC2=AB2+BC2，即62=AB 2+32，解得AB=3 ，在 Rt AOE 中，设 OE=x，则 AE=3 x，AE 2=AO 2+OE2，即（3 x） 2=32+x2，解得x= ， AE=EC=3 =2故选 A9如图，已知：MON=30 °，点A 1、A2、A3在射线 ON 上，点B 1、B2、B3在射线 OM 上， A 1B1A2、 A2B2A3、 A3B3A4

17、均为等边三角形，若OA 1=1，则 A6B6A7的边长为（）A 6B 12C 32D 64解答：解：A 1B1A2是等边三角形，A1B1=A2B1，3= 4= 12=60°，2=120°，MON=30 °，1=180° 120° 30°=30°，3=60°，5=180° 60° 30°=90°，MON= 1=30°，OA1=A1B1=1 ，A2B1=1，A2B2A3、 A3B3A4是等边三角形，11= 10=60°，13=60 °，4= 12=6

18、0°，A1B1 A2B2 A3B3， B1A2 B2A3，1= 6= 7=30°，5= 8=90°，A2B2=2B1A2， B3A3=2B2A3，A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，A6B6=32B1A2=32C二填空题（共8 小题）10如图，在 ABC 中， AB=AC ， BAC 的角平分线交BC 边于点D， AB=5， BC=6，则 AD= 4考点：勾股定理；等腰三角形的性质分析：首先根据等腰三角形的性质：等腰三角形的三线合一，求出DB=DC= CB， AD BC，再利用勾股定理求出AD 的长解答：解： AB=A

19、C ， AD 是 BAC 的角平分线， DB=DC= CB=3， AD BC，在 Rt ABD 中， AD 2+BD 2=AB 2， AD=4，故答案为：4点评：此题主要考查了等腰三角形的性质与勾股定理的应用，做题的关键是根据等腰三角形的性质证出 ADB 是直角三角形11如图所示，在 ABC 中，B=90°， AB=3 ， AC=5，将 ABC 折叠，使点C 与点 A 重合，折痕为DE，则 ABE 的周长为7 考点： 专题： 分析：BC 的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE ，进而求出 ABE 的周翻折变换（折叠问题）；勾股定理 ABC 中，B=90 °， AB=3

20、 ， AC=5，解答：BC=4，ADE 是 CDE 翻折而成，AE=CE ， AE+BE=BC=4 ， ABE 的周长 =AB+BC=3+4=7 故答案为：7点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等M 是 AD 上的动点，E 是 AC 边上一点，若12如图，等边 ABC 的边长为6， AD 是 BC 边上的中线，AE=2， EM+CM 的最小值为考点： 专题： 分析： 解答：轴对称-最短路线问题；勾股定理压轴题；动点型要求 EM+CM 的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM ， CM 的值，从而找出其最小

21、值求解解：连接BE，与 AD 交于点 M则 BE 就是 EM+CM 的最小值取 CE 中点F，连接DF等边 ABC 的边长为6， AE=2 ， CE=AC AE=6 2=4， CF=EF=AE=2 ，又 AD 是 BC 边上的中线， DF 是 BCE 的中位线， BE=2DF ， BE DF，又 E 为 AF 的中点， M 为 AD 的中点， ME 是 ADF 的中位线， DF=2ME ， BE=2DF=4ME ， BM=BE ME=4ME ME=3ME ， BE= BM BDM 中， BD= BC=3 ， DM= AD= ，BM=，BE=EM+CM=BEEM+CM 的最小值为13 如图，在

22、Rt ABC 中， ACB=90 °， AB 的垂直平分线DE 交 AC 于 E， 交 BC 的延长线于F， 若F=30°，DE=1 ，则 BE 的长是2 wW w . K b 1.c o M考点： 专题： 分析：解答：点评：含 30 度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质压轴题根据同角的余角相等、等腰 ABE 的性质推知DBE=30 °，则在直角 DBE 中由“30 度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE 的长度解：ACB=90 °， FD AB ， ACB= FDB=90 °，F=30°，A= F=30°（同角的

23、余角相等）又 AB 的垂直平分线DE 交 AC 于 E，EBA= A=30°，直角 DBE 中， BE=2DE=2 故答案是：2本题考查了线段垂直平分线的性质、含30 度角的直角三角形解题的难点是推知EBA=30 °14如图，已知 ABC 是等边三角形，点B、 C、 D、 E 在同一直线上，且CG=CD， DF=DE ，则 E= 15度考点： 专题： 分析： 解答：等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质压轴题根据等边三角形三个角相等，可知ACB=60 °，根据等腰三角形底角相等即可得出E 的度数解：ABC 是等边三角形， ACB=60 °，

24、ACD=120 °， CG=CD ， CDG=30 °，FDE=150 °， DF=DE ，E=15° 故答案为：15点评：180°以及等腰三角形的性质，难度适中本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为15如图，在 ABC 中， BC=5cm ， BP、 CP 分别是ABC 和 ACB 的角平分线，且PD AB ， PE AC，则 PDE 的周长是5 cm考点： 专题： 分析：解答：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质压轴题分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得 DBP 和 ECP 为等腰三角形，由等腰三角形的性质得 BD=PD ， CE=

25、PE，那么 PDE 的周长就转化为BC 边的长，即为5cm解：BP、 CP 分别是ABC 和 ACB 的角平分线，ABP= PBD，ACP= PCE，PD AB ，PEAC，ABP= BPD，ACP= CPE，PBD=BPD，PCE=CPE， BD=PD ， CE=PE， PDE 的周长 =PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm 答： PDE 的周长是5cm点评：此题主要考查了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点本题的关键是将 PDE 的周长就转化为BC 边的长16如图，梯形ABCD 中， AB DC，ADC+ BCD=90 °，且 DC=2AB ，分别以

26、DA， AB， BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1， S2， S3，则S1， S2， S3之间的关系是S2=S1+S3 考点： 专题： 分析：勾股定理压轴题过点 A 作 AE BC 交 CD 于点E，得到平行四边形ABCE 和 Rt ADE ，根据平行四边形的性质和勾股定理，不难证明三个正方形的边长对应等于所得直角三角形的边解答：解：过点A 作 AE BC 交 CD 于点 E，AB DC，AECB 是平行四边形，AB=CE ， BC=AE ，BCD= AED ，ADC+ BCD=90 °， DC=2AB ，AB=DE ， ADC+ AED=90 °，DAE=90

27、°，那么AD 2+AE 2=DE 2，S1=AD 2， S2=AB 2=DE 2， S3=BC 2=AE 2S2=S1+S3点评：本题的关键在于通过作辅助线把梯形的问题转换为平行四边形和直角三角形的问题，然后把三个正方形的边长整理到一个三角形中进行解题17如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，则第n 个三角形的面积为考点：勾股定理专题：规律型分析：根据勾股定理，逐一进行计算，从中寻求规律，进行解答解答：解：根据勾股定理：第一个三角形中：OA 12=1+1 ， S1=1× 1÷ 2；第二个三角形中：OA 22=OA 12+1=1+1+1 ， S2=OA 1×

28、1÷ 2=×1÷ 2；第三个三角形中：OA 32=OA 22+1=1+1+1+1 ， S3=OA 2×1÷ 2=×1÷ 2；第 n 个三角形中：Sn=×1 ÷ 2=点评：本题主要考查了勾股定理的应用，要注意图中三角形的面积的变化规律三解答题（共5 小题）18如图，在 ABC 中，C=90°， AD 平分 CAB ，交 CB 于点D，过点D 作 DE AB 于点E（ 1）求证： ACD AED ；（ 2）若B=30 °， CD=1 ，求 BD 的长考点： 分析：解答：全等三角形的判定与性

29、质；角平分线的性质；含30 度角的直角三角形（ 1 ）根据角平分线性质求出CD=DE ，根据 HL 定理求出另三角形全等即可；（ 2）求出DEB=90 °， DE=1 ，根据含30 度角的直角三角形性质求出即可（ 1 ）证明：AD 平分 CAB ， DE AB ，C=90 °， CD=ED ， DEA= C=90 °，在 Rt ACD 和 Rt AED 中 Rt ACD Rt AED （ HL） ；（ 2）解：DC=DE=1 ， DE AB ， DEB=90 °，B=30°， BD=2DE=2 点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含

30、30 度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等19如图， ABC 中， AB=BC ， BE AC 于点 E， AD BC 于点D，BAD=45 °， AD 与 BE 交于点 F，连接CF（ 1）求证：BF=2AE ；（ 2）若CD= ，求 AD 的长考点： 专题： 分析：全等三角形的判定与性质；勾股定理证明题；压轴题（ 1 ）先判定出 ABD 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD ，再根据同角的余角相等求出CAD= CBE，然后利用“角边角 ”证明 ADC 和 BDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC ，再根据等腰三角形三线

31、合一的性质可得AC=2AF ，从而得证；（ 2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD ，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF ， 然后根据AD=AF+DF 代入数据即可得解解答：（ 1 ）证明：AD BC，BAD=45 °， ABD 是等腰直角三角形，AD=BD ， BE AC， AD BC，CAD+ ACD=90 °， CBE+ ACD=90 °，CAD= CBE，在 ADC 和 BDF 中， ADC BDF（ ASA） ， BF=AC ， AB=BC ， BE AC， AC=2AE ， BF=2AE ；

32、（ 2）解：ADC BDF ， DF=CD= ，在 Rt CDF 中， CF=2， BE AC， AE=EC， AF=CF=2 ， AD=AF+DF=2+ 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键20如图，直线AC BD，连接 AB，直线 AC、 BD 及线段 AB 把平面分成 、 、 、 四个部分，规定：线上各点不属于任何部分当动点P 落在某个部分时，连接PA， PB，构成PAC，APB， PBD三个角 （提示：有公共端点的两条重合的射线所

33、组成的角是0°角）（ 1）当动点P 落在第 部分时，求证：APB= PAC+ PBD；（ 2）当动点P 落在第 部分时，APB= PAC+ PBD 是否成立？（直接回答成立或不成立）（ 3）当动点P 落在第 部分时，全面探究PAC， APB， PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明考点：平行线的性质；角平分线的性质专题：动点型；探究型分析：（ 1 ）如图1，延长BP 交直线 AC 于点E，由AC BD，可知PEA= PBD由 APB= PAE+ PEA，可知APB= PAC+ PBD；（ 2）过点P 作 AC 的平行线，根据平行线的性质解答；

34、（ 3）根据P 的不同位置，分三种情况讨论解答：解： （ 1）解法一：如图1 延长 BP 交直线 AC 于点EAC BD ，PEA= PBDAPB= PAE+ PEA，APB= PAC+ PBD；解法二：如图2过点 P 作 FP AC，PAC=APF AC BD ， FPBD FPB=PBD APB=APF+FPB= PAC+ PBD；解法三：如图3，AC BD ，CAB+ ABD=180 °， PAC+ PAB+ PBA+ PBD=180° 又APB+PBA+PAB=180°，APB=PAC+PBD（ 2）不成立（ 3） （ a）当动点 P 在射线 BA 的右侧

35、时，结论是 PBD= PAC+ APB （ b）当动点P在射线 BA 上，结论是PBD= PAC+ APB或PAC= PBD+ APB 或 APB=0 °， PAC= PBD（任写一个即可）（ c）当动点P 在射线 BA 的左侧时，结论是PAC= APB+ PBD选择（a）证明：如图 4，连接PA，连接PB 交 AC 于 M AC BD ， PMC= PBD解答：解： （ 1 ） ACB=90 °，A=30 °，又 PMC= PAM+ APM （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），PBD= PAC+ APB选择（ b）证明：如图5点 P 在射线 BA

36、上，APB=0 度 AC BD ， PBD= PACPBD=PAC+APB或PAC=PBD+ APB或 APB=0 °，PAC= PBD选择（c）证明：如图6，连接PA，连接PB 交 AC 于 F AC BD ，PFA= PBD PAC= APF+ PFA， PAC= APB+ PBD点评：此题考查了角平分线的性质；是一道探索性问题，旨在考查同学们对材料的分析研究能力和对平行线及角平分线性质的掌握情况认真做好（1 ） （ 2）小题，可以为（3）小题提供思路21在Rt ABC 中， ACB=90 °，A=30°，点 D 是 AB 的中点，DE BC，垂足为点E，连接CD（ 1）如图1 ， DE 与 BC 的数量关系是DE= BC ；（ 2）如图2，若P 是线段 CB 上一动点（点P 不与点B、 C 重合） ，连接DP