北师大版八年级数学下册-第一章-三角形的证明(提高)

1、学习必备欢迎下载第一章 三角形的证明一、八条基本事实1、两点确定一条直线；2、两点之间直线最短；3、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4、同位角相等，两直线平行；5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；6、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS） ；7、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA） ；8、三边分别相等的两个三角形全等（SSS） ；二、平行线的判定和性质判定：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.三、全等三角形判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等

2、（SSS）2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）性质: 全等三角形对应边相等，对应角相等。三角形全等常用来证明线段或角相等。例：如图，ABC 中 ，AC=BC， ACB=90o， 点 D 在 AC 上 ， 点 E 在 BC 延 长 线 上 ， CD=CE ，BD的延长线交AE 于点 F，连CF.（1） 证明：AEBD ；（2） 证明 ：EF FD2FC.练习：1、 在四边形ABCD 中， AC=AB ， DC=DB ， CAB=60 °， CDB=120 

3、6;， E是 AC上一点，F是 AB 延长线上一点，且 CE=BF （ 1 ）求证：DE=DF ；（ 2）若G 在 AB 上且 EDG=60 °，求证 CE+BG=EG ；2、 如图，在ABC 中， AB=AC 、 D 是 AB 上一点，E 是 AC 延长线上一点，且CE=BD ，连结 DE 交 BC 于 F猜想 DF 与 EF 的大小关系并请证明你的猜想。3、如图 ， RT ABC 中 ， ACB=90o， ABC 的 角 平 分 线 AD 、 BE 相 交 于 点 P， 过 P 作 PF AD 交 BC的 延 长 线 于 点 F， 交 AC 于 点 H.（ 1） 求 APB的 度

4、 数 ；（ 2） 证 明 ： AH BD AB.1、性质定理：等腰三角形有两边相等；（定义）定理：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）例题：1、 点 P是等边三角形都是等腰三角形，则这样的点ABC 所在平面上一点，若P 和 ABC 的三个顶点所组成的 PAB 、 PBC、 PACA 1,B 4,C 7,D 102、如图，等腰三角形ABCAB=AC ，A=20o， D 为 AB 边上一点，且AD=BC 求 CDB 的度数。练习： 1、等腰三角形ABCAB=AC ， D 为 BC 上的一点，且BD=AD=DC ，那么B 的度数为2、 如图在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在 x 轴上，

5、若以P， O，角形，则满足条件的点P 共有（A 2 个B 3 个C 4 个D 5个3、等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为4、在平面直角坐标系xOy 中，点A1，A2，A3， 和B1，B2，B3， 分别在直线A 为顶点的三角形是等腰三1B1， B1A2B2， B2A3B3， 都是等腰直角三角形，如果A1（1， 1 ） ， A2A3的纵坐标是的纵坐标是P 的个数为（5、如图， ABC 中， AB =AC ，点 Q 在 AC 上，在 BA 的延长线上取AP=AQ ，求证：PQ 垂直于 BC6、已知：如图，在等腰三角形ABC 中， AB=AC ， P 是底边 BC 上任意一点，过点P 作

6、 PE AB ， PF AC，垂足分别为E， F，过点B 作 BD AC，垂足为D 求证：PE+PF=BDD、 E， F 为 BC 中点， BE 与 DF、推论1:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。例： 如图，在RT ABC 中， ACB=90o ， AC <BC， D 为 AB 的中点，DE 交 AC 于点E， DF 交 BC 于点F，且DE DF，过 A 作 AG BC 交 FD 的延长线于点G1 ）求证：AG BF ；2 ）若 AE 9 ， BF 18 ，求线段 EF 的长练习： 1、如图，

7、在ABC 中， ABC=45o， CD AB ， BE AC，垂足分别为DC 分别交于点G、 H，ABE= CBE（ 1 ）证明：BH CA；（ 2）证明：BG2 GE2 EA22、已知CE 垂直于 AB 于 E 点，1= 2， AE=1/2 （ AD+AB ） ，求证：ABC+ D=1802、判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。3、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证 明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法例

8、1: 如图所示，在边长为2 cm 的正三角形ABC 中， E、 F、 G 分别为 AB 、 AC、 BC 的中点，点P 为线段 EF 上一个动点，连接BP、 GP，则 PBG 的周长的最小值是例 2: 如 图 ， 在 等 腰 RT ABC 中 ， ACB=90o ， AC=CB ， F 是 AB 边 上 的 中 点 ， 点 D 、 E 分 别 在 AC 、 BC 边 上 运 动 ， 且 始 终 保 持 AD=CE 连 接 DE 、 DF 、 EF 1 ） 求 证 ： DF EF ；2 ） 试 证 明 DEF 是 等 腰 直 角 三 角 形 例 3: 如 图， 等腰 直 角三 角 形 ABC 中

9、 ， BAC=90o，D、 E 分 别为 AB 、AC 边上 的 点 ， AD=AEAF BE交BC于 点 F， 过 点 F 作 FG CD 交 BE 的延长线于点G，交 AC 于点 M。（1） 证明： EGM 为 等 腰 三角 形 ；（2） 证明：BG AF FG .练习：1、如图，已知 ABC 为等边三角形，D 为 BC 延长线上的一点，CE 平分 ACD ， CE=BD ，求证： ADE 为等边三角形2、在等边三角形ABC 中，点 D、 E 分别在边BC、 AB 上，且 BD=AE ， AD 与 CE 交于点 F，求 DFC 的度数五、直角三角形1、直角三角形的性质直角三角形两锐角互余；

10、直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；2、直角三角形判定有两个锐角互余的三角形是直角三角形；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）；3、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.注意：真命题的逆命题不一定为真，定理和逆定理均为

11、真命题。HL”)4、直角三角形全等的判定 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（例 1： 如图，ABC 中，C=90°， 1= 2， CD=3/2 ， BD=5/2 ， ，求 AC 的长。例 2：小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、 B、 D 在同一直线上，EF AD ， A= EDF=90 °， C=45°，E=60°，量得DE=8，试求 BD 的长例 3: 如图，等边ABC 中， AO 是 BAC 的角平分线，D 为 AO 上一点，以CD 为一边且在CD 的下方作等边三角形 CDE，连接 BE1

12、）求证： ACDBCE ；2 ）延长BE 至 Q , P 为 BQ 上一点，连结CP 、QC 使 CP CQ 5, 若 BC 8时，求 PQ的长 .练习：1、 如图，在ABC 中，ACB=9°0 ， D 是 BC 的中点，DE BC， CE AD ，若 AC=2， CE=4，则四边形 ACEB 的周长为2、如图 2-5 所示在等边三角形ABC 中， AE=CD ， AD ， BE 交于 P 点， BQ AD 于 Q求证：BP=2PQ 3、 如 图 ， D 是 等 边 ABC 的 边 AB 上 一 点 ，E 是 BC 延 长 线 上 一 点 ， CE DA，连接 DE 交 AC于 F

13、， 过 D 点 作 于 DG AC于 G 点 .11 ) 证 明 ： AG AD ；22 ) 证 明 ： GF FC AG.4、已知等腰Rt ABC 中， ACB=90 °， AC=BC ，点 G 在 BC 上，连接AG，过C 作 CF AG ，垂足为点E，过点 B 作 BF CF 于点F，点D 是 AB 的中点，连接DE、 DF1 )若 CAG=30 °， EG=1 ，求 BG 的长；2)求证：AED= DFE六、线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心）判定：到一条

14、线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。例 ： 1 、 如图，ABC 中， AB=AC ， BAC=54 °， BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O，将 C 沿EF（ E 在 BC 上， F 在 AC 上）折叠，点C 与点 O 恰好重合，则OEC 大小为 （）A 134° ,B 136° ,C 108° ,D 112°2、在ABC 中， AB 的中垂线DE 交 AC 于 F，垂足为A3 、 如 图 ， 在RT ABC 中 ， AB=AC ， BAC=90o ， D 、一点，且FB BC， FA AE 。（1 ）证明：CE B

15、F ；（2）证明：BD2 CE2DE2.练习：1、如图，在矩形ABCD 中， AB=2 ， BC=4 ，对角线CE ，则CE 的长为（）A 3B 3 5C 2 5D 2D ，若AC=6 ， BC=4， BCF 的周长为。EFCDBE 为 BC 上 的 两 点 ， DAE=45o ， F 为 ABC 外AC 的垂直平分线分别交AD 、 AC 于点E、 O，连接82、如图，在RT ABC 中，ACB=90 0， BC=3 ， AC=4 ，为3、如图所示，在ABC 中， AB=AC ，BAC=120 0， D、在 BC 上， BC=15cm ， EG 的长度为。4、 （ 1）在ABC 中， AB A

16、C， AB 的垂直平分线交ABAB 的垂直平分线DE 交 BC 的延长线于点E， CE 的长F 分别为AB 、 AC 的中点，DE AB ， FG AC， E、 GDFBEGC于 N，交BC 的延长线于M ，A 400，求NMB（ 2）如果将（1 ）中 A 的度数改为700 ，其余条件不变，再求NMB 的大小（ 3 ）你发现有什么样的规律性？试证明之.（ 4）将（1）中的A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改5、如图1 ，已知点D 为 等腰直 角三角形 ABC内 一点 ， ACB=90o ， CAD=CBD=15o，E 为 AD 延长 线上的一点，且CE=CA。（ 1 ） 求 D

17、CA 的 大 小 ；（2）若点M在DE 上 ，如图2，且DCDM ，求 证 ：ME DB .例：1、已知：如图，BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点若 AB 8， AC 4，则AE2、如 图 ，分别 以 ABC 的 边 AB 、 AC 向 外 作 等 边 三 角 形 ABDACE ， 线 段 BE 与 CD 相 较 于 点 O， 连 接 AO 。P， PE AB ， PF AC，垂足分别为E、 F，和等边三角形七、角平分线。性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心）判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。1） 求 BOD 的 度 数 ；2） 求 证 ： AO 平 分 DOE 练习： 1、如图，在ABC中，BC=5cm， BP、CP分别是ABC和ACB的角平分线，且PD AB， PE AC，则PDE的周长是cm2、如图，AD 是ABC的角平分线，DF AB，垂足为F， DE=DG，ADG和 AED的面积分别为50 和 39，则EDF的面积为（）A 11B5.5C7D3.5A 2 B 2 3C3 D 34、在 ABC 中，点 O 是 AC 边上一动点，过点3、如