高中数学对数函数及其性质

1、对数函数及其性质【要点梳理】 要点一、对数函数的概念 1函数 y=log ax（a>0 ，a1）叫做对数函数 .其中 x是自变量，函数的定义域 是 0,，值域为 R 2判断一个函数是对数函数是形如 y loga x（a 0,且a 1） 的形式，即必须 满足以下条件：（1）系数为 1；（2）底数为大于 0 且不等于 1 的常数；（3）对数的真数仅有自变量 x 要点诠释：（1）只有形如 y=log ax（a>0 ， a 1） 的函数才叫做对数函数，像 y loga （x 1）,y 2loga x,y loga x 3等函数，它们是由对数函数变化得到的， 都不是对数函数。（2）求对数函数

2、的定义域时应注意：对数函数的真数要求大于零，底数 大于零且不等于 1；对含有字母的式子要注意分类讨论。 类型一、对数函数的概念例 1. 下列函数中，哪些是对数函数？（1）y loga x（a 0,a 1）；（2）y log2 x 2;（3）y 8log 2（x 1）；（4）y logx 6（x 0,x 1）；（5）y log6 x 【答案】（5） 【解析】（1）中真数不是自变量 x ，不是对数函数（2）中对数式后加 2，所以不是对数函数（3）中真数为 x 1，不是 x ，系数不为 1，故不是对数函数（4）中底数是自变量 x ，而非常数，所以不是对数函数（5）中底数是 6，真数为 x ，符合对数

3、函数的定义，故是对数函数 【总结】已知所给函数中有些形似对数函数， 解答本题需根据对数函数的定义寻 找满足的条件要点二、对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：（0，+）值域：R过定点（ 1，0），即 x=1 时，y=0在( 0，+)上增函数在( 0， +)上是减函数当 0<x<1 时， y<0， 当 x1 时， y0当 0<x<1 时， y>0， 当 x1 时， y0类型二、对数函数的定义域 求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、 值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质(如定义域、值域及单调性)

4、在 解题中的重要作用 .例 2. 求下列函数的定义域：(1) y loga x2 ； (2) y loga(4- x)(a 0且a 1).【答案】(1) x | x 0 ；(2) x | x 4【解析】由对数函数的定义知： x2 0， 4 x 0 ，解出不等式就可求出定 义域.(1) 因为 x2 0，即 x 0 ，所以函数 y loga x2的定义域为 x | x 0；(2) 因为4 x 0，即 x 4 ，所以函数 y loga (4 - x)的定义域为 x | x 4.【总结升华】 与对数函数有关的复合函数的定义域： 求定义域时， 要考虑到 真数大于 0，底数大于 0，且不等于 1若底数和真

5、数中都含有变量，或式子中 含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义一般地，判断类 似于 y loga f (x)的定义域时，应首先保证 f (x) 0举一反三：【变式 1】求函数 yx 1 的定义域 .log 1(x 1) 1【答案】 (1 ， 3 ) ( 3 ，2x1所以 0 x 1 1 ，x3222x 1 0解析】因为 log1 (x 1) 0，2log1 (x 1) 12所以函数的定义域为 (1 ， 3 ) ( 3 ， 2.22，则 a2变式 2】函数 y log1 (3x a)的定义域是 3，2a解析 要使函数有意义，则 3xa>0，即 x> 3，a233，

6、a 2.答案 2要点三、底数对对数函数图象的影响1底数制约着图象的升降如图要点诠释： 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降(即函数的单调性) ，因此 在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于 1 还是小于 1，不要 忽略2底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内，当 a>1时，随 a的增大，对数函数的图像愈靠近 x轴；当 0<a<1时，对数函数的图象随 a的增大而远离 x 轴.( 见下图 )类型三、对数函数的单调性及其应用 利用函数的单调性可以：比较大小；解不等式；判断单调性；求单 调区间；求值域和最值 .例 3. 比较下列各组数中的两个值大小：(1) lo

7、g 3 3.6,log 3 8.9；(2) log0.21.9,log0.2 3.5 ；(3) log25与log7 5；(4) log3 5与log6 4(5) log a 4.2,log a 4.8(a 0且a 1) 【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。【答案】 (1)< ；(2) < ；(3) > ；(4) > ；(5) 略【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成 .(1) 解法 1：画出对数函数 y log3 x的图象，横坐标为 3.6 的点在横坐标为 8.9 的点的下方，所以， log3 3.6 log3 8.9；解法 2：由函数 y log3

8、 x 在 R+上是单调增函数，且 3.6<8.9 ，所以 log3 3.6 log3 8.9；(2) 与第(1) 小题类似， y log0.2 x在R+上是单调减函数，且 1.9<3.5 ，所以log0.21.9 log0.2 3.5；(3) 函数 y log2 x和 y log7 x 的图象如图所示当 x 1时， 的图象在 y log7 x的图象上方，这里 x 5， log25 log7 5(4) log35 log33 1 log66 log6 4,log35 log6 4y log(5) 注：底数是常数，但要分类讨论 a 的范围，再由函数单调性判断大小.当 a 1时， y l

9、oga x 在(0，+) 上是增函数，且 4.2<4.8 ，所以，loga 4.2 loga 4.8当 0 a 1时， y=log ax 在(0，+) 上是减函数，且 4.2<4.8 ，所以，loga 4.2 loga 4.8【总结】比较两个对数值的大小的基本方法是：(1)比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性(2)比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：先利用对数换底 公式化为同底的对数， 再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小； 利用对 数函数图象的互相位置关系比较大小(3)若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小 举一反三：【变式 1】(2013

10、 ·新课标全国卷 )设 alog36，blog510，clog714，则()Ac>b>aBb>c>aCa>c>bDa>b>c解析 (1)a log36 1 log32，b log5101log52，clog7141log72，则只要比较 log32，log52，log72 的大小即可，在同一坐标系中作出函数 ylog3x，ylog5x，ylog7x 的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a>b>c.(2)(2014 ·郑州模拟)若x( e 1 ，1) ，a ln x，b 21 ，cln xeln x，则 a，b，c

11、 的大小关系为 () Ac>b>aBb>c>aDb>a>cCa>b>c解析 (2) 依题意得 aln x(1,0) ，b 21 ln x(1,2) ，cx(e1,1)，因此xb>c>a.3）如果 log1 x<log 1y<0，那么22Bx<y<1D1<y<xAy<x<1C1<x<y解析x1 log 1 x< log 1 y<log 21，又 y log 1 x是（0 ，）上的减函数，>y>1. 答案 D类型四、对数函数图像综合应用例 4（2014年安

12、徽亳州月考）已知函数 f （x） log2（x2 ax 3a）在区间 2， +）上递增，则实数 a 的取值范围是（）A （， 4） B （ 4，4 C （， 4）2 ，+） D 4， 2）【思路点拨】由题意知函数 f （x） log2 （ x2 ax 3a） 是由 y log2t 和t（x） x2 ax 3a复合而来，由复合函数单调性结论，只要 t （x）在区间 2，+ ）上单调递增且 f （x）> 0 即可【答案】B【解析】令 t（x） x2 ax 3a ，由题意知：t （x）在区间 2 ，+）上单调递增且 t （x）> 0a 2+2又 aR+解得： 4<a 4t（2） 4

13、 2a 3a 0则实数 a 的取值范围是（ 4，4故选 B【总结升华】本题主要考查复合 函数的单调性和一元二次方程根的分布， 换元法是解决本类问题的根本举一反三：【变式 1】函数 f（x） loga（ax 3）在1,3上单调递增，则 a 的取值范围是（）A （1， ）C. 0，13B(0,1)D.(3， )解析：由于 a>0，且 a 1， uax 3 为增函数，若函数 f ( x)为增函数，则 f(x)log au 必为增函数，因此 a>1，又 uax3 在1,3 上恒为正， a 3>0，即 a>3.【变式 2】求函数 y log2 x2 4 的值域和单调区间 【答案】

14、 2, ；减区间为 ,0 ，增区间为 0, 【 解 析 】 设 t x2 4 ， 则 t x2 4 4 ， y= log2 t 为 增 函 数 ， 2log2 t log2 (x2 4) log2 4 2y log2 x2 4 的值域为 2, 再由： y log2(x2 4) 的定义域为 Rt x2 4在 0,上是递增而在,0 上递减，而 y log2 t 为增函数 函数 y=log2(x2 4) 的减区间为,0 ，增区间为 0, .x【变式 3】已知 f(x) log4(4x 1)(1)求 f(x)的定义域；(2)讨论 f(x)的单调性；(3) 求 f(x)在区间 12， 2 上的值域 解

15、(1)由 4x 1> 0 解得 x> 0， 因此 f(x)的定义域为 (0， )(2)设 0<x1<x2，则 0<4x11<4x2 1，因此 log4(4x11)<log4(4x21)，即 f(x1)<f(x2)，f(x)在(0， )上递增(3) f(x)在区间 21，2 上递增， 又 f 12 0，f(2) log415，因此 f(x)在 12，2 上的值域为 0，log415类型五、函数的奇偶性例 5. 判断下列函数的奇偶性 【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是： (1)先求函数的定义域，如果定义域关 于原点对称， 则进行(2)，如果定义域不关

16、于原点对称， 则函数为非奇非偶函数。 (2)求 f ( x) ，如果 f ( x) f ( x ) ，则函数是偶函数，如果 f ( x) f(x) ，则 函数是奇函数。(1)2- x f (x) ln 22- xx【答案】(1)奇函数；【解析】首先要注意定义域的考查， 然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行2-x(1) 由 2-x 0可得 -2 x 2 2x所以函数的定义域为： （-2 ，2） 关于原点对称2 x 2 x 1 2 x又 f（ x） ln ln（ ） 1 -lnf （x）, 即f （ x） f （x）2 x 2 x 2 x 所以函数 f（x） ln 2-x 是奇函数；2x 举一反三：

17、变式 1】（2014·深圳调研）设 f （ x）为定义在 R上的奇函数，当 x>0时，f（x） log 3（1() 33）2 a 12D 0 a 或 a 155x），则 f（2）A 1BC1D解析 f （ 2） f （2） log 33 1. 答案 A【巩固练习】21若log a 2 1，则 a的取值范围是（522A0 a B a或 a 1 C53【答案】D22【解析】由log a 2 1 loga a，当a 1时，y loga x为增函数，所以a 2 ， 55 22得a 1；当0 a 1时，y loga x为减函数，所以 a 2，得0 a 2，故选 D。 552（ 2014

18、福建莆田月考）函数 y 1 lnx 的定义域为（ ）A（0，e B（， e C（0，10 D（， 10 答案】A解析】函数 y 1 lnx ，1ln x 0，即 ln x 1；解得 0<x e，函数 y 的定义域为（ 0，e 故选： A3图中曲线是对数函数 y=log ax 的图象，已知 a值取 3,34,35,110，则相应于C1， C2，ACC3，C4的 a 值依次为 (431 3， ， ，3 5 104 3 1 ，3， ，3 5 10)413 3， ， ，3 10 54 1 3 ， 3， ，3 10 5【答案】A【解析】在第一象限内， a 1，从顺时针方向看图象， a逐渐增大， 3 4 ；3 31 在第四象限内， 0 a 1，从顺时针方向看图象， a 逐渐增大， 3 1 ；所以相5 10 应于 C1，C2，C3，C4的 a 值依次为 3，4 ，3，1 选 A3 5 104函数 f(x) log2(3x 1)的值域为 ( )A 0,B 0, C 1, D 1,【答案】A【解析】因为 3x 1 1，所以 f (x) log2 (3x 1) = log2 1 0，故选 A。5( 2014年江苏淮安月考)函数 f (x) loga(2x 1) 2(