单层板的正轴刚度(2)

1、单层板的应力应变关系 图2-1-1 单层板是正交各向异性材料，在其正轴向上某一点的正应变1 、2，只与该点处的正应力1 、2有关，而与剪应力12无关。211212叠加原理 通常考虑复合材料处于线弹性、小变形情况，叠加原理仍适用，所以，全部应力分量引起某一方向的应变分量，等于各应力分量引起该方向应变分量的代数和。 因而我们把组合应力看成单轴应力的简单叠加。利用两个单轴试验和一个纯剪试验的结果建立正轴的应力-应变关系。纵向单轴试验单向复合材料的纤维方向称为纵向。图2.1.22（T）111（L）（a）（111E11)1(2(b)11)1(11E111) 1 (11) 1 (2E表示材料主方向承受单轴

2、1，由此将引起双轴应变。E1表示纵向弹性模量即应力与应变之比。表征材料抵抗变形的能力。模量越大越不容易变形，材料的刚性越大。 纵向泊松比：即11)1(11E111) 1 (11) 1 (2E(1)1(1)2211横向单轴实验22（a）1（L）2（T）（222E21）（21(b)22)2(21E222)2(22)2(1E22)2(21E222)2(22)2(1E 表示垂直于纤维方向承受单轴应力2，则由此将引起双轴应变。 由 引起的纵向应变。 由 引起的横向应变。 E2横向弹性模量，GPa； 横向泊松比:212=-)2(12)2(22)2(2)2(1面内剪切实验 两个图2.1.4， 由试验测得的面

3、内剪切弹性模量，反映了单层板在其面内的抗剪刚度特性。在相同的12作用下，G12越大12越小1212121G12G121(b)122(T)121(L)单层板的正轴应力-应变关系 根据叠加原理，单层板弹性主方向单向应力相叠加，其相应的应变状态相叠加，我们可以得到单层板正轴向应变-应力关系 。12121211122)1(2)2(2222211)2(1)1(11111GEEEE纵向应变横向应变剪应变 矩阵形式：0,1,1162266116112122121266222111SSSSESESGSESES，这些量称为柔量分量12211221122112211000101GEEEE1221662221121

4、1122166626126222116121112210000SSSSSSSSSSSSSS缩写为 11S 柔量分量与工程弹性常数E1，E2，1,2,G12柔量分量与工程弹性常数存在如下换算关系：11211221226612222111,1,11SSSSSGSESE， 反解2.1.4得出2.1.9121212221212212111GMEEMEMME1-21-1）（M 上式应变项的各系数可简单地记为并称为模量分量0,62266116212112121266222111QQQQEMQEMQGQMEQMEQ 然后用模量分量来表示应力应变关系矩阵形式2.1.12缩写为12216622211211122

5、166626126222116121112210000QQQQQQQQQQQQQQ 11Q 模量分量与工程弹性常数的关系是2.1.1312222211111221221)1 (,11212662211QQQMQQQQQGMQEMQE 单层板的正轴刚度为单层材料主方向的刚度，它有三种形式：工程弹性常数、模量分量，柔量分量。 工程弹性常数是拉压弹性模量、剪切弹性模量和泊松比的统称。模量分量为应力-应变关系式的系数，用于从应变求应力。柔量分量为应变-应力关系式的系数，用于从应力求应变。2.1.1例题 已知E-玻璃环氧符合材料的E1=38.6GPa，E2=8.27GPa，1=0.26，G12=4.14

6、。试求应力分量1=400MPa,2=30MPa, 12=15MPa时的应变分量。.)(5 .241a2415. 014. 411)a(736. 6)(006736. 06 .3826. 0,9 .120)a(1209. 027. 811,a91.25)(02591. 06 .38111112661 -1 -11211211 -22211 -111TPaGPGSTPGPaESSTPaGPESTPGPaES）（，）（）（解（1）求单层的柔量分量由式（2.1.6）可得 （2）求单层的应变分量 由式（2.1.7）可得.10623. 310155 .241,10993. 010)309 .1204007

7、36. 6(,1016.1010)30736. 640091.25(36126612362222212362121111SSSSS QSSQQIIIQQQQQQQ1 -1 -11 -1111 -11 -11 -1 -117 . 1 . 2同理可得）比较可得与式（是单位矩阵。故式中，而，得等式两端各乘因模量分量，柔量分量统称为弹性系数柔量分量构成的矩阵与模量分量构成的矩阵均为对称矩阵且互为逆矩阵，现证明它们互为逆矩阵 ：正交各向异性材料在平面应力状态下的工程弹性常数限制条件对称矩阵S为对称矩阵Q222222212212212121211212211212122211222222221212221

8、111111111221122211222211111ij为同理可得求偏导，再对）式代入（即求偏导对求偏导，再对）式代入（即求偏导对）（能定义为单位体积的应变应变能密度）（）（即已知QQQQQQQQQQQQQii证明：Q,S为对称矩阵s Q是对称矩阵，所以有)6 , 2 , 1,()6 , 2 , 1,(ijjiSSjiQQjiijji（2.1.15）（2.1.16）1122EE1121ES2212ES2112SS因为所以 所以，1,2只有一个独立变量，所以5个工程弹性常数中只有4个是独立的，即：E1，E2,G12，1(或2)。 特别地如果用织物做增强材料，且织物的经纬比是1，则复合材料单层在

9、经线和纬线上有相同的刚度特性， 即 这种材料就只有三个独立的弹性常数，即E1，(或E2),G12，1(或2) 若任意方向刚度均相同的单层称为准各向同性单层。2211QQ 2211SS 21EE 根据定义式，以下柔量分量和模量分量均为正值0,0,0,6622116622111221QQQSSSGEE且Q11=ME1，Q110 E10 所以M00121211所以21211222212221211EEEEEEEE同理1122EE12222121EEEE或上述三式,即为正交各向异性材料在平面应力状态下的工程弹性常数的限制条件,用来检验材料的试验数据或正交各向异性材料的模型是否正确0,0,0,6622116622111221QQQSSSGEE例2.1.3已知实验测得硼纤维/环氧树脂复合材料（单层板）的E1=83.0GPa，E2=9.31GPa，1=1.97， 2=0.22。是试判断测试结果是否合理。 1 -2-221 -2-11a1036. 231. 922. 01037. 20 .8397. 1）（）（GPEGPaE解有对称性条件