人教版初中数学因式分解与分式方程

1、指导教师：2019 年 03 月 02 日初中数学复习讲学案姓名：班级：学号：因式分解与分式方程第一部分知识梳理二、基本知识点：1因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。2提公因式法：定义 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。提公因式法：ma mb m(a b)3公式法：22平方差公式：ab(a b)(a b)完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)24十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘的和等于一次项系数。基本式子： x2 p q x pq x p x qabx2 (aq bp)x pq (ax p)(

2、bx q)5 分组分解法：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。例如am an bm bn am an bm bn a m n b m n a b m n小结：分解因式的一般步骤为：( 1)若多项式各项有公因式，则先提取公因式。( 2)若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式。( 3)每一个多项式都要分解到不能再分解为止。6 分解因式时常见的思维误区： 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1易漏掉 ”(3) 分解不彻底，如保

3、留中括号形式，还能继续分解等 三、随堂练习：1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是()22A、 a3a 3a 9 B、xx 5 x x15C、 x21 x xD、x 24x4 x 2 2x32若(x 1)3 x(x 1) (x 1) M，则M的表达式为()D、 x 1B、x x1C、x 3x1D、x x123把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于()A 、 (a-2)(m2+m)B、 (a-2)(m2- m)C、 m(a-2)(m- 1) D、 m(a-2)(m+1)4下列多项式中不能用平方差公式分解的是()A、 -a2+b2B、 -x2-y2C、 49x2y2-z2D、 16m4

4、-25n2p25下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是()22m2222 n2A、 m 1B、x 2xy yC、a 14ab 49b D、n 14936若代数式x2+kxy+9y2是完全平方式，则k的值是()A、 3；B、3；C、 6；D、67下列多项式：16x5- x；(x- 1)2-4(x- 1)+4；(x+1)2-4x(x+1)+4x2；- 4x2- 1+4x，分解因式后，结果含有相同因式的是()A、B、C、D、8分解因式：m - 4m=。9若ax2+24x+b=（mx- 3）2，则a= ， b= ， m= 。10 3x2 6xy（） = （） 211 16（xy）224xy（ y

5、x）=8（xy） （）12分解因式：（ 1） 56x3yz+14x2y2z 21xy2z2（ 2） x5 x3（ 3） x2（x y） （y x）（ 4） a4 2a2b2 b45. 因式分解法的综合应用：1若 n 为正整数，（ n+11） 2-n2 的值总可以被k 整除，则k 等于（）A 、 11 B 、 22 C 、 11 或 22 D 、 11 的倍数2已知x+y=6， xy=4，则x2y+xy2的值为。1223已知x 2y 1 ，则代数式x xy y 的值是 。4在实数范围内分解因式ab2 2a5利用分解因式进行计算：3.46 14.7 0.54 14.7 29.46已知：a=1000

6、0， b=9999，求(a2+b2 2ab)(6a 6b) +9的值。7证明58-1 能被20 30 之间的两个整数整除四、作业指导：1 把代数式xy2 9x 分解因式，结果正确的是()A、x(y29)B、x(y3)2C、x(y 3)(y 3)D、x(y 9)(y 9)22把多项式x 4x 4分解因式的结果是()A、 (x 2)2B、 (x 2)2C、 x(x 4) 4D、 (x 2)(x 2)3 一次课堂练习，小敏做了4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是(A、 x3 * x x（x2 1）222B、 x 2xy y （x y）21C、 x2y xy2 x y（x y）D、x2 y2

7、 （x y）（x y）32） x 4x4分解因式：1 ） x2 - 2x + 1 =4） a2 + a b =，2（ 6） x 4x，8) a3 2a2 + a =3（ 7） a a，10) ax2 + 6ax + 9a=，9) 2 x2 4x 2，11) x2 9x 20 _，212) x 11x 18，213) 2x 13x 15，214) 8x 35x 1215) 2x2 7x 15，16) x2 5 2x 85若x2 4x 4 (x 2)(x n) ，则 n6 (2005 年浙江课改区)在日常生活中如取款、上网等都需要密码有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆原理是：如对于多项式x

8、 x5y5 2x3y3 x y y4 ，因式分解的结果是(x y)(x y)(x2 y2) ，若取x=9， y=9 时，则各个因式的值是：( x y )=0， ( x + y )=18， ( x2 + y2 ) =162， 于是就可以把“ 018162作为一个六位数的密码 ”对于多项式4x3 xy2，取x = 10， y = 10时，用上述方法产生的密码是：(写出一个即可)7因式分解：(2) 4a3 16a2b 26ab222(3)x y 4x 4(1) x2(y2 1) 2x(y2 1) (y2 1)8已知a 2 分式有意义、无意义或等于零的条件： a b 5 0，求 3a 2b ( 2a

9、2b ( 2ab a2b ) 4a2 a b的值。9已知a + b = 5， a b = 3，求代数式a （ 1）分式有意义的条件：分母不等于零 b - 2a 2 b 2 + a b 3的值。分式与分式方程知识要点：1. 分式：分母中含有字母21 x 1 y，1 ，1 ， 4xy，x2 ， x 中，分式的个数是32 xy 5 ax xA. 1 个B. 2 个C. 3个D. 4 个在 4.5 ，xx17， 2x 1 y 2 z， x2 1 中，是分式的有3x 2y 33 x 1A. 2 个B. 3 个C. 4个D. 5 个（ 2）分式无意义的条件：分母等于零（ 3）分式等于零的条件：分母不等于零

10、时，分子等于零（ 1）当 x 时，分式x 1 有意义。2x 1（ 2）当 x 时，分式x2 9的值为零。x3（ 3）若分式x 3 无意义，则x。x2（ 4）当 x 时，分式5 的值为正数。3x 2练习：下列分式中，无论x 取何值，一定有意义的是（）练习：A.3. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。xx2 11）2）约分：B x2 1.(x 1)3C.(x 1)32D. xx1x1()()3 2x 2x 32x 323 2a b6(ab)22 (a b)(b c)(c a) (c b)(a c)(b a)3）分式2x 的分子与分母同时缩小到原来的

11、一半，那么分式的值（）4x 5yA. 缩小到原来的一半C. 增加到原来的2 倍B. 不变D. 无法确定4）下列各式中正确的是（A.a(x y) 0a(x y)18bcC. 3 212a3b2c34a3bB. a(x y) 1a(x y)ab 1D. 2(b a)2 b a（ 2）已知（ 3）已知A.21）当x, y满足关系式时， 5（y x） 52（x y） 2x 3y，则x 2y 的值为。2x 3y22xyz(z0)，那么2x2 3yzz2的值为(234x22xyz2111B.2C.D.12224. 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。分式除以分式，用除式

12、的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。1)3m(2n) xyxy mn2) 6x2y43x3 4y5. 分式的加减法法则：（1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减。（2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，然后再加减。（3）最简公分母：数字的最小公倍数，所有因式的次数最高的（公因式：数字的最大公约数、相同字母次数最低的）。1）212x2 99 3x2）1 xy2x y (x y)3）23 a 15a 3 3 a a2 94）x y 2x2 xy5） （ x x ） 4x （用两种方法） x2x2 2x6）先化简再求值：2(xx x 1 x 2x )22x 1 x 4x 4 x 4

13、6. 分式方程的解法：（ 1）基本思想：把分式方程转化成为整式方程。（ 2）步骤： 去分母：方程两边都乘以最简公分母，化为整式方程。 解这个整式方程。 验根：把求出的整式方程的根代入最简公分母。3）分式方程的应用 列分式方程解应用题 审题 解分式方程 设未知数 检验1）1 4x 2x 2 4 x2 x 2 找相等关系，列分式方程 写答案（ 2）237x 3 2 2x 61.5 倍，再加工3003）一个工人加工300 个零件后，由于改进了操作方法，工作效率提高为原来的个零件，提前2 小时完成，问前后两种方法每小时各加工多少个零件？（ 4）甲、乙两地相距160km ，一辆长途汽车从甲地开出3 小时

14、后，一辆小轿车也从甲地开出，结果小轿车比长途汽车晚20 分钟到达乙地，又已知小轿车的速度是长途汽车的3 倍，求两车的速度。（ 5）行程问题：A、 B 两地相距300 千米，一人骑自行车从A 地出发 2 小时后另一人骑摩托车也从地出发，结果两人同时到达。已知摩托车的速度是自行车的1.5 倍，求两车的速度。. 填空题（每空2 分，共 12 分）2x 4x 521. 当 x=3 时，分式x7x 10 的值是2. 在解分式方程的时候，有时会产生使得原分式方程分母为零的解，我们称它为原方程的3. 当 x时，分式2xx 1 有意义。35xy4. 化简： 20x24y(m n)2(m n)32 9p p2

15、3p =二 . 选择题（每题3 分，共24 分）5. 下列各式A. 1 个3m26. 分式 9 mmA. m 37. 一项工程由5天A. m 2ab，2B. 2 个化简的结果是（3y，13，xyC. 3个3 中属于分式的有（D. 4 个mB. m 3个人做需5 天完成，现增加2天B. 5m1118. 已知 x 0 ，则 x 2x 3x 等于(1A. 2x1B. 6xC. m 3mD. 3 m2 个人（假定每个人的工作效率是相同的）C.C.24(x2 1)29. 把 6（x 2x 1） 化为最简分式为（2(x2 1)12A. 3(x2 2x 1) B. 3xC.5m天m256xD.D.D.5天 2m116x2(x 1)3(x 1)6 7x210. 使分式 2x25的值是负数的x取值范围是（）x6x6A. 7B. 7C. x 0D. 不能确定11. 如果 ab 0 ，则abb)a bba aA. 大于 1B. 等于 1C. 小于 1D. 以上都有可能12. 如果可化为一元一次方程的分式方程有增根，那么以下判断错误的是（）A. 方程只有一个增根B. 分式方程无解C. 方程还有异于增根的根D. 增根代入最简公分母，最简公分母值为零14.x2 99 3x23 a