2018年中考数学最值问题总结(含答案分析)

1、角形，M为对角线BD (不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN ,中考数学最值问题总结考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”(2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题)问题原型：饮马问题 造桥选址问题 (完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点)出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型：条件：如下左图， A、B是直线l同旁的两个定点.问题：在直线l上确定一点P,使PA + PB的值最小.方法：作点 A关于直线l的对称点A

2、 ,连结A'B交l于点P ,则PA +PB = AB的值最小例1、如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三连接 EN、AM、CM .(1)求证： AMB 叁、ENB ;(2)当 M点在何处时，AM+CM 的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；(3)当AM+BM+CM 的最小值为 耳才1时，求正方形的边长。 例2、如图13,抛物线y=ax2+bx+c(a w0)j顶点为(1,4),交x轴于 A B,交y轴于D, 其中B点的坐标为(3,0)(1)求抛物线的解析式(2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点 E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2, 若直线PQ

3、为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点 H,使D、G、 F、H四点围成的四边形周长最小 .若存在，求出这个最小值及 G、H的坐标；若不存在，请 说明理由.(3)如图15,抛物线上是否存在一点 T,过点T作x的垂线，垂足为 M,过点M作直线 MNI/ BD,交线段AD于点N,连接MD使 DNMh BMD若存在，求出点 T的坐标；若不存 在，说明理由.例3、如图1,四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(bM2aM点F在AD上(以下问题的结果可用a,b表示)(1)求 Sa DBF ；(2)把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转 450得图2,求图2中的Sadb

4、f;(3)把正方形AEFG绕点A旋转任意角度，在旋转过程中dbf是否存在最大值，最小值 如果存在，试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。1例4、如图，在平面直角坐标系中，直线 y=_x+1与抛物线y=ax?+bx3交于A, B两点，2点A在x轴上，点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A, B重合)，过点P作x轴的垂线交直线 AB与点C,作PDXAB于点D(1)求 a, b 及 sin/ACP 的值(2)设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段 PD的长，并求出线段 PD长的最大值；连接PB,线段PC把 PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积

5、之比为9: 10?若存在，直接写出 m值；若不存在，说明理由.3 .例 5、如图，OC 的内接4AOB中，AB=AO=4tan/AOB=,抛物线 y = ax2+bx经过点 A(4,0)4与点(-2,6 ).(1)求抛物线的函数解析式；(2)直线m与。C相切于点A,交y于点D.动点P在线段OB上，从点。出发向点B运 动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单 位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQL AD时，求运动时间t的值；(3)点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当 ROB面积最大时，求点 R的坐标.笫22题图第及题答案图例1、证明：（1） . ABE是等

6、边三角形，BA=BE , / ABE=60 . / MBN=60, . MBN- Z ABN= Z ABE- Z ABN ,即/ MBA= Z NBE .又. MB=NB , AMB ENB （SAS） . （ 5 分）解：ADFBC（2）当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM 的值最小.（7分）如图，连接 CE,当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM 的值最小.（9分）理由如下：连接 MN ,由（1 ）知， AMB ENB ,AM=EN , . /MBN=60, MB=NB , . .BMN 是等边三角形.，BM=MN . . AM+BM+CM=EN+MN+CM .

7、 （ 10 分）根据两点之间线段最短"，得EN+MN+CM=EC 最短，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于 EC的长.（11分）例2、解：(1)设所求抛物线的解析式为：y = a(x1)2+4,依题意，将点B (3, 0)代入，得：a(31)2+4=0 解得：a=1,所求抛物线的解析式为：y = (x1)2+4(2)如图6,在y轴的负半轴上取一点I,使得点F与点I关于x轴对称，在 x 轴上取一点 H,连接 HF、HI、HG、GD、GE,则 HF = HI,设过A、E两点的一次函数解析式为： y=kx + b(kw0), 点E在抛物线上且点 E的横坐标为2

8、,将x=2代入抛物线y = _(x 1)2+4,得2y = -(2 -1)2 4=3 点E坐标为(2, 3)2又.抛物线y = -(x1) +4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D2P图6.,.当 y=0 时，(x 1)十4 = 0 ,x= - 1 或 x= 3当 x = 0 时，y= - 1+4=3, 点 A (1, 0),点 B (3, 0),点 D (0, 3)又抛物线的对称轴为：直线 x=1, 点D与点E关于PQ对称，GD=GE,分别将点A ( 1, 0)、点E (2, 3)代入y=kx+b,得:-k b = 0k = 1i解得：i2kb =3b =1过A、E两点的一次函数解析式为：y

9、= x+ 1当x=0时，y= 1点F坐标为(0, 1)DF =2,又.点F与点I关于x轴对称，点I坐标为(0, 1)EI = >DE2 +DI 2 = J22 +42 =2而,又.要使四边形 DFHG的周长最小，由于 DF是一个定值,只要使DG + GH+HI最小即可由图形的对称性和、，可知，DG + GH + HF = EG+ GH + HI只有当EI为一条直线时，EG+GH + HI最小设过E (2, 3)、I (0, 1)两点的函数解析式为：y = 乂 +。(匕*0),分别将点E (2, 3)、点I (0, 1)代入y=k1x + b1,得:2k1 b1 =3 11bi - -12

10、解得:ki =2bi J过A、E两点的一次函数解析式为：y=2x1一 .1. .当 x=1 时，y=1;当 y=0 时，x=一;2, , 1点G坐标为（1, 1）,点H坐标为（一，0） 2，四边形 DFHG的周长最小为： DF+DG + GH+HF = DF+EI由和，可知：DF+EI= 2+2>/5，四边形DFHG的周长最小为2+2/5。(3)如图7,由题意可知，/ NMD =/ MDB ,NM MD .要使， DNM s' BMD ,只要使 = 即可,MD BD即：MD2 =NM MBD ,设点M的坐标为(a, 0),由MN / BD,可得 AMNABD ,NM AM =BD

11、 AB再由(1)、(2)可知，AM =1 + a, BD = 3&, AB =4AM BD (1 a) 3.2 3 J2,、MN = =(1 a)AB44_ 22_22_MD =OD +OM =a +9,，式可写成:a2 9二手1 a)3解得：a=或a =3 （不合题意，舍去）23.点M的坐标为（±,0）2又.点T在抛物线y = （x1）2+4图像上,31当x=一时, 215 y=2 315，点T的坐标为(一，22例3、 解：（1） ,点 F 在 AD 上，. AF2b '2abSa bfd 的取小值=,v2b 1(b 22a)=。 22=a2+a2,即 AF= V2

12、a。DF =b _、2a。11-1 231 1 S .DBF = DF AB = (b J2a) b = b ab。2222(2)连接DF, AF,由题意易知 AF / BD ,，四边形AFDB是梯形。. DBF与ABD等高同底，即 BD为两三角形的底。由AF / BD ,得到平行线间的距离相等，即高相等，1 u2S在BF - S小BD - 2 b °(3)正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点锦元数学工作室绘制A为圆心，AF为半径的圆。第一种情况：当b>2a时，存在最大值及最小值, BFD 的边 BD=2b ,:当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S/XBFD

13、取得最大、最小值。2如图，当 DFXBD 时，Sabfd 的最大值=-2b (b+2a)=a-2'2/2锦元数学工作室绘制第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值,b2 2abSa bfd的取大值 =1例 4、解：(1)由 _x+1=0 ,得至U x=-2,A (2, 0)。2,1 一 ，由 _x+1=3 ,得至ij x=4, B (4, 3)。2: y=ax2+bx _3经过 A、B两点,4a -2b -3=0E,16a+4b -3=3解得a_1 a=2 2 。1b= - 2设直线AB与y轴交于点E,贝U E (0, 1)。根据勾股定理，得 AE= 45。. PC / y

14、轴,P ACP= / AEO 。_ OA 2sin/ACP=sin ZAEO=_2AE 5(2)由(1)可知抛物线的解析式为1y= x22 Tx-3。由点P的横坐标为m ,1m+12一 11 2PC= m+1 I m222-1m -322 .m +m+4。， _1在 RtAPCD 中，PD =PC sinZACP=.2 , m +m+4.295(m -1) +,55<0,，当m=1时，PD有最大值5 5. 32存在满足条件的 m值，m= 5或32。29216a+4b=0例5、解：（1）将点A（4, 0）和点（-2,6）的坐标代入y=ax2+bx中，得万程组 4a-2b=61la=1 2解

15、之，得22 .，抛物线的解析式为 y= x2-2x .2b=-22(2)连接 AC交 OBT E.直线 m切0C 于 A ，AC_m弦 AB=AO, ，AB = AOAC_OB . . m/ OB._ _ 3_ 3 ./ OAD叱 AOB OA=4 tan/AOB= - , . OD=OAtan/OAD=4 - =3.443作 O吐 AD 于 F.则 OF=O Asin / OAD=4 - =2.4.5t 秒时，OP=t,DQ=2t,若 PQL AD 贝U FQ=OP= t.DF=DQ- FQ= t.ODF中，t=DF= JOD2 - OF 2 =1.8 秒.、一 1 2(3)令 R(x, -x 2x) (0 <x< 4).21 2作 RGLy 轴于 G 作 RHLOB于 H交 y 轴于 I.贝U RG= x, OG= x+2x.2345Rt/RIG 中，. / GIR=Z AOB