沪教版相似三角形专题复习优秀教案

1、相似三角形综合复习一、基础知识（一）.比例1. 第四比例项、比例中项、比例线段；2. 比例性质： （ 1）基本性质： a c ad bc a b b2 acb d b c （ 2）合比定理： a c a b c d b d b d acmacma（ 3）等比定理：.（b d n 0）bdnbdnbA P B3. 黄金分割：如图，若 PA2 PB AB ，则点 P 为线段 AB 的黄金分割点4平行线分线段成比例定理（二）相似1. 定义 :我们把具有相同形状的图形称为相似形.2. 相似多边形的特性 :相似多边的对应边成比例 ,对应角相等 .3. 相似三角形的判定（ 1）平行于三角形一边的直线与其它

2、两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。4. 相似三角形的性质（ 1）对应边的比相等，对应角相等 .（ 2）相似三角形的周长比等于相似比.（ 3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.（ 4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5. 三角形中位线定义 : 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线 .三角形中位线性质 : 三角形的中位线平行于第三边

3、，并且等于它的一半。6. 梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质 : 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半 .7. 相似三角形的应用 : 、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式） ；、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。（三）位似:位 似:如果两个图形不仅是相似图形， 而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点， 那么这样的两个图形叫做位 似图形。这个点叫做位似中心 .这时的相似比又称为位似比 .位 似 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比

4、二、经典例题例 1. 如图在 4×4 的正方形方格中， ABC和 DEF的顶点都在长为 1的小正方形顶点 上（ 1）填空： ABC=，BC=（2）判定 ABC与 DEF是否相似？ 考点透视 本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力 .例 2. 如图所示， D、E 两点分别在 ABC两条边上， 且 DE与 BC 不平行， 请填上一个你认为适合的条件 使得 ADE ABC19 / 13例 3. 如图，王华晚上由路灯 A下的 B处走到 C处时，测得影子 CD?的长为 1米，继续往前走 2 米到达 E处时，测得影子 EF的长为 2 米，已知王华的身高是1.5 米，那么路灯 A 的高度等

5、于（A4.5 米 B 6米 C 7.2 米 D 8 米例 4. 如图， ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高 AD=80mm， ?要把它加工成正方形零件，使正方形的边在 BC上，其余两个顶点分别在 AB、 AC上， ?这个正方形零件的边长是多少？例 5. 如图所示，在 ABC中， AB=AC=1，点 D、 E 在直线 BC上运动，设 BD=x， CE=y（1）如果 BAC=30°， DAE=105°，试确定 y 与x 之间的函数关系式；2m× 2m，若放映（2）如果 BAC的度数为 ， DAE的度数为 ，当 、满足怎样的关系式时， 系式还成立，试说明

6、理由例 6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm × 3.5cm，放映的荧屏的规格为机的光源距胶片 20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？适时训练（一）选择题 1梯形两底分别为 mnmnm、B) 2mn mnn，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（C） mn（D ） m nm n 2mn）（A）2如图，在正三角形 ABC中，D，E 分别在 AC， AB上，且 AD 1 ，AEBE，则（ ） AC 3A ） AED BED （ B） AEDCBD（C）AEDABD（D）BADBCDBC 上异于 B、 ）

7、（B）2条3P 是 Rt ABC 斜边 样条件的直线共有（A）1条 ABD ACD ，图中相似三角形的对数是（A）2（ B）C 的一点，过点 P 作直线截 ABC ，使截得的三角形与 ABC 相似，满足这C）3条4如图，C)4D）4条）D）5ABCD 是正方形， E 是 CD 的中点， P是 BC 边上的一点，下列条件中，不能推出 ）5如图，的是（A） APB EPC （B）APE90°（C）P 是 BC的中点（ 6如图， ABC 中， ADBC 于 D ，且有下列条件：D)BPBC23ABP 与 ECP 相似1） B DAC 90°；（ 2） B DAC ；（ 3）CDA

8、D其中一定能够判定 ABC 是直角三角形的共有（A）3个（B）2个（C）1 个ACAB) D)；（ 4）AB2BD·BC0个题 6 题 77如图，将 ADE 绕正方形 ABCD 顶点 A 顺时针旋转 90 误的是（ ）（A）AEAF （B）EFAF 2 1（C）AF2FH·FE （D）FBFCHBEC 8如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 上任意一点，则有（ ）（A） ABE的周长 CDE 的周长 BCE 的周长（B） ABE 的面积 CDE 的面积 BCE 的面积（C） ABE DEC （D ） ABE EBC，得 ABF，连结 EF 交 AB 于 H ，则下列

9、结论中错9如图，在 ABCD 中， SEBF SABF 等于（E 为 AD 上一点，）DE CE2 3，连结 AE、BE、BD ，且 AE、 BD 交于点 F，则 SDEFA)41025B)4 925C)235 (D)2 52510如图，直线（A）ab，AF512FB3 5，B）95BCCD3（C）12511如图，在ABC中，1，则 AEEC 为（ （D）321M 是 AC边中点， E是 AB上一点，且 AE AB，4）连结 EM 并延长，交 BC 的延长线于D ，此时 BC CD 为（A）21 12如图，矩形纸片 和折痕 EF 的长分别为（ （ A ） 4 cm、 10 cm）（B） 32（

10、 C）3 1（ D）5 2ABCD 的长 AD9 cm，宽 AB3 cm，将其折叠， ）B） 5 cm、10 cm（ C） 4 cm、 2 3 cm题 12使点D 与点 B 重合，那么折叠后 DE 的长D ）5 cm、 2 3 cm（二）填空题13已知线段 a 6 cm，b2 cm，则 ab 的比例中项是 cm ab14 若c 15如图，在a、 b、ab 的第四比例项是cm ，ab 与bcaABC 中，16 如图， ABCD 中，a c m2，则 m bABAC27，D在 AC上，且 BDBC18，DEBC 交 AB于 E，则 DE1E是AB 中点，F在 AD 上，且 AF FD，EF 交 A

11、C 于 G，则 AGAC_2题 16ABCD，图中共有题 17 对相似三角形17如图，18如图，合适的条件）已知 ABC，P是 AB上一点，连结 CP，要使 ACPABC，只需添加条件只要写出一种19如图， AD 是ABC 的角平分线， DEAC，EFBC，AB15，AF4，则 DE 的长等于 20如图， ABC中， AB AC，ADBC于 D，AEEC，AD18，BE15，则 ABC 的面积是 21如图，直角梯形 ABCD 中， ADBC， ACAB，AD 8，BC 10，则梯形 ABCD 面积是 22如图，已知 ADEFBC，且 AE 2EB ，AD 8 cm，AD8 cm，BC14 cm

12、， 则 S 梯形 AEFD S 梯形 BCFE （ 三 ） 解答题23. 方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形请你在图示的10×10 的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母） 24. 如图， ABC中， CDAB于 D，E为 BC中点，延长 AC、DE相交于点 F， AC AF求证 BC DF25. 如图，在 ABC中， AB AC，延长 BC至D，使得 CDBC，CEBD交 AD于 E，连结 BE交AC于F，求 证 AF FC26. 已知：如图， F 是四边形 ABCD 对角线 AC 上

13、一点， EFBC，FG AD求证：AE CGAB CD27. 如图， 求证：（1）BD 、 CE 分别是 ABC 的两边上的高，过DG2BG·CG；（2）BG·CGGF·GHD作 DGBC于 G，分别交 CE及 BA 的延长线于 F、H，28. 如图， ABC CDB90°， ACa， BC b（1）当 BD 与 a、b 之间满足怎样的关系时， ABC CDB ？（2）过 A 作 BD 的垂线，与 DB 的延长线交于点 E，若 ABC CDB 求证四边形 AEDC 为矩形（自己完成图形） 29. 如图，在矩形 ABCD 中， E 为 AD 的中点， EF

14、 EC 交 AB 于 F ，连结 FC （AB>AE）（ 1） AEF 与 EFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；AB2）设 k，是否存在这样的BCk 值，使得 AEF BFC，若存在，证明你的结论并求出k 的值； C 90°，BC6 cm，CA8 cm，动点 P从点 C出发，以每秒 2 cm的1速度沿 CA、AB 运动到点 B，则从 C 点出发多少秒时，可使 SBCP SABC？ 431. 如图，小华家（点 A 处）和公路（ L）之间竖立着一块 35m?长且平 行于公路的巨型广告牌（ DE）广告牌挡 住了小华的视线，请在图中画出视点 A的盲区，并将盲区

15、内的那段公路设为BC一辆以 60km/h 匀速行驶的汽车经过公路段 BC的时间是 3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题： 如图所示，梯形 ABCD中， AD BC，对角线 AC、BD相交于 O，试问： AOB和 DOC是否相似？ 某学生对上题作如下解答： 答： AOB DOC理由如下：在 AOB和 DOC中， ADBC，AO DOOCOB AOB=DOC， AOB DOC 请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由33. 如图：四边形 ABCD中，

16、A=BCD=90°，过 C 作对角线 BD 的垂线交 BD、AD 于点 E、F，求证： CD2 DF DA ；如图：若过 BD上另一点 E作 BD的垂线交 BA、BC延长线于 F、G，又有什么结论呢？ 你会证明吗？34.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下 2.7m 宽的亮区 （ 如图所示 ）,已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高 AB=1.8m, 求窗口底边离地面的高 BC.35.1）如图一，等边 ABC 中， D 是 AB 上的动点，以 CD 为一边，向上作等边 EDC，连结 AE。求证： AE/BC ；2）如图二，将 （1）中等边 ABC 的形状改成以 BC 为底边

17、的等腰三角形。所作 EDC 改成相似于 ABC 。 请问：是否仍有 AE/BC ？证明你的结论。36. 如图，从 O外一点 A作 O的切线 AB、AC，切点分别为 B、C，且 O直经 BD=6，连结 CD、AO。（1）求 证： CDAO；（2）设 CD=x，AO=y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）若 AO+CD=1，1求 AB 的长。37. 已知：如图，在正方形 ABCD 中，AD = 1 且 AP=CQ，连结 AQ、BP交于点 E，EF 平行，P、Q分别为 AD、BC 上两点，BC交PQ于 F，AP、0 的两根 .1）求 m 的值（ 2）试用 AP、B

18、Q 表示 EF13）若 SPQE =1 ，求 n 的值838. 如图，在平面直角坐标系中，已知 OA=12cm，OB=6cm，点 P从 O点开始沿 OA边向点 A以 1cm/s 的速度移 动：点 Q从点 B 开始沿 BO边向点 O以 1cm/s 的速度移动，如果 P、Q同时出发，用 t（s） 表示移动的 时间（ 0 t 6 ），那么：（1）设 POQ的面积为 y，求 y关于 t 的函数解析式。 （ 2）当 POQ的面积最大时， POQ沿直线 PQ翻折 后得到 PCQ，试判断点 C 是否落在直线 AB上， 并说明理由。（3）当 t为何值时， POQ与 AOB相似？39. 如图，矩形 PQMN 内

19、接于 ABC，矩形周长为 24，AD BC 交 PN 于 E，且 面积40. 已知：如图， ABC 中，ABAC，AD 是中线， P 是 AD 上一点，过 C 作 CF AB，延长 BP 交 AC 于 E，交 CF 于 F求证： BP2PE· PF41. 在 Rt ABC中， C=90 ， BC=9， CA=12， ABC的平分线 BD交 ACDEDB交 AB于点 E， O是 BDE的外接圆，交 BC于点 FOD于点 D，第 41 题）（ 1）求证 :AC是 O的切线 ;2) 联结 EF，求 EF 的值 .AC42. 请阅读下列材料： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

20、即如右图 你根据以上材料，解决下列问题 .1,若弦 AB、CD交于点 P则 PA·PB=PC·PD请B已知 O 的半径为 2，P是 O 内一点，且 OP=1，过点 P任作一弦 作 PQm 于点 Q，PRn 于点 R.(如图 2)AC，过A、C两点分别作 O的切线 m和 n，(1) 若 AC恰经过圆心 O,请你在图 3 中画出符合题意的图形，并计算：1PQ1 的值；PR(2)若 OPAC, 请你在图 4 中画出符合题意的图形，并计算： 1 1 的值； PQ PR(3)若 AC 是过点 P 的任一弦(图 2), 请你结合(1)(2) 的结论 , 猜想： 1 1 的值，并给出证明

21、图 3 )43. 已知 AOB 90 ， OM 是 AOB 的平分线将一个直角 RPS 的直角顶点 P在射线 OM 上移动，点 P 不 与点 O 重合 .( 1)如图，当直角 RPS的两边分别与射线 OA 、 OB交于点 C 、 D时，请判断 PC与PD的数量关系，并证明 你的结论；（ 2）如图，在（ 1 ）的条件下，设 CD 与 OP 的交点为点 G ，且 PG 3 PD ，求 GD 的值；2 OD（ 3）若直角 RPS的一边与射线 OB 交于点 D ，另一边与直线 OA、直线 OB 分别交于点 C、E ，且以 P、 D 、 E为顶点的三角形与 OCD 相似，请画出示意图；当 OD 1时，直

22、接写出 OP 的长 .44. 图 1是边长分别为 4 3 和 3的两个等边三角形纸片 ABC 和C D E 叠放在一起（ C 与 C 重合）（ 1）固定 ABC ，将 C D E 绕点 C 顺时针旋转 30 得到 CDE ，连结 AD、 BE （如图 2）此时线段 BE 与 AD 有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）设图 2中CE的延长线交 AB 于 F ，并将图 2中的 CDE 在线段 CF 上沿着 CF 方向以每秒 1 个单位的速 度平移，平移后的 CDE 设为 QRP （如图 3）设 QRP移动（点 P、Q 在线段 CF 上）的时间为 x秒，若 QRP 与 AFC 重叠部 分的面积为

23、 y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出自变 量 x 的取值范围；3）若固定图 1中的 C D E ，将 ABC 沿C E 方向平移，使顶点 C落在 CE 的中点处，再以点 C 为中心 顺时针旋转一定角度， 设 ACC 30 90 ，边 BC 交 D E 于点 M ，边 AC 交 D C 于点 N（如图 4）此C N EM 的值；如果有变化，请你说时线段 C N EM 的值是否随 的变化而变化？如果没有变化，请你求出 明理由图 3图 4DAB 22.5 ，延长 AB 到点 C ， 使得 ACD 2 DAB 45. 如图： AB是O 的直径， AD是弦， （1）求证： CD是O 的切线；

24、（2）若 AB 2 2 ，求 BC的长46. 已知：如图， AB 为 O 的直径， AD 为弦， DBC = A. （ 1）求证： BC 是 O 的切线；（2）若 OCAD ，OC 交 BD 于 E，BD=6，CE=4，求 AD 的长.BDEOA47. 在 ABC 中，点 D 在AC 上，点 E在 BC 上，且 DE AB ，将 CDE 绕点 C按顺时针方向旋转得到 CD E使 BCE < 180°），连接 AD 、 BE ，设直线 BE 与 AC 交于点 O.1）如图，当 AC=BC 时， AD : BE 的值为；2）如图，当 AC=5 ，BC=4 时，求 AD : BE 的值；图D'图3）在（ 2）的条件下，若 ACB=60° ，且 E 为 BC 的中点，求 OAB 面积的最小值48. 如图，在直角梯形 ABCD 中， AD/BC,D C BC,AB=10,AD=6,DC=8,BC=12, 点 E 在下底边 BC 上，点 F 在 AB 上（）若 EF 平分直角梯形 ABCD 的周长，设