2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷含答案解析

1、2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷一.填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1 .已知集合 A=2, - 1 , B= -1, 2, 3,贝AAB=.2 .已知复数z满足z? (1-i) =2,其中i为虚数单位，则z=.3 .方程 lg (x3) +lgx=1 的解 x=.4 .已知 f (x) =logax (a>0, aw 1),且 f 1 ( - 1) =2,贝U 11 (x) =.5 .若对任意正实数a,不等式x201+a恒成立，则实数x的最小值为 .6 .若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p=.7 .中位数为1010的一组数构成等

2、差数列，其末项为2015,则该数列的首项为8 .如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形, 如果直角三角形的直角边成为1,那么这个几何体的表面积是 9 .已知互异复数 mnw0,集合m, n=m； n2,则m+n=.10 .已知等比数列an的公比q,前n项的和Sn,对任意的nC N , Sn>0包成 立，则公比q的取值范围是.11.参数方程，,核0, 2施表示的曲线的普通方程是.e 9 x- | sin-H-cos-产 1+sinB12 .已知函数f (x) =sin+cosx(>0), x R,若函数f (x)在区间(-巴 )内单调递增，且函数y=f (

3、x)的图象关于直线x=co对称，则的值为.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13 . “mn0”是方程“m2+ny2=1表示双曲线”的（）A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件14.若方程f （x） -2=0在（-00, 0）内有解，则y=f （x）的图象是（Y _-Fs inxx j：0口;（正0, 2杨）是奇函数，贝U aW -x2+cos（x+GL）0 L，A. 0 B. - C. D.号16 .若正方体 AiA2A3A4-B1B2B3B4 的棱长为 1,则集合x x= %B ?RjB, i 1, 2, 3, 4, jC 1, 2, 3

4、, 4中元素的个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4三.解答题（本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76分）17 .已知圆锥母线长为5,底面圆半径长为4,点M是母线PA的中点，AB是 底面圆的直径，点C是弧AB的中点；（1）求三棱锥P - ACO的体积；（2）求异面直线MC与PO所成的角.18 .已知函数 f(x)口口益(/+j-2) (a>0),且 f (1) =2;(1)求a和f (x)的单调区间；(2) f (x+1) - f (x) >2.19 . 一艘轮船在江中向正东方向航行，在点 P观测到灯塔A、B在一直线上，并 与航线成角a (0<a<

5、; 90 ),轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A 在北偏西45方向，灯塔B在北偏东B(0 <织90)方向，0 V附织90 ,求CB；(结果用% B, b表示)220 .过双曲线丁二的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是AB的中点；(1)求双曲线的渐近线方程；(2)当P坐标为(X0, 2)时，求直线l的方程；(3)求证：|OA| ?| OB|是一个定值.21 .设数列an的前n项和为Sn,若作上<2 (nC N ),则称an是 紧密数 2 an歹'；一 一3 一一 一一一(1)右a1二1,时在，a3=x, 34=4,求x的取值氾围； 乙I(2)

6、若an为等差数列，首项a1,公差d,且0<dwa1,判断、是否为紧密 数列”；(3)设数列an是公比为q的等比数列，若数列时与Sn都是 紧密数列”，求 q的取值范围.2017年上海市奉贤区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1 .已知集合 A=2, 1, B= -1, 2, 3, WJ A A B= -1.【考点】交集及其运算.【分析】利用交集的定义求解.【解答】解：二.集合 A= - 2, -1, B=-1, 2, 3,.AnB= -1.故答案为：-1.2 .已知复数z满足z? (1-i) =2,其中i为虚数单位，则

7、z= 1+i .【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】复数方程两边同乘1-i的共腕复数，然后化简即可.【解答】解：由 z? (1-i) =2,可得 z? (1-i) (1+i) =2 (1+i),所以 2z=2 (1+i),z=1+i.故答案为：1+i.3 .方程 1g (x3) +lgx=1 的自星 x= 5【考点】对数的运算性质.【分析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对 数符号，求解一元二次方程得答案.【解答】解：由1g (x-3) +1gx=1 ,得:k-30即卜&-3)=10x=5.* x>0 lgK(x-3)=l故答案为：5.4 .已知

8、f (x) =logax (a>0, awl),且 f 1 ( 1) =2,贝U f 1 (x) = g) 【考点】对数函数图象与性质的综合应用.【分析】由题意可得f (2) =loga2=- 1；从而得到a=1;再写反函数即可.【解答】解：由题意，: f 1 (- 1) =2,f (2) =loga2= 1；故a=> £故 f-1 (x) =故答案为：(/)1t.5 .若对任意正实数a,不等式x201+a恒成立，则实数x的最小值为 -1 .【考点】二次函数的性质.【分析】由恒成立转化为最值问题，由此得到二次函数不等式，结合图象得到 x 的取值范围.【解答】解：:对任意正

9、实数a,不等式x201+a恒成立，等价于 al> x2 - 1 ,- a ( x 1 ) max0(x - 1 ) max- 1<x<1- .实数x的最小值为-1 .6.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+/=1的右焦点重合，则p= 4 .【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质.【分析】求出椭圆的右焦点，得到抛物线的焦点坐标，然后求解p即可.【解答】解：椭圆 号+/=1的右焦点(2, 0),抛物线y2=2px的焦点与椭圆2年-+y 2=的右焦点重合，5可得:解得p=4.故答案为：4.7.中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为 2015,则该数列的首项为5 .【考点】等

10、差数列.【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得.【解答】解：设该等差数列的首项为a,由题意和等差数列的性质可得 2015+a=1010x 2解得a=5故答案为：58 .如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成为1,那么这个几何体的表面积是.z主视图 左视图【考点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥， 正方体的一个角，根据三视 图的数据，求出三棱锥的表面积即可.【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积

11、的和，即：3乂/h1><1+亨><尸3产.故答案为：耳39 .已知互异复数 mnw0,集合m, n=m2, n2,则 m+n= - 1.【考点】复数相等的充要条件.【分析】 互异复数 mnw0, 集合m, n =m2, n2, 可得： m=m2, n=n2； n=m2, m=n2, mnw0, mwn.解出即可得出.【解答】解：互异复数mnw0,集合m, n =m2, n2, m=m2, n=n2, 或 n=m2, m=n2, mnw0, mwn.由 m=m2, n=n2, mnw0, mwn,无解.由 n=m2, m=n2, mnw0, mwn. 可得 n - m=m

12、2 - n2, 解得 m+n= - 1.故答案为：-1.10 .已知等比数列an的公比q,前n项的和Sn,对任意的nC N , Sn>0包成立，则公比q的取值范围是 (T , 0) U (0, +8).【考点】等比数列的前n项和.【分析】qw1时，由Sn>0,知ai>0,从而上工>0包成立，由此利用分类讨论思想能求出公比q的取值范围.【解答】解：qw1时，有Sn=*lQ)1-q. Sn>0, .,.a1>0,则上Q.>0包成立，l-q当q>1时，1-qn<0恒成立，即qn>1包成立，由q>1,知qn>1成立;当q=1时，只

13、要a1>0, Sn>0就一定成立；当q<1时，需1 - qn>0恒成立，当0Vq<1时，1-qn>0恒成立，当-1<q<0时，1-qn>0也包成立，当q<-1时，当n为偶数时，1-qn>0不成立，当q=-1时，1-qn>0也不可能何成立，所以q的取值范围为(-1, 0) U (0, +oo).故答案为：(-1, 0) U (0, +8).11.参数方程£f . eeK二 |sin-7-+cos_z-WUi尸 l+sin,股0, 2位表示的曲线的普通方程是x2=y(0&x&W, 00y02)【考点】

14、参数方程化成普通方程.x2=y,【分析】把上面一个式子平方，得到x2=1+sin夕代入第二个参数方程得到 根据所给的角的范围，写出两个变量的取值范围，得到普通方程.【解答】解：y=|sin-cos-|尸 l + sinv 9 0, 2同,Icos-+sin|=|Vsin (+) | C0,求1+sin 0 彳 cos1-+sin-1-) 2 0, 2故答案为：x2=y (0&x0加，0<y<2) 12.已知函数f (x) =sin+cosx(>0), x R,若函数f (x)在区间(-, )内单调递增，且函数y=f(x)的图象关于直线x=co对称，则的值为 立 .【考

15、点】由丫二人$访(x+小)的部分图象确定其解析式.7T【分析】由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f (x) =&sin (肝彳)，由2kL 3&咛&2k什等，kCZ可解得函数f (x)的单调递增区间，结合已37Tn知可得：- 心 4,十4,kCZ,从而解得 k=0,又由 (1)W奸t=k浒2，可解得函数f (x)的对称轴为：x=5'k , kCZ,结合已知 232可得：二百，从而可求的值._冗【解答】 解：' f (x) =sin co+coscoxMsin (肝二)，:函数f (x)在区间(-叫)内单调递增，3> 02ky&T&

16、2kWkCZ可解得函数f (x)的单调递增区间为:3兀五产冗丁,丝N, kCZ,3337r兀可得：-加兀飞一,0 2k. + /,kez, 33. 解得：0<等-2k兀且0< Jw2ku咛，kCZ,解得：-1<k<4, kCZ, o o可解得：k=0, 又:由+=k兀+?,可解得函数f (x)的对称轴为：x=k7T+ 4 , kCZ, 由函数y=f (x)的图象关于直线x=CD对称，可得：必2=。，可解得：? 故答案为：耳 二.选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13. “mn0”是方程“m2+ny2=1表示双曲线”的()A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件

17、C.充要条件D.既不充分又不必要条件【考点】双曲线的简单性质；充要条件.22y1 1【分析】先证明充分性，把方程化为 丁+丁=1,由“mn0”，可得!、工异号，m n由 n可得方程表示双曲线，由此可得 “mn0”是方程“mx+ny2=1表示双曲线”的充分22条件；再证必要性，先把方程化为1 +1 =1,由双曲线方程的形式可得-> 上异 一m nm n号，进而可得mn<0,由此可得“mn0”是方程“m2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得答案.22k y【解答】解：若“mn0”，则m、n均不为0,方程mx2+ny2=1,可化为1 +1=1,若“mn0”，工、工异号，方程丁+丁

18、=1中，两个分母异号，则其表示双曲线, m nm n故“mn0”是方程“mX+ny2=1表示双曲线”的充分条件；2 V2反之,若mx2+ny2=1表示双曲线，则其方程可化为 丁+丁=1,m n此时有工、工异号，则必有mn<0,m n故“mn0”是方程“mX+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得：“mn0”是方程“mX+ny2=1表示双曲线”的充要条件；故选C.14.若方程f (x) -2=0在( 8, 0)内有解，则y=f (x)的图象是(【分析】根据方程f (x) -2=0在0)内有解，转化为函数f (x)的图 象和直线y=2在(-00, 0)上有交点.【解答】解：A:与直线y=

19、2的交点是(0, 2),不符合题意，故不正确；B：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y=2的在区间(0, +oo)上有交点，不符合题意，故不正确；D：与直线y=2在(-8, 0)上有交点，故正确.故选D.y1 in ¥15.已知函数fQ)卢；L门（底0, 2冗）是奇函数，贝u a<l-x2+cos（x+a）°A.0 B.卷CD.节【考点】函数奇偶性的性质.【分析】根据奇函数的性质建立关系式求解.【解答】解：由题意可知，函数f (x)是奇函数，即f (-x) +f (x) =0, 不妨设x<0,则-x>0.有：f (x) =-x2+cos

20、 (x+4,f ( - x) =x2- sinx那么：-x2+cos (x+® +x2-sinx=0解得：n二2k冗(kCZ).长0, 2Qa 三 故选：D.16.若正方体AiA2A3A4-B1B2B3B4的棱长为1,则集合x|x=&B?LB，iC1, 2, 3, 4, jC 1, 2, 3, 4中元素的个数为（）A. 1B. 2 C. 3 D. 4【考点】子集与真子集.【分析】 可百，辱;飞，啊，i, jC1, 2, 3, 4,由此能求出集合x|x二N西况瓦，iC1, 2, 3, 4, jC1, 2, 3, 4中元素的个数.【解答】解：:正方体A1A2A3A4-B1B2B3

21、B4的棱长为1,而，近,用Q市，i, jC1, 2, 3, 4,%B,?AjBj= A B,1? （ AiA.|+ABj+BB j） ,*2 * = RB?AjA+AiB +1B,BBj=1.集合x|x= 话?可耳，iC1, 2, 3, 4, jC1, 2, 3, 4中元素的个数为1.三.解答题(本大题共 5题，共14+14+14+16+18=76分)17.已知圆锥母线长为5,底面圆半径长为4,点M是母线PA的中点，AB是 底面圆的直径，点C是弧AB的中点；(1)求三棱锥P-ACO的体积；(2)求异面直线MC与PO所成的角.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角.【分析】(1)由

22、已知得AB=8, OC=4, OCXAB, PO=3,由此能出三棱锥 P- ACO的体积.(2)以。为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出异面直线 MC与PO所成的角.【解答】解：(1)二.圆锥母线长为5,底面圆半径长为4,点M是母线PA的中 点，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，.AB=8, OC=4, OC±AB , . PO=- = 一 ,=3,三棱锥 P-ACO 的体积 Vp aco=XSAA0CX0F J=4-. - - < - - -=8. 也(2)以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

23、A (0, -4, 0), P (0, 0, 3), M (0, -2,辛,C (4, 0, 0), O (0, 0, 0),K= (4, 2,-多，正二(0, 0, -3),设异面直线MC与PO所成的角为9,9_cos 0而I =Inc I-IpoI 科3 89故异面直线MC与PO所成的角为xarccos/89 arccos8918.已知函数 f (xhloga(/+&'-2) (a> 0),且 f (1) =2；(1)求a和f (x)的单调区间；(2) f (x+1) - f (x) >2.【考点】指数式与对数式的互化.注意函数的定义二2,【分析】(1)代值计算

24、并根据复合函数的单调性求出单调区问，域，(2)根据函数的单调性得到关于 x的不等式，解得即可.【解答】解：(1)函数(a>。)，且 f2. log2 (a+a 2) =2=log24,小+52>0, '2't a +a-2=4解得a=2,.f (x) =log2 (22x+2x-2),设 t=22x+2x2>0,解得 x>0,f (x)的递增区间(0, +oo)；(2) f (x+1) - f (x) >2,log2(22x+2+2x+1 -2) - log2 (22x+2x-2) >2=log24, .22x+2+2x+1 2>4 (

25、22x+2x 2),. 2x<3,二 x< log23,0<x< log23.不等式的解集为(0, <log23)19 . 一艘轮船在江中向正东方向航行，在点 P观测到灯塔A、B在一直线上，并 与航线成角a (0<a< 90 ),轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔A 在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东B(0°< 90°)方向，0 V o+B<90°,求CB;(结果用& B, b表示)【考点】解三角形的实际应用.【分析】由题意，/ B=90° -(/位，ZXPBC中，运用正弦定

26、理可得结论.【解答】解：由题意，/ B=90° -(肝位， PBC中，PC也由正弦定理可得CB|220 .过双曲线 J号二的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点,其中P是AB的中点；(1)求双曲线的渐近线方程；(2)当P坐标为(x°, 2)时，求直线l的方程；(3)求证:|OA|?|OB| 是一个定。.【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质.【分析】(1)求出双曲线的a, b,由双曲线的渐近线方程为y=±-x,即可得到 a所求；(2)令y=2代入双曲线的方程可得 P的坐标，再由中点坐标公式，设 A (m, 2m), B (n, - 2n),可

27、得A, B的坐标，运用点斜式方程，即可得到所求直线 方程；(3)设P (xo, yo), A (m, 2m), B (n, - 2n),代入双曲线的方程，运用中 点坐标公式，求得m, n,运用两点的距离公式，即可得到定值.2【解答】解：(1)双曲线J与二1的a=1, b=2,可得双曲线的渐近线方程为y=±-x, a即为y= ± 2x；(2)令 y=2 可得 Xo2=1+4=2,解得X0=,(负的舍去)，设 A (m, 2m), B (n, - 2n),由P为AB的中点，可得 m+n=2后，2m-2n=4,解得 m=M+1, n=Mi-1,即有 A (五+1, 2/2+2),可得PA的斜率为k=书常=2鼻, V2+W2则直线l的方程为y- 2=2加(x -加)，即为y=2我x -2；2(3)证明：设 P (xo, yo),即有 xo2-Z2_=1, 4设 A (m, 2m), B (n,