202X_202X学年高中数学第三章推理与证明3综合法与分析法3.1综合法课件北师大版选修1_2

1、-1-3综合法与分析法-2-3.1综合法目标导航1.了解直接证明的一种基本方法:综合法.2.理解综合法的思考过程及特点.3.学会用综合法证明问题.知识梳理1.综合法的定义从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过 演绎推理,一步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法.2.综合法的基本思路用综合法求解问题的基本思路是“由因导果”.由已知走向求证,即从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求的问题.3.综合法的思维模式若P表示已知条件(已有的定义、定理、公理等),Q表示所要证明的结论,则综合法可以用下面的框图表示.PQ1Q1Q

2、2Q2Q3QnQ知识梳理A.pq B.p0,y0,x+y=1,求证:分析:证明不等式时,可先从条件入手,将x+y=1代入要证明的不等式,再用基本不等式进行下一步证明;也可先从基本不等式入手,再进行下一步证明.典例透析题型一题型二题型三题型四证法一x+y=1, 典例透析题型一题型二题型三题型四反思用综合法证明不等式时,可以从条件出发,也可以从基本不等式出发,通过换元、拼凑等方法构造定值.若连续两次或两次以上利用基本不等式,则需要注意几次利用基本不等式时等号成立的条件是否相同.典例透析题型一题型二题型三题型四典例透析题型一题型二题型三题型四典例透析题型一题型二题型三题型四用综合法证明数列问题【例2

3、】 设数列an的前n项和为Sn,且(3-m)Sn +2man=m+3(nN+),其中m为常数,且m-3.(1)求证:数列an是等比数列;(2)若数列an的公比为q=f(m),数列bn满足b1=a1,分析:(1)类比题目所给等式得到Sn+1与an+1之间的关系式,两式相减,说明an是等比数列.(2)利用(1)中的公比q得到f(m),典例透析题型一题型二题型三题型四证明:(1)由(3-m)Sn+2man=m+3,得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3.两式相减,得(3+m)an+1=2man(m-3),又m为常数,且m-3,数列an是等比数列.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)(3-m)S

4、n+2man=m+3,(3-m)a1+2ma1=m+3.又m-3,a1=1.b1=a1=1.典例透析题型一题型二题型三题型四反思综合法证明数列问题时的证明依据主要来源于以下的相关知识:(1)数列的概念,特别是等差数列,等比数列的定义;(2)等差数列与等比数列的基本性质以及数列前n项和的性质;(3)数列的通项an与数列的前n项和Sn之间的关系: (4)递推公式与通项公式的关系.典例透析题型一题型二题型三题型四所以数列bn是等差数列,其中b1=1,公差为1. (2)解:由(1),知bn=n,an=n2n-1,所以Sn=120+221+(n-1)2n-2+n2n-1,所以2Sn=121+222+(n

5、-1)2n-1+n2n,两式相减,得Sn=n2n-120-121-12n-1=n2n-2n+1=2n(n-1)+1.【变式训练2】 在数列an中,a1=1,an+1=2an+2n. 典例透析题型一题型二题型三题型四用综合法证明立体几何问题【例3】 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)CDAE;(2)PD平面ABE.分析:解答本题可先明确线线、线面垂直的判定定理及性质定理,再用定理进行证明.典例透析题型一题型二题型三题型四证明:(1)在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD.A

6、CCD,PAAC=A,CD平面PAC.而AE平面PAC,CDAE.典例透析题型一题型二题型三题型四(2)由PA=AB=BC,ABC=60,可得AC=AB=BC=PA.E是PC的中点,AEPC.由(1),知AECD.又PCCD=C, AE平面PCD.而PD平面PCD,AEPD.PA底面ABCD,PAAB.又ABAD,ADPA=A,AB平面PAD,又PD平面PAD,ABPD.又ABAE=A,PD平面ABE.典例透析题型一题型二题型三题型四反思立体几何中线面之间垂直关系的证明是高考考查的重点,利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化,另外,利用一些常见的结论还可以将线

7、面间的垂直与平行进行转化.比如,两条平行线中的一条垂直于平面,则另外一条也垂直于平面;垂直于同一条直线的两个平面互相平行等.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,E,F分别是A1C1,BC的中点.求证:(1)平面ABE平面B1BCC1;(2)C1F平面ABE.典例透析证明：(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1底面ABC,所以BB1AB.又因为ABBC,BB1BC=B,所以AB平面B1BCC1,又AB 平面ABE,所以平面ABE平面B1BCC1.(2)取AB的中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的

8、中点,所以FGAC,且FG因为ACA1C1,且AC=A1C1,所以FGEC1,且FG=EC1,所以四边形FGEC1为平行四边形.所以C1FEG.又因为EG平面ABE,C1F平面ABE,所以C1F平面ABE.题型一题型二题型三题型四典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点用特殊代替一般,使证明错误典例透析题型一题型二题型三题型四典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练4】 已知ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列,求证:B为锐角.123451.“a,b,c是不全相等的正数”,给出下列判断:(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20;ab与ab及a=b中,至少有一个成立;ac,bc,ab不能同时成立.其中正确的判断有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:因为a,b,c不全相等中含有abc这种情况,所以错误.正确,所以正确的判断有2个.答案:C12345即x=3时,等号成立.故选D.答案:D123453.若sin +sin +sin =0,cos +cos +cos =0,则cos(-)=.解析:已知条件中有三个角,而所求结论中只有两个角,所以我们只需将已知条件中的角消去即可,依据sin