北京大学心理统计讲义051

1、第六讲: 概率（Probability） 概率简介概率与正态分布百分位点和百分位等级概率与二项分布概率（Probability）u 推论统计所必需的概念, 根据样本的信息对总体作出判断。 u 在可能有几种后果发生的情况下，概率被定义为某一种后果发生的可能性大小. 如果几种后果分别是A, B, C, D, 等等，那么: 概率 of A = A后果的次数 = f / N 所有可能后果次数的总和² 为获得正确定义的概率, 个体的选取 (取样) 一定要通过随机取样 随机取样应满足以下两个条件: 1. 总体中的每个个体有同样的机会被选择 2. 如果样本中要选择多于一个的个体，每次选择的概率应当

2、恒定² 回置取样（Sampling with replacement） - 一种取样方法， 在选择下一个个体（下次取样之前），将每个已选择个体放回总体之中次数分布与概率的关系_Xf_p_ 52 .05410.25316.4028.2014.10此表中比率栏与概率相同. 此比率对应这些间隔中曲线下方的面积。选择到3的概率是多少? p (3) = f / N = 16 / 40 = .40 选择到5的概率是多少? p(5) = f / N = 2 / 40 = .05 选择到大于2的值的概率是多少?p(X > 2) = ?.05 + .25 + .40 = .70 选择到小于5的值

3、的概率是多少? p(X < 5) = ? .10 + .20 + .40 + .25 = .95 选择到大于1而小于4的值的概率是多少? p(4 > X > 1) = ? .20 + .40 = .60概率与正态分布（Normal Distribution）正态分布是最常见的分布， 单峰和具对称性. 它可定义为下列方程:Y = 正态分布的注意点o 并非所有的单峰，对称曲线都是正态分布，但很多是 o 在本课程中, 无须担心所研究分布与正态分布有多接近, 在本课程所遇到的问题中，多数情况下，分布是正态 o 上述的平滑的曲线 是指密度曲线 (而并非次数曲线) o 曲线下方的面积总和

4、必定为1. 因为 曲线下方的面积相当于概率 (或比率)总概率 应当等于 1. o 正态分布常常转换为 z分数. n 对于一个正态分布: 34.13% 的分数会落入均值与一个标准差之间.13.59% 的分数会落入第一个标准差与第二个标准差之间。2.28% 的分数会落入第二个标准差与第三个标准差之间。 一个重要的工具是正态分布表. 在大部分教科书的附录中 (pg. 414). 利用此表可查到曲线下方的面积(亦即抽样的概率) 与曲线纵高 (以 z-分数位为单位). 正态分布表的应用： (A)z0.000.01 : 0.300.31: 1.00:(B) 主体的比例0.50000.5040 : 0.61

5、790.6217: 0.8413:(C) 尾端的比例0.50000.4960 : 0.38210.3783: 0.1587:注意 z = 1.0 = .5000 + .3413 = median + 34.13% 正态分布表可以将z-分数转换成概率和从概率查到相应的 z-分数. 建议: 画出分布图，目测距离 . 1）用正态分布表由z分数查概率的步骤: step 1: 画出分布图, 标出均值和标准差step 2: 标出所要查的分数点, 查核其与均值的相对位置以及到均值的粗略距离step 3: 重读一次题目看清你所需要的分数区间概率. 将图中的相应面积涂为阴影. step 4: 将 X 分数 转换

6、为 Z-分数step 5: 在正态分布表中使用正确的栏目 (以及符号) 找出概率 例1: IQ为 130或以上的 概率是多少?p(X > 130)? IQ： m = 100, s =15z = (130 - 100)/15 = 2.0-查表-> p = 0.0228IQ为 70或以下的 概率是多少?p(X < 70)? IQ：m = 100, s =15, z = (70 - 100)/15 = -1.0-查表 p = 0.15872）用正态分布表由概率查z分数的步骤: step 1: 画出正态分布图step 2: 将所求的概率相应区域涂为阴影.step 3: 在正态分布表上

7、找到所求的概率的适当栏（有时需换算） step 4: 用查到的z-分数标记阴影区域的边界 step 5: 计算所对应的原始分数 (X). 例2: 相当于人群顶端 5%的IQ 是多少 ? 分布最前面的尾端. p = 0.05 查表 -> z = 1.65故 X = (1.65)(15) + 100 = 124.753）找出X落在两个分数之间概率 step 1: 绘出曲线将所需的区域涂上阴影step 2: 将两个分数转换成 Z-分数step 3: 查表求这两个 z-分数的概率 step 4: 将两个概率相加或相减例3: 在SAT 中得到300 到650 的概率是多少？ SAT: m = 500, s =100p(z < (650 - 500) = p(z < 1.5) = 0.9332 100p(z < (300 - 500) = p(z < -2.0) = 0.0228 100p(300 < z < 650) = .9332 - .0228 =.91044）落在两点之外的百分比. 例4：在SAT 中得到300以下或 650 以上的概率是多少？SAT: m = 500, s =100 p(z > (650- 500)