【精品课件】112余弦定理

1、余余 弦弦 定定 理理1 1、向量的数量积、向量的数量积：cosbaba2、勾股定理、勾股定理：AaBCbc222cba证明：证明：CBACAB)(CBACCBACABABCBCBCBACACAC2222CBACAB复复 习习引引 入入向量法向量法几何法几何法坐标法坐标法例例 题题定定 理理小小 结结AaBCbc余余 弦弦 定定 理理AcbAbc当 时90C222bac当 时90C222bac当 时90C222bacAB边的大小与边的大小与BC、AC边的大小和角边的大小和角C的的大小有什么关系呢？大小有什么关系呢？怎样用它们表示怎样用它们表示AB呢？呢？复复 习习引引 入入向量法向量法几何法几

2、何法坐标法坐标法例例 题题定定 理理小小 结结思考题思考题：若若 ABC为任意三角形，已知角为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求求AB边边c.ABCabcCBACAB)(CBACCBACABABCBCBCBACACAC22)180cos(2220CBCCBACACAB解：解：Cabbaccos2222复复 习习引引 入入向量法向量法几何法几何法坐标法坐标法例例 题题定定 理理小小 结结余余 弦弦 定定 理理定理定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。Cabbacc

3、os2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222bcbcaB2cos222abcbaC2cos222余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边求三个角；）已知三边求三个角；（2）已知两边和它们的夹）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，求第三边和其他两个角。角。复复 习习引引 入入向量法向量法几何法几何法坐标法坐标法例例 题题定定 理理小小 结结余余 弦弦 定定 理理ABCabcD当角C为锐角时证明：过A作AD CB交CB于D在Rt 中ADCCACCDCACADcos,sin在 中CACCBCBACCACCACCBCBCACCDCB

4、CACBDADABcos2coscos2sin)()sin(222222222222Cabbaccos2222复复 习习引引 入入向量法向量法几何法几何法坐标法坐标法例例 题题定定 理理小小 结结Rt ABD余余 弦弦 定定 理理当角C为钝角时证明：过A作AD CB交BC的延长线于D在Rt 中ACDCACCACCDCACCACADcos)180cos(sin)180sin(在 中CACCBCBACCACCACCBCBCACCDCBCACBDADABcos2coscos2sin)()sin(222222222222Cabbaccos2222bAacCBD复复 习习引引 入入向量法向量法几何法几何

5、法坐标法坐标法例例 题题定定 理理小小 结结Rt ABD余余 弦弦 定定 理理bAacCB证明：以CB所在的直线为X轴，过C点垂直于CB的直线为Y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：)0 , 0(),0 ,(),sin,cos(CaBCbCbACabbaCbaCabCbCbaCbABcos2sincos2cos)0sin()cos(2222222222Cabbaccos2222复复 习习引引 入入向量法向量法几何法几何法坐标法坐标法例例 题题定定 理理小小 结结 利用余弦定理，可以解决：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边及夹角，求第三边和 其他两个角.ABCabcc2

6、=a2b22abcosC.a2b2c22abcosC复复 习习引引 入入向量法向量法几何法几何法坐标法坐标法例例 题题定定 理理小小 结结例 1：在ABC中，已知a7，b10， c6，求A、B和C.解：b2c2a22bc cosA 0.725， A44a2b2c22ab cosC 0.8071， C36, B180(AC)100.sinC 0.5954, C 36或144(舍).c sinA a()复复 习习引引 入入向量法向量法几何法几何法坐标法坐标法例例 题题定定 理理小小 结结例 2：在ABC中，已知a2.730，b3.696， C8228，解这个三角形.解： 由 c2=a2b22abc

7、osC,得 c4.297.b2c2a22bc cosA 0.7767， A392, B180(AC)5830.a sinC csinA 0.6299， A=39或141(舍).()复复 习习引引 入入向量法向量法几何法几何法坐标法坐标法例例 题题定定 理理小小 结结ABCOxy例 3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.解法一： AB 6-(-2)2+(5-8)2 =73 ,BC (-2-4)2+(8-1)2 =85 ,AC (6-4)2+(5-1)2=25 ,cosA ,2 AB ACAB 2 AC 2 BC 22365 A84.复复 习习引引 入入向量法向量法几

8、何法几何法坐标法坐标法例例 题题定定 理理小小 结结例 3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.ABCOy解法二： A84. cosA .ABACAB AC( 8)( 2)3( 4)73252365 AB(8，3)，AC(2，4).复复 习习引引 入入向量法向量法几何法几何法坐标法坐标法例例 题题定定 理理小小 结结ABCOxy例 3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、 (2，8)、(4，1)，求A.分析三： A = + ,tan = ?tan = ?tan(+ ) = 复复 习习引引 入入向量法向量法几何法几何法坐标法坐标法例例 题题定定 理理小小 结结解：在AOB

9、中， |a b|2 |a|2|b| 2 2|a|b|cos120 61, |a b|61.例 4：已知向量a、b夹角为120， 且|a| 5，|b|4，求|a b| 、 |ab| 及ab与a的夹角.ababBbACa120O复复 习习引引 入入向量法向量法几何法几何法坐标法坐标法例例 题题定定 理理小小 结结 ab 21. COA即ab与a的夹角约为49. cosCOA 0.6546,a 2 ab 2 b 22 a ab例 4：已知向量a、b夹角为120， 且|a| 5，|b|4，求|a b| 、 |ab| 及ab与a的夹角.ababBbACa120O在OAC中， |a + b|2 |a|2|

10、b| 2 2|a|b|cos60 21,例5 已知四边形ABCD的四边长为AB = 2.4, BC = CD = DA = 1, A= 30, 求C.解: BD2 = AB2 + AD2 2ABADcosA 2.60,cosC = = 0.30,DC2 + BC2 BD22DCBCA30DCBC 107.5.思考思考：若A= , 怎样用表示四边形ABCD的面积？练习ABC中,（1）a4，b3，C60，则c_；1314.6（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = _.104.5（3）a2，b4，C135，则A_.复复 习习引引 入入向量法向量法几何法几何法坐标法坐标法例例 题题定定 理理小小 结结研究题 总结解三角形的方法：已知三角形边角中哪三个量，有唯一解或多解或无解？分别用什么方法？复复 习习引引 入入向量法向量法几何法几何法坐标法坐标法例例 题题定定 理理小小 结结余余 弦弦 定定 理理课堂小结课堂小结：1、定理、定理：三角形任何一边的平方等于其他两边三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减平方的和减 去这两边与它们夹角的余弦的积的两去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍倍。2、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的、余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：问题：（1）已知三