微积分的推导资料

1、微积分的推导乘法坐标系下的积分公式摘要：本文把倍加的笛卡尔坐标系变成倍乘坐标系，因而把牛顿莱布尼 茨基本微积分公式的连加运算，变成连乘运算，提出新的基本微积分公式，还 给出一般的函数坐标系。在坐标系里，如果坐标轴上的单位间隔为：1 1, ,1,2, n 1 ,nn n 1且这里的n为整数，1作为坐标原点，把这样的坐标系称共坐标系，其图如下：V4$ 21/1 L1>ut115 41/1i/iL/9-施设函数y f x在共坐标系上a,b有界，在a,b中插入若干个分aX)x1x2Xn 1Xnb把区间a,b分成n个小区间Xo,x , X1 ,X2 ,Xn1,Xn各个小区间的长度依次为X1X1Xo

2、,X2X2X1,XnXnXn 1X1X2X3Xn 1XnXoX2XX3Xn 1X2Xn 2XnXn 1XnXo在每个小区间为1，x上任取一点x 1 i xi，做函数值i与小区间长度S的乘积nM1,2, ,n并做连乘f iSii 1，记max Xi, X2, Xn，如果不论对a,b怎样划分，也不论在小区间Xi 1，上i怎样选取，只要当能0时，积M总趋于确定的极限I,那么称这个极限I为函数yf x在区间a,b上的伊积分，记作b f x dx0a f x dx Mnlim0 i 1i Si其中f x叫做被积函数，f x dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做 积分下限，b叫做积分上限，a,b叫积

3、分区间可得微积分基本公式为：a f x dx F b F a其积分公式参考基本积分公式同理:设函数y f x在a,b上有界，在a,b中插入若干个分a xx1x2Xn 1Xnb把区间a,b分成n个小区间Xo,X1 , X1,X2 ,Xn 1, Xn各个小区间的长度依次为X1X1Xo, X2X2X1,XnXnXn 1X1X2X3Xn1XnXoX2XX3X2Xn 1XnXn 2Xn 1XnXo在每个小区间1,Xi上任取一点'Xi 1i X，做函数值fi与小区间长度S的乘积f j Sii 1,2,nnn nVni1 2 i 1 i 1i Simax x1, x2,Xn，如果不论对a,b怎样划分

4、,也不论在小区间Xi 1,Xi上i怎样选取，只要当能°时，积M总趋于确定的极限I，那么称这个极限I为函数yx在区间a,b上的高维伊积分，记作,nn nf x d nx V limf i Si°n i 12 i 1 i 1(1)注：当积分次数为分数时，这里给出一些说明n由分数的定义知，把n个东西分成m份，记做m而对幕函数的分数形式所表示的意义为：先对xn方，在开m次方，记做：nf (x)= xm = m xn因此对函数的积分次数的分数形式所表示的意义为：先对f(X)积n次方，在对f(X)求m次导，记做：ny : ；f x d mx而上述的乘法坐标系只是乘法函数坐标系的一种特例

5、，当坐标系里的坐标标注为:f n,f n 1,f n2, ,fn2,fn1,fn则称这样的坐标系为函数f x坐标系，而加法和乘法式的函数坐标系分别如图f(2>f(l)¥f(S)F"U当加法坐标系轴函数为f Xy y时，函数坐标系就变为笛卡尔坐标系，而乘法坐标系同理。伊积分和共坐标系的应用:(1)伊积分在概率论上的应用例如：在一个工厂的生产线上，产品从 a点移动到b点的合格的概率为P,而 在点 处产品合格的概率为f ，且ab，求概率P解： 首先建立共坐标系，然后把直角坐标系上的 a，b区间，变成共坐标系 的A，b区间，然后应用伊积分定理，求解概率 P,因此可得：P ;Bf d(2)共坐标系在函数图象和解析式上的应用例如2 £ 2 £函数y x画在直角坐标系里为双曲线，而画在fx