2022年08量子力学试题B评分标准

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -济南高校 20072021 学年其次学期量子力学试卷 B参考答案与评分标准一、填空（每空2 分，共 20 分）1. 厄米 ,实222222. d0r ,rdr ，rdr00r ,sin d d3. 1e 2ipx /，1 eipx /24.1 N21 N2 ，22n 或 2n（考虑电子的自旋）5.g se 或2 ， g mce或1 .2 mcl二、运算题 每题 5 分, 共 20 分2a2x1 解：由归一化条件知：2Asin0dx1a（3 分）解得： Aa（ 2 分）2 解：j zii2m e ikzz eikzzeik

2、ze ikz （ 5 分）2mzzk m3 解：s 2 的本征值为：221（ 2 分）本征态为：12 ；21 21 2 ；12（各 1 分）4 解：一维谐振子势为：由位力定理可知：V x1 m 2VnTn2 x2（2 分）而 TnVnn1 2（2 分）nT1 n1 22（1 分）1精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -三证明题（每道题5 分, 共 20 分）1. 证明：x,l.x, xp yyp xx, xp yx, yp xy x, p

3、xiy（ 5 分）z2. 证明：yzzy2ix（ 2 分）y 分别左乘和右乘上式，并利用21得zyzy2iyx ；yyzyz2ixy（ 2 分）上两式相加可得：xyyx0（ 1 分）3. 证明：1 AB2ABAA,BB1 BAAB 21 AB2BA（ 1 分）（2 分）1 AB2iBA1BAA B 2i1 AB2iBA（ 2 分）1 AB24. 证明：设.BA 和1 AB2iBA 均为厄米算符.A.nAnnA.mAmm（1）（ 2）（2 分）对2 取复共轭A.mAmm上式右乘n 并积分 A.m ,n Am m ,n （ 3）利用 A.A. 得 A.m ,n m , A.n An m ,n （

4、4）（4）代入（ 3）可得AmAn m ,n 0（2 分）假如 AmAn ，就必有 m ,n 0（ 1 分）四、（ 15 分）解：薛定谔方程为：2d 22m dx 2Exa / 2（ 3 分）0xa / 2在 xa /2区域内的通解是：A sinxB cosx ，1 / 22mE2（ 2 分）利用边界条件x a / 2得0xa / 22精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -A sina / 2B cos a / 20（2 分）Asina /

5、 2B cosa / 20就A 0 ，cos a / 20 ，n（ n 为奇数）（2 分）aB 0 ， sina / 2 0 ，n 22n（n 为偶数）（2 分）a2体系的能级为：E n2 ma 2 n1,2,3,（2 分）2 sin nxa xa / 2归一化后的波函数为：naa02 xa / 2（2 分）五、（ 10 分）22解：能量本征方程为：2I2E（5 分）能量本征函数可取为：m 1eim 2m0,1,2,（ 5 分）能量本征值为：E mm222I（ 5 分）六、 15 分100c1c1解： 1 无微扰哈密顿的本征方程为：V0030c2V0c2（ 3 分）002c3c3100久期方程

6、为：0300002解得：11,23,32（ 3 分）本征值和本征矢为100E 0VV ，00； E 0V3V ，01； E 0V2V ，00（ 6 分）1100102200203300313精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -10010000（ 2） HV003V0030V000H 0H0200200就E0E11H 112H 21002H 3100V0V0（1 分）VE1E2E1E 3E02E 22H 222H 12002H 32003V00（1 分）V2E 2E1E2E3E0E33H