集合知识讲解

1、集合及集合的表示 【学习目标】1.了解集合的含义，会使用符号“”“”表示元素与集合之间的关系2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等【要点梳理】集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.要点一、集合的有关概念1集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的

2、东西是否属于这个总体.2一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.3关于集合的元素的特征(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.4元素与集合的关系：(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作aA

3、(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作5集合的分类(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：.(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.6常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作N正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R要点二、集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.2. 列举

4、法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，；3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法. 如下图，就表示集合.1，2，3，4【典型例题】类型一：集合的概念及元素的性质例1.下列各组对象哪些能构成一个集合？(1)著名的数

5、学家；(2)比较小的正整数的全体；(3)某校2011年在校的所有高个子同学；(4)不超过20的非负数；(5)方程在实数范围内的解；（6）的近似值的全体.答案：(4)、（5）解析：从集合元素的“确定”、“互异”、“无序”三种特性判断.“著名的数学家”、“比较小的正整数”、“高个子同学”对象不确定，所以(1)、(2)、（3）不是集合，同理(6)也不是集合.(4)、（5）可构成集合，故答案是(4)、（5）.点评：(1)判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.(2)“有限集”和“无限集”是通过

6、集合里面元素的个数来定义的，集合里面元素的个数很多，但不一定是无限集.举一反三：【变式1】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限集.(1)你所在的班，体重超过75kg的学生的全体；(2)举办2008年奥运会的城市；(3)高一数学课本中的所有难题；(4)在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人的全体；(5)大于0且小于1的所有的实数. 答案：集合：（1）、（2）、（4）、（5）；有限集：（1）、（2）、（4）。解析：紧扣“集合”、“有限集”、“无限集”的定义解决问题.(1)你所在的班，体重超过75kg的学生是确定的，不同的，能组成一个集合，且为有限集；(2)

7、举办2008年奥运会的城市也能组成一个集合，为有限集；(3)不能构成集合.“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观判断.(4) 在2011年3月11日日本地震海啸中遇难的人是确定的，不同的，因而能构成集合，是有限集.(5) 大于0且小于1的所有的实数也是确定的，互异的，因此这样的实数能构成一个集合，是无限集.例2集合由形如的数构成的，判断是不是集合中的元素？答案：是解析：由分母有理化得，.由题中集合可知均有，即.点评：（1）解答本题首先要理解与的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，能否化成此形式，进而去判断是不是集合中的元素.（2）判断一个

8、元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.举一反三：【变式1】设(1)若aZ，则是否有aS？(2)对S中任意两个元素x1，x2，则x1+x2，x1·x2，是否属于集合S？答案：aS 是解析：(1)若aZ，则有aS，即n=0时，xZ，aS；(2)x1，x2S，则m1，n1，m2，n2Z，m1m2+2n1n2Z，m1n2+m2n1Zx1·x2S.类型二：元素与集合的关系例3.用符号“”或“”填空(1)(2)(3)解析：给定一个对象a，它与一个给定的集合A之间的关系为，或者，二者必

9、居其一.解答这类问题的关键是：弄清a的结构，弄清A的特征，然后才能下结论.对于第(1)题，可以通过使用计算器，比较各数值的大小，也可以先将各数值转化成结构一致的数，再比较大小；对于第(2)题，不妨分别令x=3，x=5，解方程；对于第(3)题，要明确各个集合的本质属性.(1) (2)令，则令，则(3) (-1，1)是一个有序实数对，且符合关系y=x2，点评：第(1)题充分体现了“化异为同”的数学思想.另外，“见根号就平方”也是一种常用的解题思路和方法，应注意把握.第(2)题关键是明确集合这个“口袋”中是装了些x呢？还是装了些n呢？要特别注意描述法表示的集合，是由符号“”左边的元素组成的，符号“”

10、右边的部分表示x具有的性质.第(3)题要分清两个集合的区别.集合这个“口袋”是由y构成的，并且是由所有的大于或等于0的实数组成的；而集合是由抛物线上的所有点构成的，是一个点集.举一反三：【变式1】 用符号“”或“”填空（1）若,则 ；-2 .（2）若则 ；-2 .答案：（1）， （2），类型三：集合中元素性质的应用例4.定义集合运算：.设集合，则集合的所有元素之和为A. 0 B. 6 C. 12 D. 18答案： D解析：，当时， ，于是的所有元素之和为0+6+12=18.点评：这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、

11、新公式、新运算和新法则等类型.举一反三：【变式1】定义集合运算：，设，则集合的所有元素之和为（ ）A. 0 B. 2 C. 3 D. 6答案：D解析：，且，z的取值有：0，2，4故，集合的所有元素之和为：0+2+4=6.例5. 设集合=x|，当集合为单元素集时，求实数的值.答案：0，1解析：由集合中只含有一个元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.当a0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a的值，可求得为a=1.故a的取值为0，1.例6.已知

12、集合，若，求实数的值及集合.答案：，.解析：（1）若则.所以，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.（2）若，则或，当时，满足题意；当时，与集合中元素的互异性矛盾，则应舍去.（3）若，则或，由上分析知与均应舍去.综上，集合.点评：本题中由于1和集合中元素的对应关系不明确，故要分类讨论.此类问题在解答时，既要应用元素的确定性、互异性解题，又要利用它们检验解的正确与否，特别是互异性，最容易忽视，必须在学习中引起足够的重视.举一反三：【变式1】已知集合，求实数的值答案： 解析：当，即时，与集合的概念矛盾，故舍去当即时，不满足题意舍去，故.类型四：集合的表示方法例7试分别用列举法和描述法表示下列集合：(

13、1)方程的所有实数根组成的集合；(2)由大于15小于25的所有整数组成的集合.答案：（1）；（2）。解析：(1)设方程的实数根为x，并且满足条件因此，用描述法表示为；方程有两个实数根因此，用列举法表示为.(2)设大于15小于25的整数为x，它满足条件，且15<x<25，因此，用描述法表示为；大于15小于25的整数有16，17，18，19，20，21，22，23，24，因此，用列举法表示为.点评：（1）列举法表示集合，元素不重复、不计次序、不遗漏，且元素与元素之间用“，”隔开.（2）列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示集合较为方便，而且一目了然.（3）用描述法

14、表示集合时，要注意代表元素是什么，同时要注意代表元素所具有的性质.举一反三：【变式1】用列举法表示集合：(1)A=xR|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0(2)B=(x，y)|x+y=3， xN， yN(3)C=y|x+y=3，xN， yN(4)(5)(6)P=x|x(x-a)=0， aR解析：本题是描述法与列举法的互化，一定要先观察描述法中代表元素是什么.(1)A=1，-2，-1，2(2)B=(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)(3)C=0，1，2，3(4)D=(0，0)(5)M=0(6)当a0时，P=0，a；当a=0时，P=0.点评：此例题（2）与（3），（4）与（

15、5）两组都是考察代表元素的，而（6）考察了集合元素的互异性，遇到代数式时，能否意识到字母aR，需要分类讨论.【变式2】用适当的方法表示下列集合：（1）比5大3的数；（2）方程的解集；（3）二次函数的图象上的所有点组成的集合。答案：（1）；（2）；（3）解析：（1）比5大3的数显然是8，故可表示为。（2）方程可化为，方程的解集为。（3）用描述法表示为。点评：用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合。集合的基本关系及运算【学习目标】1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集在具体情境中，了解空集和全集

16、的含义2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集【要点梳理】要点一、集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：要点诠释：（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或

17、“不包含”）真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：AB(或BA)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合与集合之间的“相等”关系，则A与B中的元素是一样的，因此A=B要点诠释：任何一个集合是它本身的子集，记作要点二、集合的运算1.并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：AB读作：“A并B”，即：AB=x|xA，或xBVenn图表示：要点诠释：（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重

18、复元素只出现一次).2.交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：AB，读作：“A交B”，即AB=x|xA，且xB；交集的Venn图表示：要点诠释：（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“AB中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于AB”（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.3.补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集

19、U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：要点诠释：（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）4.集合基本运算的一些结论：若AB=A，则，反之也成立若AB=B，则，反之也成立

20、若x(AB)，则xA且xB若x(AB)，则xA，或xB求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.【典型例题】类型一：集合间的关系例1. 请判断00 ；，正确的有哪些？【答案】【解析】错误，因为0是集合中的元素，应是；中都是元素与集合的关系，正确；正确，因为是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，而中的为非空集合；错误，是没有任何元素的集合【总结升华】集合的符号语言十分简洁，因而被广泛用于现代数学之中，但

21、往往容易混淆，其障碍在于这些符号与具体意义之间没有直接的联系，突破方法是熟练地掌握这些符号的具体含义.举一反三：【变式1】用适当的符号填空：(1) x|x|1 x|x21；(2)y|y=2x2 y|y=3x2-1； (3)x|x|>1 x|x>1；(4)(x，y)|-2x2 (x，y)|-1<x2【答案】 (1)= (2) (3) (4) 【总结升华】区分元素与集合间的关系 ，集合与集合间的关系.例2. 写出集合a，b，c的所有不同的子集.【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为a，b，c，含有2个元素的子集有a，b，a，c，b，c，含有3个元素的子集为a，b，c，即

22、含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有a，b，a，c，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.举一反三：【变式1】已知，则这样的集合有 个.【答案

23、】7个【变式2】同时满足：；，则的非空集合有（ ）A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个【答案】C 【解析】时，；时，；时，；时，；时，；非空集合可能是：，共7个.故选C.【变式3】已知集合A=1，3，a， B=a2，并且B是A的真子集，求实数a的取值.【答案】 a=-1， a=或a=0【解析】， a2A， 则有：（1）a2=1a=±1，当a=1时与元素的互异性不符，a=-1；（2）a2=3a=（3）a2=aa=0， a=1，舍去a=1，则a=0综上：a=-1， a=或a=0.注意：根据集合元素的互异性，需分类讨论.例3. 设M=x|x=a2+1，aN+，N=x|x=b2

24、-4b+5，bN+，则M与N满足( )A. M=N B. MN C. NM D. MN=【答案】B【解析】当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.例4已知若M=N，则= A200 B200 C100 D0【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性【答案】D【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由00，|x|，y可知若x=0，则xy=0，即x与

25、xy是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以x0.若x·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破坏了N中元素的互异性，故xy0若，则x=y，M，N可写为M=x，x2，0，N=0，|x|，x由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立若|x|=1即x=±1当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故 x1当x=-1时，M=-1，1，0，N=0，1，-1符合题意，综上可知，x=y=-1=-2+2-2+2+2=0【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有

26、的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点举一反三：【变式1】设a，bR，集合，则b-a=( )【答案】2【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：当b=1时，a=-1，当时，b=a且a+b=0，a=b=0(舍)综上：a=-1，b=1，b-a=2.类型二：集合的运算例5. （1）已知集合M=y|y=x2-4x+3，xR，N=y|y=-x2+2x+8，xR，则MN等于( )A. B. R C. -1，9 D. y|-1y9（2）设集合M=3，a，N=x|x2-2x<0，xZ，MN=1，则MN为( )A. 1，2，a B. 1，2，3，a C

27、. 1，2，3 D. 1，3【思路点拨】（1）先把集合M、N进行化简，在利用数轴进行相应的集合运算（2）先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题【答案】（1）D （2）D【解析】（1）集合M、N均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M=y|y-1，N=y|y9，所以MN=y|-1y9，选D.（2）由N=x|x2-2x<0，xZ可得：N=x|0<x<2，xZ=1，又由MN=1，可知1M，即a=1，故选D.举一反三：【变式1】设A、B分别是一元二次方程2x2+px+q=0与6x2+(2-p)x+5+q=0的解集，且AB=，求AB.【答案】， ，-4【解析】AB=，是

28、方程2x2+px+q=0的解，则有： (1)，同理有：6()2+(2-p)·+5+q=0(2)联立方程(1)(2)得到：方程(1)为2x2+7x-4=0，方程的解为：x1=， x2=-4， ，由方程(2) 6x2-5x+1=0，解得：x3=， x4=，B=， ，则AB=， ，-4.【变式2】设集合A=2，a2-2a，6，B=2，2a2，3a-6，若AB=2，3，求AB.【答案】 2，3，6，18【解析】由AB=2，3，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以32，a2-2a，6，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1当a=3时，A=2，3，6，B=2，18，3AB=2，3，62，18，3=2，3，6，18当a=-1时，A=2，3，6，B=2，2，-9这既不满足条件AB=2，3，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去.综上AB=2，3，6，18例6. 设全集U=xN+|x8，若A(CuB)=1，8，(CuA)B=2，6，(CuA)