2022年(经典讲义)基本不等式

1、精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载一、学问梳理1、基本不等式的基本形式：基本不等式与对勾函数（ 1）a, bR ，就 a2b2 2ab ，当且仅当时取等号；（ 2）a, bR，就ab 2ab ，当且仅当时取等号；2、公式变形：2a2b2ab（ 1） ab；（2） ab ；23、求最值：当为定值时， ab ， a2最大值（）；2b2 有最小值；当a +b 或为定值时，有4、运用基本不等式时留意深刻懂得“一正”、“二定”、“三相等” 的意义；5、对勾函数yaxb a x0,b0 的图像与性质性质：（1）定义域：,00,（2）值域： ,2ab

2、 2ab,（3）奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的外形，且函数图像关于原点呈中心对称，即f xf x0（4）图像在一、三象限当 x0 时，由基本不等式知yaxb x2ab（当且仅当xb取等号），a即 f x 在 x=b时，取最小值a2ab由奇函数性质知：精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载当 x<0 时，f x在 x=b时，取最大值a2ab（5）单调性：增区间为（b ,），（a,b ）a减区间是（ 0，

3、b ），（ ab,0 ）a二、典型例题例 1、以下说法结论正确选项（）1x23A yx的最小值是2B yx4x22x25的最小值是2C ysin x, xsin x0, 的最小值是4D yx21的最小值是5变式 1、以下结论正确选项（）A 当 x0 且 x1 时，lg x1 2 lg xB x0 时，x1 2 xC当x 2 时， x1 的最小值为2xD 0x 2 时， x1 无最大值x例 2、（ 1） 设 a0 ， b0 ，如3 是 3a 与 3b 的等比中项，就11ab的最小值为（）1A 8B 4C 1D 4（ 2） 已知 a0,b0 ，且 2ab3 ，就5 +1的最小值为2ab（ 3） 如

4、 0 <x < 3 ，就 1 +x13-x的最小值为（ 4） 如 1x2 ，就1x11的最小值为2x（ 5） 已知 0x2 ，就x2x 的最大值为精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载（ 6） 已知 0 <x < 2 ，就 2x2 -233 x 的最大值为（ 7） 已知a, b0 ， a 2b1 ，就 a221b的最大值为变式 2、（ 1）已知 x0, y0 ，且 x2 y1，求 1x1的最小值；

5、y（ 2）已知 a0,b0 ，且 a+2b =3 ，就1+ 4 的最小值为（ 3）如 0x2 ，就 33x123x2 ab的最小值为（ 4）如 1<x < 3 ，就1+1的最小值为x - 13 -x（ 5）已知 0 <x < 4 ，就 -x x-4 的最大值为（ 6）已知 0 < x <2 ，就 -322x2 -3 x 的最小值为（ 7）已知a,b0 ， a 2 +2b2 =1 ，就 a1b的最大值为例 3、已知正数x、y 满意 812 ，就 x2y 的最小值为xy3变式 3、已知正数x、y 满意 811 ，就 x2y 的最小值为xy2精选名师 优秀名师 -

6、 - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载例 4、（ 1） 如 x, yR，且 x4 y1 ， 就 xy 的最大值为（ 2） 已知x, yR ，且 xy2 ，就2 x2 y 的最小值为（ 3） 已知x, yR ，且 x +2 y =2 ，就 2 x +4 y 的最小值为变式 4、（ 1）设x, y 是满意 2xy4 的正数，就lg xlgy 的最大值为（ 2）已知x, yR ，且x + 3 y =2 ，就 3x +27 y 的最小值为例 5、如正

7、数a,b 满意abab3 ；（1）求 ab 的取值范畴；2 ）求 a+b 的取值范畴；变式 5、如正数a,b 满意aba4b5 ；（1）求 ab 的取值范畴；2 ）求 a+b 的取值范畴；精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载例 6、（ 1） 如 log 3 m -log 1 n =32 ，就 mn 的最小值为（ 2） 如x, y0,1 ，且 xy1 ，就 log91 x×log 3 31 的最大值为y+m变式

8、 6、（ 1） 如 log 3 1log 1 n =32 ，就 mn 的最小值为（2）如x, y0,1 ，且 xy1，就 -9log1 x .log 3 3y 的最大值为例 7、（ 1） 已知 x >（ 2） 已知 x 10 ，就 x +0 ，就 x +1的最小值为x1的取值范畴为x（ 3） 已知x 1 1，就 x1的取值范畴为x1（ 4） 已知x 1 1，就4 x +1x - 1的取值范畴为变式 7、（ 1）已知（ 2）已知x > 0 ，就x 1 0 ，就x + 2x +1的最小值为4 x1的取值范畴为8x（ 3）已知x 1 1 ，就23x +12x -的取值范畴为1（ 4）已知

9、x 1 1，就4 x +163（ x-的取值范畴为1）精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载例 8、（ 1） 已知 x 32 ，就 x +1 的最小值为x（ 2） 已知1 x 22 ，就x + 1 的取值范畴为x（ 3） 函数f xx291x 29的最小值为变式 8、（ 1）已知x 3 1 ，就 -x-1 的最大值为2x（ 2）已知 1 x2，就4 x +1的取值范畴为x（3）已知1 x42 ，就4 x + 1 的取值范

10、畴为x（4）函数f x =x2 + 9 +4x2 +的最小值为9（5）函数f xx11x的最小值为1例 9、（ 1）已知正数x, y 满意 xy4 ，就使不等式4 xymxy 恒成立，求 m 的取值范围；（ 2） 已知不等式（xy ）（ 1a ） 9 对任意正实数x ， y 恒成立，就正实数a 的最小值xy为变式 9、（ 1）已知正数x, y 满意 xy4 ，就使不等式m（4x +y）.xy 恒成立，求m 的取值范畴；（ 2）已知不等式（xy ）（ 1a ） 4 对任意正实数x ， y 恒成立，就正实数a 的xy最小值为精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 6 页，共

11、11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载例 10、（ 1） 函数f xxx 29的最大值为（ 2） 函数f xx2x x1的值域为（ 3） 函数f xx3x 的值域为x2（ 4） 已知 x1 ，求函数f xx27 x10的最小值x1（ 5）求函数f就 f x 的最大值为 x x1x 2x在区间21, 上的最大值； 如区间改为4,变式 10、（1） 函数f x =x x2 +（ 2 x 96）的最大值为（ 2）函数f x =x2 + x +x1（ x .2）的值域为（ 3）函数f x =x + 3

12、 +x + 22 x -1 的值域为精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载（4）已知 x1，求函数f x =x2 + 9 x-9 的最大值x - 1（ 5）已知 x1 ，求函数f x =x + 12的最大值x + 7 x + 10三、课后巩固1、以下各函数中，最小值为2 的是（）A yx1xx23B ysin x21， x0,sin x2C yx224D yx1x2、如 x<0，就 2 + 3x +x 的最大值是（

13、）A 2+43B 2± 43C 2 43D以上都不对3、以下命题中正确选项（）A、 yx1x2B、 yx x2的最小值是 23的最小值是 2 2C、 y23 x4 x0 的最大值是243D、 y23 x4 x0 的最小值是243x x4、求函数f xx5的值域x15、求函数f xx2的值域x36、求函数f xx25x24的最小精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载7、 求函数f xx 21x217的值域8、如

14、x1 时，不等式x1 a 恒成立，求实数a 的取值范畴x1329、某工厂建造一个无盖的长方形贮水池，其容积为6400 m ，深度为 4m，假如池底每1 m的造价为160 元，池壁每1 m2 的造价为100 元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？10、正数a,b 满意abab6 ；（1）求 ab 的取值范畴；2 ）求 a+b 的取值范畴；11、（1） 已知 a0,b0 ，且 2a+ b =4 ，就5 + 1 的最小值为2 ab（ 2）已知 0 <x < 2 ，就 2x2 -55 x 的最大值为（ 3）已知a, b0 ， a 2b1 ，就 a221+ 4b2的最大值为（

15、4）已知正数x、y 满意 812 ，就 x2y 的最小值为xy5精选名师 优秀名师 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - -精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载（ 5）已知x, yR ，且 x +4 y =2 ，就 2 x +16 y 的最小值为12、（ 1）如log 3 m -log1 n =y32 ，就 mn 的最小值为（ 2）如x, y0,1 ，且 xy1 ，就 log91 x ×log 2 21 的最大值为13、（ 1）已知x > 0 ，就9x +的最小

16、值为x（ 2）已知x 1 0 ，就 x +9的取值范畴为x（ 3）已知x 1 1，就 x +9x - 1的取值范畴为（ 4）已知x 1 1，就4 x +9x - 1的取值范畴为（ 5）已知 1 x25 ，就x + 16x的取值范畴为（ 6）函数f x =x2 +16 +1x2 + 16的最小值为（ 7）已知x 3 4 ，就 -x -1的最大值为2 x14、已知正数x, y 满意 xy4 ，就使不等式9 x +y . mxy 恒成立，求m 的取值范畴；15、（ 1）函数f x =xx2 + 16的最大值为x2 + x + 4（ 2）函数f x =的值域为x精选名师 优秀名师 - - - - - -