初一年级数学动点问题例题集

1、初一数学动点问题集锦1、如图,ABC中,AB=AC=10厘米,BC=8厘米,点D为AB的中点.1如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.假设点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,BPD与CQP是否全等,请说明理由；假设点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使BPD与CQP全等？2假设点Q以中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC的哪条边上相遇？解：1t=1秒,.BP=CQ=3W=3厘米, AB=10厘米,点D为AB的

2、中点, .BD=5厘米.又二厘米,PC=8-355PC=BC-BP,BC=8,PC=BD.又AB=AC, .NB=NC, ABPD-ACQP.4分.Vp#Vq,.bp#cq,又.BPDWCQP/B=/C贝jBP=PC=4,CQ=BD=5BP4t=点P,点Q运动的时间33秒,vQ-CQ153厘米/秒.(7分)(2)设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,15c八“x=3x210由题意,得480x=解得3秒.803=80点P共运动了3厘米.80=2x28+24,点P、点Q在AB边上相遇,80经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇.(12分)1 .y-3x62、直线4与坐标轴分别交于AB两点,动点P、Q同

3、时从.点出发,同时到达A点,运动停止.点Q沿线段0A运动,速度为每秒1个单位长度,点P沿路线O-B-A运动.(D直接写出AB两点的坐标;(2)设点Q的运动时间为t秒,ORQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式;(3)当SW时,求出点P的坐标,并直接写出以点0、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标.解(1)A(8,0)B(0,6)1分芾用图(2)；OA=8,OB=6.AB=10点Q由.到A的时间是8=8秒610二2,点P的速度是8单位/秒1分当P在线段OB上运动或0&tW3时,OQ=t,0P=2t2S=t1分PDAP48-6tPD如图,作pD,0A于点D,由BO,1分AB5当P

4、在线段BA上运动或3<t&8时,OQ=t,AP=6+102t=162t13o24SOQPD=-tt2551分自变量取值范围写对给1分,否那么不给分.p8,24(3)I5511分m1224,M3.一,一15513分,1824m122411M255.553如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=2x8分别与x轴,y轴相交于A,B两点,点P0,k是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作.P.1连结PA,假设PA=PB试判断.P与x轴的位置关系,并说明理由；2当k为何值时,以.P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？解：1O第(2)源,直线y=2x8与x轴交于A(4

5、,0)与y轴交于B(0,8),OA=4OB=8.由题意,OP=-k,PB=PA=8+k.在?AOM,k2+42=(8+k)2,；k=3,；OP等于.P的半径,.P与x轴相切.(2)设.P与直线l交于C,D两点,连结PGPD当圆心P在线段OB上时,作PnCDTE.PCM正三角形,DE=2CD=2,PD=33.3.PE=2./AOBWPEB=90,/ABO=PBE.AO耿APEB3.3处=%即吃二wABPB4,5PBPB_3J5PBP(0,3.15-8)3152-8),当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,315k=-8,3153158时,以.P与直线l的两个交点和圆心P.,当k=28或k

6、=2为顶点的三角形是正三角形4如图1,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,四边形ABCO菱形,点A的坐标为(一3,4),点C在x轴的正半轴上,直线AC交y轴于点MAB边交y轴于点H.(1)求直线AC的解析式；(2)连接BM如图2,动点P从点A出发,沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动,设八PMB勺面积为S(Sw0),点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式(要求写出自变量t的取值范围)；(3)在(2)的条件下,当t为何值时,/MPBW/BCOT为余角,并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值.解：28一(I)过点A作AE_Lk轴垂是为E(加图)/A(-3t4)AE=4.

7、膜3/.OA=VmOEr=5:四边形ARCO为菱形aOC=CB=BA=OA=5,C6,0)1分设直线AC的解析式为1户kx+b5k+b-0-3k+b=452,直线K的解析式为炉亭+由得M点坐标为,.OM=j如图I,当P点在AE边上运动时由题意得0H=415,S：BPMH=y5-2t微,1分E.710C-P图16(0/吟)当P点在BC边上运动时,记为R"0CM=£BCMCO=CBCM=CM设0P与AC相交于点Q连接0B交AC于点K/ZAOOAABC.A0M=zLABM.2MPB十£BCO=90"ZBAOZBCO£BA0+£A0H=9CF

8、“MPH二£AOHNMPBUMBH当P点在AB边上运动时,如图2乙MPB=乙MBH,-,PM=BMMH1PB/TH=HB=2/.PA=AH-PH=1.i=y-1分AB/OCSAQIOCQ"AQ声"QOaAAQP-ACQO器嗡十在RtAAEC中AC=VAEE?=V43+Sr=4V5-,AQ=Qjioy在RT&0HB中OB=VHB3+HO1=V2M3d班vAClOBOK=KBAK=CK/.OK=VTAK=KC-2VVjQK=AK-AQ=竽一0HB,tarL£OQC=:孑1分当P点在BC边上运动时,如图3+.2BHM=tFBM=90"乙MPB

9、二乙MBH/.tanLMPB=tanZ.MBHbBPHBt1BP225,PC=BC-BP=5*6101分由PC/OAC2.-1“AQ3tOK=VT同理可证APQCsAOQACQ=J-AC=VT切K=KC-CQ=/T0,COCP,AQ-而/.tanZ.OQK=-=l图3综上所述,当t=：时,乙MPB与±BC.互为余角,直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为右aAOMCABMC,OM=BM="乙M0=£MBC=90.,岳鼻B,BM斗-5),塔0吟鸟tW5),上,y后列1上！当仁假设_时,上MPB与EBCO互为余角,直线0P与直线AC所央锐角的正切值为1v5在RtABC中

10、,/C=90,AC=3,AB=5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动,到达点A后马上以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动,DE保持垂直平分PQ且交PQ于点D,交折线QB-BC-CPF点E.点P、Q同时出发,当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒t>0.(1)当t=2时,AP=,点Q到AC的距离是(2)在点P从C向A运动的过程中,求APQ勺面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)(3)在点E从B向C运动的过程中,四边形QBE值9否成为直角梯形？假设能,求t的值.假设不

11、能,请说明理由；(4)当DEg过点C时,请直接写出t的值.(2)作QFLAC于点F,如图3,AQ=CP=t,AP=3-1由AAQSAABCBC=.52-32=4_14S,(3-1)4t245t=-t=(4)2或14,5t22S=_t即5能.当DE/QB时,如图4.DELPQ.PQ!QB四边形QBE近直角梯形.此时/AQP=90.AQAP3-t由AAPQsABC彳#ACAB9t=8如图5,当PQ/BC时,DELBC,四边形QBE电直角梯形.此时/APQ=90.由AAQPsABC得AQAPAB-ACt3-tt即53.解得点P由C向A运动,DE经过点C.连接QC彳QGLBC于点G,如图6.p3,l,

12、、/一42PC=tqc2=qg2+cg2=5(5-t)2+4-5(5-t)2232425PC2_QC2/曰t2=(5-1)24(5-t)2曰t=由PC=QC,得55,解得2点P由A向C运动,DE经过点C,如图7.2324245(6-t)=-(5-t)4-(5-t)t=-551416如图,在RtABC中,/ACB=90.,/B=60.,BC=2.点.是AC的中点,过点O的直线l从与AC重合的位置开始,绕点.作逆时针旋转,交AB边于点D.过点C作CE/AB交直线ACAO=2=3.于点E,设直线1的旋转角为口.(1)当0(=度时,四边形EDBC是等腰梯形,此时AD的长为；B度时,四边形EDBC是直角

13、梯形,此时AD的长(2)当«=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形,并说明理由.解(1)30,1;60,1.5;4分(2)当/a=900时,四边形EDB久菱形./a=/ACB=900BC/ED.:CE/AB,.四边形EDBC是平行四边形.6分在RtAABO,/ACB=900/B=600,BC=2,/A=300. .AB=4,AC=23.在?AODK/A=300,aAD=2. .BD=2. .BD=BC.又四边形EDB0平行四边形,四边形EDBO菱形10分7如图,在梯形ABCD中,AD/BC,AD=3,DC=5,AB=472,/B=45°动点M从B点出发沿线段BC

14、以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t秒.(1)求BC的长.(2)当MN/AB时,求t的值.(3)试探究：t为何值时,MNC为等腰三角形.解：(1)如图,过A、D分别作AK_LBC于K,DH1BC于H,那么四边形ADHK是矩形KH=AD=3.1分在RtABK中,AK=ABbin45'=4.2.2=42BK=ABLcos45'=42_-2=4在RtCDH中,由勾股定理得,HC=52-42=322分BC=BK+KH+HC=4+3+3=103分图图2如图,过D作DG/AB交BC于G点,那么四边形ADG

15、B是平行四边MN/ABMN/DGBG=AD=3.GC=10-3=74分由题意知,当M、N运动到t秒时,CN=t,CM=10-2t.DG/MN/NMC=/DGC又/C=/CAMNCsGDCCNCM.CDCG5分1_10-2t即5一750t=解得,176分(3)分三种情况讨论：当NC=MC时,如图,即t=10-2t37分当MN=NC时,如图,过N作NE,MC于E1“八10-2t)=5-t解法一：一1一EC=MC由等腰三角形三线合一性质得2在RtCEN中,EC5-tcosc=NC又在RtADHC中,CHcosc=CD5-t3t一5tT解得88分解法二：./C=/C,NDHC=/NEC=90口NECs

16、/XDHCNCECDC-HC£5-t即5一3当MN=MC时,如图,过M作MFLCN于F点.解法一：方法同中解法一_1_1FC=-NC=-tcosC=-MCt=210-2t解得二解法二:/C=/C,/MFC=/DHC=90.AMFCsDHCFC_MCHC-DC12t10-2t即5二5t,17,10,25,60t二t二t二综上所述,当3、8或17时,MNC为等腰三角形9分8如图1,在等腰梯形ABCD中,AD/BC,E是AB的中点,过点E作EF/BC交CD于点F.AB=4,BC=6,/B=60：(1)求点E到BC的距离；(2)点P为线段EF上的一个动点,过P作PMLEF交BC于点M,过M作

17、MN/AB交折线ADC于点N,连结PN,设EP=x.当点N在线段AD上时(如图2),APN的形状是否发生改变？假设不变,求出PMN的周长；假设改变,请说明理由；当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使4PMN为等腰三角形？假设存在,请求出所有满足要求的x的值；假设不存在,请说明理由.B图1图2图3图4备用图5备用图12当点N在线段AD上运动时,PMN的形状不发生改变.解1如图1,过点E作EGLBC于点G1分E为AB的中点,1BEAB=2.2在RtEBG中,/B=60；./BEG=3002分BGBE=1,EG=22-12=,3.2即点E到BC的距离为G3分.EF/BC,；Ep=GM,pm

18、二EGPM_LEF,EG-LEF,.-.PM/EG.同理MN=AB=4.4分如图2,过点P作PH,MN于H,=MN/AB,./NMC=/B=60:/PMH=3041飞PHPM22MH=PMbs30W3.2NH那么PN=JNH2PH2在RtzXPNH中,=、,752.APMN的周长=PM+PN+MN=6+行+4.6分N在线段DC上运动时,APMN的形状发生改变,但4MNC恒为等3=MN-MH=42边三角形.当PM=PN时,如图3,作PR,MN于R,那么MR=NR.3MR二一类似,2.MN=2MR=3.7分.4MNC是等边三角形,；MC=MN=3.止匕时,x-EP-GM=BCBGMC=6-13=2

19、.图3当MP=MN时,如图4,这时MC=MN=MP=.3.此时,x=EP=GM=6-1-3=5-、3.当NP=NM时,如图5,/NPM=/PMN=30°贝J/PMN=120:又/MNC=60:/PNM+/MNC=180二因此点P与F重合,PMC为直角三角形.MC=PMjan30'=1.止匕时,x=EP=GM=611=4.综上所述,当x=2或4或(5毒)时,4PMN为等腰三角形.10分9如图,正方形ABCD中,点A、B的坐标分别为(0,10),(8,4),点C在第一象限.动点P在正方形ABCD的边上,从点A出发沿A一B-C-D匀速运动,同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动,当

20、P点到达D点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒.(1)当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标x(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在(1)中当t为何值时,OPQ勺面积最大,并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变,当点P沿A-B-CfD匀速运动时,OP与PQ能否相等,假设能,写出所有符合条件的t的值；假设不能,请说明理由.点P运动速度每秒钟1个单位长度.2分(2)过点B作BF,y轴于点FAF=0T=6在RtAFB中,五=府,6:10分,BE£x轴于点E,贝(JBF=8,O

21、F=BE=4.过点C作CG,x轴于点G,与FB的延长线交于点v4眈=90:AB=BC.ABHBCH-BH=AF=6,CH=BF=8.OG=FH=86=14,CG=84=12所求C点的坐标为(14,12).(3)过点P作PMLy轴于点MPN!x轴于点n,APMhMBFAPAMMPtAMMPAB=布=定.而=6=8.34AM=t,PM=t55八3_4PN=OM=10t,ON=PM=t55设opq勺面积为S平方单位134732S二一(10t)(1t)=5tt2'5八"1010(0<t<10)说明：未注明自变量的取值范围不扣分.47t=_一=之at2(-)6t10<

22、0.当10时,OPQ勺面积最大.9453此时P的坐标为15,65t二一295t二一(4)当3或13时,OP与PQ相等.9分10数学课上,张老师出示了问题：如图1,四边形ABC此正方形,点E是边BC的中点.2AEF=90,且ef交正方形外角/DCG的平行线CF于点F,求证：AE=EF经过思考,小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M连接ME那么AM=EC易证AME叁匕ECF,所以AE=EF.在此根底上,同学们作了进一步的研究：1小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点改为“点E是边BC上除B,C外的任意一点,其它条件不变,那么结论"AE=EF仍然成立,你认为小颖的观点正确吗？如

23、果正确,写出证实过程；如果不正确,请说明理由；2小华提出：如图3,点E是BC的延长线上除C点外的任意一点,其他条件不变,结论"ae=ef仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确,写出证实过程；如果不正确,请说明理由.解：1正确.1分证实：在AB上取一点M,使AM=EC,连接ME.2分BM=BE./BME=45°AME=135°5VCF是外角平分线,:.乙DCF=45,ECF=135.二/AME=/ECF.；/AEB+/BAE=90°/AEB+/CEF=90°:./BAE=/CEF.AAMEABCFASA.5分二AE=EF.6分2正确.7分证实

24、：在BA的延长线上取一点N.使AN=CE,连接NE.8分:BN=BE.:.乙N=/PCE=45.四边形ABCD是正方形,二AD/BE.二/DAE=/BEA.NAE-ZCEF.aAANEAECFASA.10分J.AE=EF.11分11一个直角三角形纸片OAB,其中/AOB=90°,OA=2,OB=4.如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D.(I)假设折叠后使点B与点A重合,求点C的坐标;(n)假设折叠后点B落在边0A上的点为B',设8F=x,0C=y,试写出y关于x的函数解析式,并确定y的取值范围;,x(田)假设折叠后点B落在边

25、0A上的点为B',且使BD/OB,求此时点C的坐标.解(I)如图,折叠后点那么ACDBCD.设点C的坐标为(0,m*mA°).贝JBC=OB-OC=4-m于是AC=BC=4-m.222在RtAOC中,由勾股定理,得AC=OC+OA,23.222m=即4-m=m匕,解得2,点C的坐标为(R)如图,折叠后点B落在0A边上的点为B',由题设OB'=x,OC=y,贝jBC=BC=OB-OC=4-y,22.2在RtzXB0c中,由勾股定理,得BC=OC+OB'一22,2-4-y=yxy二x22即86分由点B'在边OA上,有0&X02,120&X&2为所求.y二一-x2,二解析式8.当00X02时,y随x的增大而减小,3y的取值范围为2田如图,折叠后点B落在0A边上的点为B",且B'D"OB.那么/OCB=/CB'D.又；/CBD=/CB"D,./OCB=/CBD,有CB"/BA.二RtACOBsRt/XBOAOBOC有石A=OB,得OC=2OB.9分在RtB'OC中,设OB=x0x>0,那么OC=2x°.-12-2x0=-x2.2由R的结论,得8,解得X=-8-4'.5/；0,%=-84,5,点C的坐标为°,8且化.1