初中数学-中考数学复习讲义-平行四边形的性质及判定.讲义学生版

1、平行四边形的性质及判定中考要求板块测试要求A级要求B级要求C级要求平行四边形会识别平行四边形掌握平行四边形的概念、判定和性质,会用平行四边形的性质和判定解决简单问题会运用平行四边形的性质和判定解决后关问题且HUlB知识点睛1 .平行四边形的性质平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等.平行四边形的角：平行四边形的对角相等,邻角互补.平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的对称性：平行四边形是中央对称图形.平行四边形的周长：一组邻边之和的2倍.平行四边形的面积：底乘以高.2 .平行四边形的判定两组对边分别平行的四边形是平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.两

2、条对角线互相平分的四边形是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.11Mb£例题精讲一、平行四边形的性质【例1】如图,四边形ABCD为平行四边形,即ABIICD,ADIIBC.通过证实三角形全等来说明:AB=CD,AD=BC.对边相等AO=CO,BO=DO.对角线互相平分【稳固】【例2】如图,在平行四边形ABCD中,EF/BC,GH/AB,EF与GH相交于点O,图中共有如图,E,F是平行四边形ABCD对角线上的两点,BE=DF,那么AF和CE相等吗？请说明理由平行四边形【稳固】以三角形的三个顶点作平行四边形,最多可以作A.2个B.3个C

3、.4个D.5个【例3】2021兰州如图,平行四边形ABCD中,AB_LAC.对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.证实：当旋转角为90邛寸,四边形ABEF是平行四边形；试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等.【例4】在平行四边形ABCD中,点A1、A、A3、A和Ci、C2、C3、C4分别为AB和CD的五等分点,点B、B2和Di、D2分别是BC和DA的三等分点,四边形A4B2c4D2的面积为1,那么平行四边形ABCD面积为A.2B.3C.5D.1553AAL42/4B【稳固】【例5】面积为A. 3现有如图2).B. 6C.12D.24的铁片,其

4、形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形,工人师傅想如图,在平行四边ABCD中,AC、BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4,那么阴影局部的用一条直线将其分割成面积相等的两局部,请你帮助师傅设计三种不同的分割方案.如图1,.1,.2,.3,.4为四个等圆的圆心,A,B,C,D为切点,请你在图中画出一条直线,将这四个圆分成面积相等的两局部,并说明这条直线经过的两个点是Oi,O2,O3,O4,O5为五个等圆的圆心,A,B,C,D,E为切点,;如图2,请你在图中画出一条直线,将这五个圆分成面积相等的两局部,并说明这条直线经过的两个点是【例6】如图,求证:E,F是平行四边形ABCD的对角

5、线AC上的两点,AE=CF.(1) MDACBE;(2) EBIIDF.【稳固】如图,：在平行四边形ABCD中,/BCD的平分线CE交边AD于E,/ABC的平分线BG交CE于F,交AD于G.求证：AE=DG.【例7】：如图,平行四边形ABCD内有一点E满足ED_LAD于点D,/EBC=/EDC,/ECB=45,请找出与BE相等的一条线段,并给予证实.【稳固】如图,E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点,BE/DF,求证：AF=CE.AD【例8】如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线BD,过A,C两点分别作AE_LBD,CF_LBD,E,F为垂足,求证：四边形AECF是平行四边形【稳固】如

6、图,平行四边形ABCD中,E是BC的中点,DE、AB的延长线交于点F,连接AE、CF.求证：SBE=S&FC.例9如图,等边三角形的边长为10,P是MBC内一点,PD/AC,PE/AB,PF/BC,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,那么PD+PE+PF=如图1,在平行四边ABCD中,/A=120.那么/D=B图1那么,BCEA图2A.任意四边形C.对角线相等的四边形B.平行四边形D.对角线垂直的四边形2021东营如图3,在平行四边ABCD中,AD=8cm,AB=6cm,DE平分/ADC交BC边于点E,那么BE等于如图2,在平行四边形ABCD中,DB=DC,/A=65.CE_LBD于

7、E四边形的四条边长分别是a,b,cd,其中a,b为对边,并且满足2222a+b+c+d=2ab+2cd那么这个四边形是平行四边形ABCD的周长为60cm,对角线AC、BD相交于O点,&AOB的周长比ABOC的周长多8cm,那么AB的长度为【稳固】【例10】如图,是某区局部街道示意图,其中CE垂直平分AF,AB/DC,BC/DF,从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车,路线1是B-D-A-E,两条路线路程的长短,并给出证实.路线2是BC-FE,请比拟【稳固】如图是某市一公园的路面示意图,其中,ABCD是平行四边形,垂足,G、H分别是BC、AD的中点,连接EG,GF,FH.BE_L

8、AC,DF_LAC,E、HE为公园中小丽问小明从地经E地,H地到F地,与小强从D地经F地,G地到E地,谁的路程远.一个平行四边形的两条对角线的长分别为5和7,那么它的一条边长a的取值范围是【例11】AC是平行四边形ABCD较长的一条对角线,点O是ABCD内部一点,0尸_1八口于点尸,OG_LAC于点G,求证：AEAB+AFAD=AGAC.OE_LAB于点E,在平行四边形ABCD中,过A任作一直线AM,过B、C、D作AM的垂线BE、CF、DG,垂足分别是E、F、G,求证：BE=DG-CF-二、平行四边形性质和判定的综合应用【例12】点A、B、C、D在同一平面内,从AB/CD,AB=CD,BC/A

9、D,BC=AD.这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的选法有()种A.3B.4C.5D.6【稳固】如图,：AD是AABC的角平分线,证：四边形BDEF是平行四边形DE/AB,在AB上截取BF=AE,连接DE,EF,求【例13：如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.求证：AAFDACEB;(2)四边形AECF是平行四边形.【稳固】如图,四边形ABCD中,AB/CD,NB=ND,BC=6,AB=3,求四边形ABCD的周长.AB和BC.【例14】如下图,P为平行四边形ABCD内一点,求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形,并且所构成的四边形的对角线

10、的长度恰好分别等于【例15如下图,在平行四边形ABCD中,、F是对角线AC上两点,且AF=CE,求证：四边形BEDF是平行四边形.【稳固】：如图,AD/BC,ED/BF,且AF=CE.求证：四边形ABCD是平行四边形.【例16如图,在平行四边形ABCD的各边AB,BC,CD,DA上,分别取E,F,G,H,使AE=CG,BF=DH,求证：四边形EFGH为平行四边形【例17如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P,过点P作直线交AD于点E,交BC于点F.假设PE甲,且AP+AE=CP+CF.求证：四边形ABCD是平行四边形.【稳固】如图,在平行四边形ABCD中,点M、N是对角线AC上的点,且

11、AM=CN,DE=BF,求证:四边形MFNE是平行四边形.【稳固】如图,E、F分别是平行四边形ABCD的AD、BC边上的点,且AE=CF.求证：MBEACDF;假设M,N、分别是BE、DF的中点,连接MF、EN,试判断四边形MFNE是怎样的四边形,并证实你的结论.【例18如图,过四边形ABCD对角线白交点O作直线EF交AD、BC分别于E、F,又G、H分别为TTOB、OD的中点,求证：四边形EHFG为平行四边形.【稳固】如图,MCD、MBE>&BCF均为直线BC同侧的等边三角形.当AB¥AC时,证实四边形ADFE为平行四边形.【例19】A.B.C.D.以&ABCD

12、的对边AB、CD为边分别在外作等边MBE、等边ACDF.求证:平行四边形.四边形AECF是等边MBC中,点D在BC上,点E在AB上,四边形CDFE是平行四边形.如图,点E,F,G,H,M,N分别在AABC的BC,AC,AB边上,且NH/MG/BC,ME/NF/AC,GFIIEHIIAB,有黑、白两只蚂蚁,它们同时同速从出发,黑蚂蚁沿路线FtNtHtEtMtGtF爬行,白蚂蚁沿路线FtBtAt爬行,那么黑蚂蚁先回到F点白蚂蚁先回到F点两只蚂蚁同时回到F点哪只蚂蚁先回到F点视各点的位置而定【例20如图,AC是平行四边形ABCD的对角线,MCP和AACQ都是等边三角形,求证：四边形BPDQ是平行四边

13、形.【稳固】如图,MBC中,D是AB的中点,E是AC上任意一点,EF/AB,DF/BE.求证：DF与AE互相平分.【例21如图,田村有一口呈四边形的池塘,在它的四个角A,B,C,D处均种有一颗大核桃树,田村准备开挖池塘建养鱼池,想使池塘面积扩大一倍,又想让核桃树不动,并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状,请问田村能否实现这一设想？假设能,请你设计并画出图形,假设不能,请说明理由【稳固】如图,在AABC中,NACB=902点E为AB中点,连结CE,过点E作ED_LBC于点D,在DE的延长线上取一点F,使AF=CE.求证：四边形ACEF是平行四边形.【例22如图,在平行四边形ABCD中,DE_LA

14、B于E,BM=MC=DC,那么/EMC与/BEM的大小关系怎样？【稳固】平行四边形ABCD,BC=2AB,M为AD的中点,CE_LAB.求证：/EMD=3/AEM.【例23】：如图,平行四边形ABCD中,AE、BE、CF、DF分别平分/BAD、/ABC、/BCD、ZCDA,BE、DF的延长线分别交AD、BC于点M、N.连接EF,假设AD=7,AB=4.求EF的长.【例24如图,p为平行四边形ABCD内一点,过点P分别作AB、AD的平行线,交平行四边形于E、F、G、H四点,假设Sahpe=3,SpFCG=5,求Sapbd【例25如图,在MBC中,AB=AC,AD_LBC于D,点P在BC上,PE_

15、LBC交BA的延长线于巳交AC于F.求证：2AD=PE+PF;【稳固】如图,四边形EFGH中,假设/1=/2,那么/3必然等于24.请运用结论证实下述问题：如图,在平行四边形ABCD中取一点P,使得4=/6,求证：Z7=Z8.【稳固】如下图,在平行四边形ABCD中,求证AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.【例26】如图,MBC中,NCn点M在BC上,且BMBN相交于点P,求证：/BPM=45°=AC,点N在AC上,且AN=MC,AM与B【例27】如图,ABCD为平行四边形,AD=a,BEIIAC,求证：DF=FE;DE交AC的延长线于F点,交BE于E点.假设AC=2CF,

16、/ADC=60、AC_LDC,求BE的长;在的条件下,求四边形ABED的面积.A目随课后练习TTmTt1. 如下图,四边形ABCD,从AB/DC;AB=DC;AD/BC;(4)AD=BC;/A=/C;(6)ZB=/D中取两个条件加以组合,能推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？请写出具体组合.2. 如图3,一个平行四边形被分成面积为6、8、S3、S4四个小平行四边形,当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时.§S4与S2s3的大小关系为.点C与点A、B不重合时,图中共有个平行四边形,3. 如图,在平行四边形ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分/BAD交BC边于点E,那么线段BE,EC的长度分别为()A.2和3B.3和2C.4和1D.1和4如图4. BD为平行四边形ABCD的对角线,过C作CEIIBD,连接AE交BD的延长线于F,求证：AF=FE.5. 如图,平行四边形ABCD中,AE_LBD于E,CF_LBD于F.求证：AE=