信号与系统课后习题答案—第1章

1、第1章习题答案1-1题1-1图所示信号中,哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？解：连续信号：图(a)、(c)、(d);离散信号：图(b);周期信号：图(d);非周期信号：图(a)、(b)、(c);有始信号：图(a)、(b)、(c).1-2某系统的输入f(t)与输出y的关系为y=|f|,试判定该系统是否为线性时不变系统.解：设T为此系统的运算子,由条件可知：y(t)=Tf(t)=|f(t)|,以下分别判定此系统的线性和时不变性.线性1)可加性不失一般性,设f(t)=f1(t)+f2(t),那么y1(t)=Tf1(t)=|f1(t)|,y2(t)=Tf

2、2(t)=|f2(t)|,y(t)=Tf(t)=Tf1(t)+f2(t)=|f1(t)+f2(t)|,而|f1(t)|+|f2(t)|丰|f1(t)+f2(t)|即在f1(t)一y1(t)、f2一y2前提下,不存在f(t)+f2(t)一y1(t)+y2,因此系统不具备可加性.由此,即足以判定此系统为一非线性系统,而不需在判定系统是否具备齐次性特性.2)齐次性由条件,y(t)=Tf(t)=|f(t)|,那么Taf(t)二|af(t)|wa|f(t)|=ay(t)(其中a为任一常数)即在f(t)一y(t)前提下,不存在af-ay(t)此系统不具备齐次性,由此亦可判定此系统为一非线性系统.时不变特性

3、由条件y(t)=Tf(t)=|f(t)|,那么y(t-t0)=Tf(t-t0)=|f(t-t0)|,即由f一y(t),可推出f(t-to)-y(t-to),因此,此系统具备时不变特性.依据上述、两点,可判定此系统为一非线性时不变系统.1-3判定以下方程所表示系统的性质:df(t)L''r(a)y(t)(0f(x)dx(b)y(t)2y(t)3y(t)f(t)f(t2)dt0"'_,2一解：(a)线性1)可加性由y(t)典dt(c)y(t)2ty(t)2y(t)3f(t)(d)y(t)y(t)f(t)y1(t)ft)1(x)dx即f1(t)y1(t)f(x)dx

4、可得己t那么y2(t)f)nfz(x)dx即i(t)y(t)dt0df1(t)tdf2(t)tdty1(t)y2(t)=0f1(x)dx-20f2(x)dx-f1(t)f2(t)0f1(x)f2(x)dxdt0dt0dt0即在f1(t)y(t)、f2(t)y2(t)前提下,有f1(t)+f2(t)y1(t)+yz(t),因此系统具备可加性.2)齐次性由f(t)y(t)即y(t)史&tf(x)dx,设a为任一常数,可得dt0ay(t),af(t)0af(x)dxafa0f(x)dxIf0f(x)dx即af(t)ay(t),因此,此系统亦具备齐次性.由上述1)、2)两点,可判定此系统为一线

5、性系统.时不变性f(t)y(t)具体表现为：y(t)小f(x)dxdto将方程中得好)换成f(t-to)、y(t)换成y(t-to)(to为大于o的常数),即y(tto)df(tto)dttof(xto)dx设xto,那么dxd,因此y(tto)df(tto)dtttotof()d也可写成y(tto)df(tto)dttotof(x)dx,只有f(t)在t=o时接入系统,才存在f(tto)y(tto),当f在two时接入系统,不存在f(tto)y(tto),因此,此系统为一时变系统.依据上述、,可判定此系统为一线性时变系统.(b)线性(t)2y(t)3y(t)fi)可加性(t)f(t2)规定的

6、f(t)y(t)对应关系的前提下,可得yi(t)V2(t)2yi(t)3yi(t)fi(t)2y2(t)3y2(t)f2(t)_一._"yi(t)y2(t)fi(t2)f2(t2)2yi(t)y2(t)3yi(t)y2(t)fi(t)f2(t)fl(t2)f2(t2)fi(t)即由f2(t)2)齐次性yi(t)y2(t)可推出fi(t)+f2(t)yi(t)+y2(t),系统满足可加性.由f(t)y(t),即y(t)2y(t)3y(t)f(t)f(t2),两边同时乘以常数a,有ay(t)2y(t)3y(t)af(t)f(t2)ay(t)2ay(t)3ay(t)af(t)af(t2)即

7、af(t)ay(t),因此,系统具备齐次性.由i)、2)可判定此系统为一线性系统.时不变性分别将y(tt0)和f(tt0)(to为大于0的常数)代入方程y(t)2y(t)3y(t)f(t)f(t2)左右两边,那么左边=2dy(tto)dt12dy(tto)dt3y(tto)右边=df(tto)dtf(tto2)y(tto)2d-y(tto)3y(tto)d(tto)而dy(td(tto)to)2y(tto),ddd(tto)d(tto)y(tto)d2dt2y(tto)2所以,右边=dy(t2to)dty(t)对应关系的前提下,可得yi(t)y2(t)存在,即系统满2曳4a3y(tto)=左边

8、,故系统具备时不变特性.dt依据上述、,可判定此系统为一线性时不变系统.(c)线性1)可加性在由式y''(t)2ty'(t)2y(t)3f(t)规定的f(t),'yi(t)2tyi(t)2yi(t)3fi(t)y2(t)2ty2(t)2y2(t)3f2(t)两式相加''",_',_'_,-yi(t)y2(t)+2tyi(t)+2ty2(t)2yi(t)2y?(t)3fi(t)+3f?(t)yi(t)y2(t)+2tyi(t)+y2(t)2yi(t)yz(t)3fi(t)+f2(t)即在fi(t)yi(t)、f2(t)y2

9、(t)的前提下,有式fi(t)f2(t)足可加性.2)齐次性由f(t)y(t),即y''(t)2ty'(t)2y(t)3f(t),两边同时乘以常数a,有ay(t)2aty(t)2ay(t)3af(t)ay(t)2tay(t)2ay(t)3af(t),即有af(t)ay(t),因此,系统具备齐次性.依据上述i)、2),此系统为一线性系统.时不变性分另将y(tto)和f(tto)(to为大于o的常数)代入万程y(t)2ty(t)2y(t)3f(t)左右两边,那么.d2d左边=-y(tto)2t-y(tto)2y(tto)dtdtd2右边=3f(tt°)=,、2y(

10、td(tto)d2iy(tto)2(tdtt0)2(tdto',y(tto)2y(tto)d(tto)to)2y(tto)右边因此,系统是时变的.依据上述、,可判定此系统为一线性时变系统.(d)线性1)可加性在由式y'(t)2y(t)f(t)规定的f(t)y(t)对应关系的前提下,可得(2-yi(t)yi(t)fi(t)(2-y2(t)y2(t)f2(t)两式相加''yi(t)2y2(t)2yi(t)y?(t)fi(t)fz(t)而不是：yi(t)y2(t)12yi(t)y2(t)fi(t)f2(t)即在fi(t)yi(t)、f2(t)y2(t)的前提下,并不存

11、在fi(t)f2(t)yi(t)y2(t)因此系统不满足可加性,进而系统不具备线性特性.(下面的齐次性判定过程可省略)2)齐次性由f(t)y(t),即y'(t)2y(t)f(t),两边同时乘以常数a,有ay'(t)2ay(t)af(t),即式ay(t)2ay(t)af(t)不成立,不存在af(t)ay(t)因此,系统也不具备齐次性.单独此结论,也可判定此系统为一非线性系统.时不变性2分另将y(tto)和f(tto)(to为大于o的常数)代入万程y(t)2y(t)f(t)左右两边,那么,一d2左边=y(tto)y(tto)dtdy(tto)12dy(tto)12石边=f(tto)

12、=y(tto)y(tto)石边d(tto)dt即以式y2y(t)f(t)规定的fy关系为前提,存在f(tto)y(tto)因此,系统是非时变的.依据上述、,可判定此系统为一线性时不变系统.',.i4试证实万程y(t)ay(t)f(t)所描述的系统为线性系统.提示：根据线性的定义,证实满足可加性和齐次性.证实：D证实齐次性'八、Z.xrZ,x两边同乘任意常数b,r',x,z.xy(t)ay(t)f(t)by(t)ay(t)bf(t)即'.by(t)aby(t)bf(t)即bf(t)by(t)满足齐次性2)证实可加性'一一._.Yi(t)ayi(t)fi(t

13、)y(t)ay(t)f(t),y2(t)ay2(t)fz(t)相加y1(t)ayi(t)y2(t)ayz(t)f1(t)fz(t)'yi(t)y2(t)ayi(t)y2(t)fi(t)fz(t)即.,fi(t)f2(t)yi(t)y2(t)满足可加性由以上i)、2),可知系统是线性的.t换为t-S导出f(t-t0)与y(t-b)对应.y(t)ay(t)f(t)左右两边,那么i5试证实题i4的系统满足时不变性.提示：将方程中的证实：分别将y(tt0)和f(tt0)(to为大于0的常数)代入方程八4d,、,、左边=y(tt°)ay(tt°)dt右边=f(tt0尸院ay(tt0)也3ay(tt0)右边dt即以式y(t)ay(t)f(t)规定的f(t)因此,系统满足时不变性.y(t)关系为前提,存在f(tt.)y(tt.)i-6试一般性的证实线性时不变系统具有微分特性.证实：提示：利用时不变性和微分的定义推导.设线性时不变系统的鼓励与响应的对应关系为f(t)y(t),那么f(tt)y(tt)(时不变性)由线性可加性可得f(t)f(tt)y(t)y(tt)因此所以f(t)f(tt)ty(t)y(tt)tlimt0f(t)f(ttt)limt0y(t)y(ttt)f(t)y(t)线性时不变系统具有微分特性.,一,.、一,、一、一