全等三角形中辅助线的添加

1、全等三角形中辅助线的添加一.教学内容：全等三角形的常见辅助线的添加方法、根本图形的性质的掌握及熟练应用.二.知识要点：1、添加辅助线的方法和语言表述(1)作线段：连接；(2)作平行线：过点作/；(3)作垂线(作高)：过点作!,垂足为；(4)作中线：取中点,连接；(5)延长并截取线段：延长使等于；(6)截取等长线段：在上截取,使等于；(7)作角平分线：作平分；作角等于角；(8)作一个角等于角：作角等于.2、全等三角形中的根本图形的构造与运用常用的辅助线的添加方法：(1)倍长中线(或类中线)法：假设遇到三角形的中线或类中线(与中点有关的线段),通常考虑倍长中线或类中线,构造全等三角形.(2)截长补

2、短法：假设遇到证实线段的和差倍分关系时,通常考虑截长补短法,构造全等三角形.截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证实剩下局部等于另一条；补短：将一条较短线段延长,延长部分等于另一条较短线段,然后证实新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段,然后证实延长局部等于另一条较短线段.(3)一线三等角问题(“K字图、弦图、三垂图)：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边.(4)角平分线、中垂线法：以角平分线、中垂线为对称轴利用轴对称性“构造全等三角形.(5)角含半角、等腰三角形的(绕顶点、绕斜边中点)旋转重合法：用旋转构造三角形全等.(6)构造特殊三角形：主要

3、是30°、60°、90°、等腰直角三角形(用平移、对称和弦图也可以构造)和等边三角形的特殊三角形来构造全等三角形.三、根本模型：(1)A小BC中AD是BC边中线E方式1:延长AD到E,使DE=AD,连接BEE方式2:间接倍长,作CFLAD于F,作BEXAD的延长线于E,连接BE方式3:延长MD至ijN,使DN=MD,连接CD(2)由ABE/BCD导出BC=BE+ED=AB+CD由那BE/BCD导出由那BEzBCD导出ED=AE-CDEC=AB-CD(3)角分线,分两边,对称全等要记全角分线+垂线,等腰三角形必呈现(三线合一)(4)旋转:方法：延长其中一个补角的线段

4、延长CD到E,使ED=BM,连AE或延长CB到F,使FB=DN,连AFC2AB结论：MN=BM+DNCCMN2ABam、an分别平分ZBMN和ZDNM翻折:0M、P、N三点共线./B+/D=18°结论：1AABFzAEC;2/B0E=/BAE=60°八字型"模型证实；3OA平分/EOF拓展:思路:分别将ABM和MDN以AM和AN为对称轴翻折,但一定要证实且AB=AD)5手拉手模型MBE和4ACF均为等边三角形条件：4ABC和4CDE均为等边三角形结论：(1)、AD=BE(2)、ZACB=ZAOB(3)、APCQ为等边三角形(4)、PQ/AE(5)、AP=BQ(6)

5、、CO平分ZAOE(7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD(7),(8)需构造等边三角形证实)MBD和2CE均为等腰直角三角形结论：(1)、BE=CD(2)BEXCDABEF和ACHD均为正方形结论：(1)、BDXCF(2)、BD=CF变形一：ABEF和ACHD均为正方形,ASLBC交FD于T,S求证：T为FD的中点.ABC方法方法三:变形二：ABEF和ACHD均为正方形,M为FD的中点,求证：ANXBC当以AB、AC为边构造正多边形时,总有：Z1=Z2=GIA四、典型例题:考点一：倍长中线或类中线法:核心母题,如图ABC中,AB=5,AC=3,那么中线AD的取值范围是练习:1、如图,

6、4ABC中,E、F分别在AB、AC上,DEXDF,D是中点,试比拟BE+CF与EF的大小.2、如图,4ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证：AD平分/BAE.3、如图,CE、CB分别是4ABC与祥DC的中线,且/ACB="BC,求证：CD=2CE.:AF=BC+FC4、：如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,点F在CD上,ZFAE=/BAE.求证5、如图,D是AB的中点,/ACB=90.,求证：2CD=AB.6、在ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC的延长线上,DE交BC于F,且DF=EF,求证：BD=CE.FC7、在4ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上

7、一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证：AF=EF.8、：如图,在ABC中,ABAC,D、E在BC上,且DE=EC,过D作DFBA交AE于点F,DF=AC.求证：AE平分BAC9、以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE,BADCAE90,连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量关系.(1)如图当ABC为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,线段AM与DE的数量关系(2)将图中的等腰Rtabd绕点a沿逆时针方向旋转(0<<90)后,如图所示,(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.10、：ABC和4ADE是

8、两个不全等的等腰直角三角形,其中BA=BC,DA=DE,联结EC,取EC的中点M,联结BM和DM.(1)如图1,如果点D、E分别在边AC、AB上,那么BM、DM的数量关系与位置关系(2)将图1中的4ADE绕点A旋转到图2的位置时,判断(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.变式1:：在RtAABC中,AB=BC,在RtMDE中,AD=DE,连结EC,取EC的中点M,连结DM和BM.(1)假设点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图,探索BM、DM的关系并给予证实;(2)如果将图中的ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角,如图,那么(1)中的结论是否仍成立？如果不成立,请举出反

9、例；如果成立,请给予证实.图图变式:2：4ABC和4ADE都是等腰直角三角形,/ABC=ZADE=90.,点M是CE的中点,连接BM.(1)如图,点D在AB上,连接DM,并延长DM交BC于点N,可探究得出BD与BM的数量关系(2)如图,点D不在AB上,(1)中的结论还成立吗？如果成立,请证实；如果不成立,说明理由变式3：四边形ABCD是正方形,BEF是等腰直角三角形,BEF90,BEEF,连接DF,G为DF的中点,连接EG,CG,EC.EC(1)如图24-1,假设点E在CB边的延长线上,直接写出EG与GC的位置关系及的值；GC(2)将图24-1中的BEF绕点B顺时针旋转至图24-2所示位置,请

10、问(1)中所得的结论是否仍然成立？假设成立,请写出证实过程；假设不成立,请说明理由；(3)将图24-1中的BEF绕点B顺时针旋转(090),假设BE1,ABJ2,当E,F,D点共线时,求DF的长及/ABF的度数.备用图考点二：截长补短法:AB=AD+BC核心母题如图,AD/BC,EA,EB分另I平分/DAB,ZCBA,CD过点E,求证：练习:C,连接AF和BE.1、如图a,AABC和4CEF是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点(1)线段AF和BE有怎样的大小关系？请证实你的结论;(2)将图a中的CEF绕点C旋转一定的角度,得到图b,(1)中的结论还成立吗？作出判断并说明理由;、：如图,

11、ABC是等边三角形,BDC120,求证：ADBDCD.、四边形ABCD中,ABBCABC60,P为四边形ABCD的对角线BD上一点,且APD120,求证：PAPDPCBDC2、在4ABC中,/BAC=60°,幻=40°,AP平分/BAC交BC于P,BQ平分/ABC交AC于Q,求证:AB+BP=BQ+AQ.3、如图,在ABC中,ABC60,AD,CE分另为BAC,ACB的平分线,求证：AC=AE+CD4、如图,在4ABC中,AB=AC,D是AABC外一点,且/ABD=60°,ACD=60求证：BD+DC=AB15、：如图在4ABC中,AB=AC,D为4ABC外一点,

12、ZABD=60°,ADB=90°-ZBDC,求证：AB=BD2+DCo考点三：一线三等角问题"K字图核心母题：如图,在RtAKBC中,ZBAC=90°,AB=AC,D是BC边上一点,ZADE=45°,AD=DE,求证：BD=EC.练习：1、：如图,在矩形ABCD中,E、F分另I是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF±ED.求证：AE平分/BAD.2、两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC如下图放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC.试判断AEMC的形状,并说明

13、理由.3、如图,在ABC中,ACB90,ACBC,直线MN经过点点E.(1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时,求证：DE=AD+BE(2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时,求证：DE=AD-1(3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时,试问：DE,AD,并加以证实.MC,且ADMN于点D,BEMN于BE;BE有怎样的等量关系？请写出等量关系,MBDNN4、如下图,AE±AB,BC±CD且AB=AE,BC=CD,F、A、G、C、H在同一直线上,如根据图中所标注的数据及符号,那么图中实线所围成的图形面积是？6、小雨遇到这样一个问题：如图1,直线I1/I2/I3,l

14、i与12之间的距离是1,12与13之间的距离是2,试画出个等腰直角三角形ABC,使三个顶点分别在直线li、12、|3上,并求出所画等腰直角三角形ABC的面积.11|2I3图1小雨是这样思考的：要想解决这个问题,首先应想方法利用平行线之间的距离,根据所求图形的性质尝试用旋转的方法构造全等三角形解决问题.具体作法如图2所示：在直线I1任取一点A,作ADLI2于点D,作/DAH=90°,在AH上截取AE=AD,过点E作EB±AE交I3于点B,连接AB,作/BAC=90°,交直线I2于点C,连接BC,即可得到等腰直角三角形ABC.请你答复：图2中等腰直角三角形ABC的面积

15、等于.参考小雨同学的方法,解决以下问题：如图3,直线|1/|2/|3,|1与|2之间的距离是2,|2与|3之间的距离是1,试画出一个等边三角形ABC,使三个顶点分别在直线|1、|2、|3上,并直接写出所画等边三角形ABC的面积(保存画图痕迹).1111|2|2|33图3图37、如图,在平面直角坐标系中,将直角三角形的直角顶点放在P(5,5)处,两条直角边与坐标轴分别交于点A和点B.(1)当点A、点B分别在x轴、y轴正半轴上运动时,试探究OA+0B的值或取值范围；(2)点A在x轴正半轴上运动,点B在y轴负半轴上时,试探究OA-OB的值或取值范围,直接写出结果.9、：在平面直角坐标系中,等腰直角A

16、ABC顶点A、C分别在y轴、x轴上,且ZACB=90°AC=BC.(1)如图1,当A(0,-2),0(1,0),点B在第四象限时,先写出点B的坐标,并说明理由.(2)如图2,当点C在x轴正半轴上运动,点A(0,a)在y轴正半轴上运动,点B(m,n)在第四象限时,作BD,y轴于点D,试判断a,m,n之间的关系,请证实你的结论.考点四：角平分线、中垂线法核心母题1、在ABC中,求证：ABACABAC,AD是BAC的平分线.P是AD上任意一点.PBPC.BD垂直且2、等腰直角三角形ABC,BC是斜边./B的角平分线交AC于D,过C作CE交BD延长线于E,求证：BD=2CE3、如图,4ABC

17、的边BC的中垂线DF交四AC的外角平分线AD于D,F为垂足,DELAB于E,且AB>AC,求证：BE-AC=AE练习1、如下图,在ABC中,AD是BAC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比拟PBPC与ABAC的大小,并说明理由.APBCD2、如下图：/ABC的平分线BF与祥BC中ZACB的相邻外角ZACG的平分线CF相交于点F,过F作DF/BC,交AB于D,交AC于E.问：(1)写出图中的等腰三角形并说明理由.(2) 假设BD=8cm,DE=3cm,求CE的长.3、在4ABC中,AB2AC,AD平分BAC,E是AD中点,连结CE,求证：BD2CE4、如图,AABC中,ZABC

18、=2ZC,BE平分/ABC交AC于E、AD,BE于D,求证：(1)AC-BE=AE;(2)AC=2BD5、如图,在ZABC中,AB>AC,E为BC边的中点,AD为ZBAC的平分线,过E作AD的平行线,交AB于F,交CA的延长线于G.求证：BF=CG变式一：如图,在ABC中,AD交BC于点D,点E是BC中点,EFIIAD交CA的延长线于点F,交AB于点G,假设BGCF,求证：AD为BAC的角平分线.变式二：ABC中,AD是9BC的角平分线,M为BC的中点,过点M作MN/AD,交AC于点N,求证：AN+AB=NC.5变式三：在ABC中,AD是MBC的角平分线.(1)如图1,过C作CE/AD交

19、BA延长线于点E,假设F为CE的中点,连结AF,求证：AFXAD;(2)如图2,M为BC的中点,过M作MN/AD交AC于点N,假设AB=4,AC=7,图1A6、如图,ABC中,AB=AC,/A=100°,史的平分线交AC于D,求证：AD+BD=BC7、如图,在4ABC中,AD,BC于D,CD=AB+BD,ZB的平分线交AC于点E,求证：点E恰好在BC的垂直平分线上.8、如图1,在4ABC中,ZACB=2ZB,ZBAC的平分线AO交BC于点D,点H为AO上一动点,过点H作直线UAO于H,分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M.(1)当直线l经过点C时(如图2),证实：BN=CD;El

20、即图3(2)当M是BC中点时,写出CE和CD之间的等量关系,并加以证实;(3)请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系.9、如下图,在ABC中,ZABC=3ZC,AD是/BAC的平分线,BEXAD于F,求证：2BE=AC-AB2,BEAE.求证：ACAB2BE变式：如图,在ABC中,ABC3C,110、如下图,在ABC中,AD平分BAC,ADAB,CMAD于M,求证ABAC2AM.变式一：如图/1=/2,B为AC中点,CM,FB于M1,AN,FB于N,求证：EF=2BM;FB=一2(FM+FN)变式二：如图,在MDC中,D90°,EC是DCO的角平分线,且OECE,过点e作EFOC交

21、OC于点F.猜测：线段EF与OD之间的关系,并证实变式三：如下图,在ABC中,AC>AB,M为BC的中点,AD是/BAC的平分线,假设CFXAD且交AD的1延长线于F,求证：MF=2(ACAB).考点五：角含半角、等腰三角形的绕顶点旋转重合法核心母题如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,/EAF=45°,求证：EF=BE+DF.变式一：如图,E、F分别是边长为1的正方形ABCD的边BC、CD上的点,假设AECF的周长2,求/EAF的度变式二：如图,在正方形ABCD中,EF分别是BC、CD边上的点,/EAQ=45°,AH±求证：AH=AB.

22、综合：在正方形ABCD中,假设M、N分别在边BC、CD上移动,且满足MN=BM+DN,求证：./MAN=45.CCMN2AB.AM、AN分别平分ZBMN和/DNM.练习1、如图,在四边形ABCD中,AB=BC,ZA=ZC=90°,且=135°,K、N分别是AB、BC上的点,假设BKN的周长是AB的2倍,求/KDN的度数？2、：正方形ABCD中,ZMAN=45.,/MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB、DC或它们的延长线于点M、N.当/MAN绕点A旋转到BM=DN时如图1,易证BM+DN=MN.1当/MAN绕点A旋转到BMWDN时如图2,线段BM、DN和MN之间有怎样的

23、数量关系？写出猜测,并加以证实；2当/MAN绕点A旋转到如图3的位置时,线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜测./BAD,3、如图,在四边形ABCD中,AB=AD,/B+/D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且2/EAF=(1)求证：EF=BE+FD(2)如果E、F分别是边BC、CD延长线上的点,其他条件不变,结论是否仍然成立？说明理由.5、如下图,在五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,ZABC+ZAED=180°求证：AD平分/CDE.6、如图,AB=CD=AE=BC+DE=2,ZABC=/AED=90°,求五边形ABCDE的面积.7、如图1.在四边形ABCD中.AB=AD,/B+ZD=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且/BAD=2ZEAF.(1)求证：EF=BE+DF;(2)在(1)问中,假设将那EF绕点A逆时