7两个重要极限练习题

1、1-7两个重要极限练习题教学过程:弓I入：考察极限sinxlimx_0,xx(弧度)0.500.100.050.040.030.02.sinxX0.95850.99830.99960.99970.99980.9999.问题1：观察当XT0时函数的变化趋势:当x取正值趋近于0时，/T1,即limsinx当x取负值趋近于0时)-XT0,-x>0,sin(-x)>0.于sinxlimsin(-x)=lim30'(x)综上所述，得snxlimx0xsinxlimx-0x=1的特点:(1)它是2”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是0(2)在分式中同时出现三角函数和x的哥.

2、推广如果lim%x)=0,(a可以是有限数x0,±或叼,XalimxT求limx-0tanxsinxtanxlim=limcosxx0xx0xsinx=limXQXcosx=limX-QsinxlimX-Pcosx=11=1.求limX0sin3xsin3x_lim=limx0xXT3sin3x人(令3x=t)3limsint=33xlimX01cosx_2=limxx02X2X2sinsin-12=lim2=limsinarcsinxlimx-QXx0x2x022(-)2xsin2x2解令arcsinx=t,则x=sint且x>0时t-.0.所以arcsinxtlim=lim

3、x0xt0sint求limx0tanx_sinxtanx_sinx_lim3=limx0xx：0sinx-sinxcosx3x1-cosxsinx=limx0cosx-3xsinx11cosx1=limlimlim入=J0xx0cosxx_0x2考察极限lim(1)x=e一x问题2:观察当xt+如时函数的变化趋势:x1210100010000100000100000.1x（1十一）x22.252.5942.7172.71812.71822.71828.当x取正值并无限增大时，(1+1了是逐渐增大的，但是不论x如何大，(1+1)x的值xx总不会超过3.实际上如果继续增大x.即当q+s时，可以验证

4、(1+2)x是趋近于一个确x定的无理数e=2.718281828.当xt-°o时，函数(1+1)x有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e.x综上所述，得.lim(1+1)x=e.Jxlim(1+1)x=e的特点：x)二二x/1I-/I无穷大案(1) lim(1+无否小)；(2) “无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数.推广(1)若lim*x)=°°,(a可以是有限数x0,坟或书，则xT1、：(x)“1|：(x)-lim(1十)=1jm11+-e,x：a；：(x)：xF：(x)(2)若lim4x)-0,(a可以是有限数x0,执或书，则xT11lim1，1&qu

5、ot;xj，(x)=lim11-'"以I(x)-e.、一.11变形令一-t,则大平时tT0,代入后得到lim(1+t)=e.xT如果在形式上分别对底和哥求极限，得到的是不确定的结果18因此通常称之为13定型.例6求lim(1-)x)：:x一人2一解令x=t,则x=一当xC时tT0,21-J=L2xtt2于7lim(1-)-lim(1-t)=lim(1t)*=ex_xt0T例7求lim(一)x.J2-x解令3x=1+u,则x=21.2_xu当xc时utO,2_(1u)3-xlim()x-'2-x12_=lim(13u)-u-p=lim(1'u)u-p，2-1=l

6、im(1+u)u一lim(1+u)=e.uipu卬例8求lim(1+tanx)c0tx.解设t=tanx,则1=cotx.t当xtO时tT0,1coxt于lim(1vtan)=lim(1't)t=e.x0to小结：两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。作业：见首页§2-1导数的概念教学过程：引入：一、两个实例实例1瞬时速度考察质点的自由落体运动.真空中，质点在时刻t=0到时刻t这一时间段内下落的路程s由公式s=1gt2来确定.现在来求t=1秒这一时刻质点的速度.2当&很小时，从1秒到1+以秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间内的平

7、均速度作为质点在t=1时速度的近似.担(s)s(m)s,一(m/s)At0.11.02910.290.010.098499.8490.0010.00980499.80490.00010.0009800499.800490.000010.000098000499.800049上表看出，平均速度作随着&变化而变化，当&越小时，面越接近于一个定值一."：t."I9.8m/s.考察下列各式：is=lg(1+At)2-lg12=1g2g+(&)2,222.2/s=1g2(为g(2+；t),.：t23t2思考：当&越来越接近于0时，丝越来越接近于1秒时的

8、速度”.现在取AtT0的极Lt|Lslim=lim二-0；：tg1g(2+&)=g=9.8(m/s).为质点在t=1秒时速度为瞬时速度.一般地，设质点的位移规律是s=f(t),在时刻t时时间有改变量At,s相应的改变量为As=f(t+At)-f(t),在时间段t到t+西内的平均速度为.：t一6V=.：t对平均速度取&T0的极限，得sft'."4-ftv(t)=lim=lim,二T；：t.*-°二t称V(t)为时刻t的瞬时速。研究类似的例子实例2曲线的切线设方程为y=f(x)曲线为L.其上一点A的坐标为(X0,f(x0).在曲线上点A附近另取一点B,它

9、的坐标是(xo+Ax,f(X0+Ax),直线AB是曲线的割线，它的倾斜角记作P.由图中的RtAACB,可知割线AB的斜率tan!：=CB&f(x0+4x尸f(x0JAC；：x.:x在数量上，它表示当自变量从x变到x+Ax时函数f(x)关于变量x的平均变化率(增长率或减小率).现在让点B沿着曲线L趋向于点A,此时必。,过点A的割线AB如果也能趋向于一个极限位置一一直线AT,我们就称L在点A处存在切线AT.记AT的倾斜角为ot,则1a为B的极限，若o(*0°,得切线AT的斜率为yf(x0jx)f(xtan、产limtanI-=lim=lim.x-0.x0；x.x：px在数量上，它

10、表示函数f(x)在x处的变化率.上述两个实例，虽然表达问题的函数形式y=f(x)和自变量x具体内容不同，但本质都是要求函数y关于自变量x在某一点x处的变化率.1.自变量x作微小变化Ax,求出函数在自变量这个段内的平均变化率y=生，作为点：xx处变化率的近似;2.Xy求4xT0的极限lim若它存在，这个极限即为点x处变化率的的精确值.I；：x二、导数的定义1 .函数在一点处可导的概念定义设函数y=f(x)在xo的某个邻域内有定义.对应于自变量x在x0处有改变量Ax,函数y=f(x)相应的改变量为Ay=f(x0+Ax)-f(x0),若这两个改变量的比yfx°+=xLx°当Axt

11、0时存在极限，我们就称函数y=f(x)在点xO处可导，并把这一极限称为函数y=f(x)在点xo处的导数(或变化率),记作y|xdo二f(X0)=lim=lim,x-0,x.x01x0或f'(X0)或电dxf(x0vLx)f(x0)x-x0或出(x)dxx-x0(2-1).：x比值组表示函数y=f(x)在x0到x0+ix之间的平均变化率，导数lx在点x0处的变化率，它反映了函数y=f(x)在点x0处的变化的快慢.y'lxn则表示了函数xx0如果当&T0时里的极限不存在，我们就称函数y=f(x)在点x0处不可导或导数不存在.在定义中，若设lxx=x0+Ax,则(2-1)可写

12、成f(x0)=limxx0fx-fx0x-x0(2-2)根据导数的定义，求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤如下:第一步求函数的改变量Ay=f(x0+Ax)-f(x0)；第二步求比值yf(x0+8)fa。).Lx第三步求极限f'(X0)=lim丝.x-0,xx.2,例1求y=f(x)=x在点x=2处的导致.解Ay=f(2+ix)-f(2)=(2+ix)2-22=4Ax+(Ax)2;2.：y4.x.xy=L=4+ix;lim=lim(4+4x)=4.:x:x.x-0;x:-所以y|x=2=4.当limf(x。+.f(x0)存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点xo处的左导数，记作,

13、x0f.xf'(x0);当limf(x。3Af(X0左在时，称其极限值为函数y=f(x)在点x0处的右导数，一,x：0-.：x记作f*(x0).据极限与左、右极限之间的关系f(x0)U存在f2x0),f4(x0),且f：(x0)=f*(x。)=f'(x。).2.导函数的概念如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处都可导，就称函数y=f(x府开区间(a,b)内可导.这时，对开区间(a,b)内每一个确定的值x0都有对应着一个确定的导数f'(x°),这样就在开区间(a,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f(x)的导函数，记作等fx)或y等.根据

14、导数定义，就可得出导函数f(x)=y=lim汉=limfx'."-fx(2-3).x.0.x.x0:x导函数也简称为导数.注意(1)f'(x)是x的函数，而f'(x0)是一个数值(2)f(x)在点处白导数f'(x0)就是导函数f(x)在点x0处的函数值.例2求y=C(C为常数)的导数.解因为y=C-C=0,=0,所以y*=ljm=0-:x:x0:x即(C)'=0常数的导数恒等于零).例3求y=xn(n三N,xR)的导数.-1.,-2.2.一解因为为=(*+取尸-*。=门*。Ax+Cnxn(取)+.+(Ax)n,=nxn-1+C2xn-2&

15、;+.+(ix)n-1,-：x从而有y-lim=limnxn-1+C2xn-2Ax+.+(Ax)n-1=nxn-1.x0.x：-x01即(xn)=nxn.可以证明，一般的哥函数y=x"(otER,x>0)的导数为(x°)-口x"1.例如(dx)，=(x2)工1xG=1；(1)，=(x-1)-x-2=-3.2 2.xxx例4求y=sinx,(xWR)的导数.解担=sin(X+-)-s1nx，在§1-7中已经求得,：xlim=cosx,.一；：x即(sinx)=cosx.用类似的方法可以求得y=cosx,(xWR)的导数为(cosx)-sinx.例5求

16、y=logax的导数(a>0,aW1,x>0).解对a=e、y=lnx的情况，在§1-7中已经求得为,1(lnx)=.x对一般的a,只要先用换底公式得y=logax=92，以下与§1-7完全相同推导，可得lna(logax)=-1xlna三、导数的几何意义方程为y=f(x)的曲线，在点A(x0,f(x0)处存在非垂直切线AT的充分必要条件是f(x)在x0存在导数f(x0),且AT的斜率k=f'(x0).导数的几何意义函数y=f(x)在xo处的导数f'(xo),是函数图象在点(xo,f(xo)处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为y-f(x

17、o)=f(xo)(x-xo)(2-4)过切点A(xo,f(xo)且垂直于切线的直线，称为曲线y=f(x)在点A(xo,f(xo)处的法线，则当切线非水平(即f'(xo)M)时的法线方程为y-f(xo)=-1(x-xo)(2-5)f(xo)例6求曲线y=sinx在点(工)处的切线和法线方程.一、.A斛(sinx)_r=cosx(二.所求的切线和法线方程为y-l=3(x-),226法线方程y-1=-2i3(x-n).236例7求曲线y=lnx平行于直线y=2x的切线方程.解设切点为A(xo,yo),则曲线在点A处的切线的斜率为y'(xo),y'(xo)=(lnx)'

18、x=LxNox。因为切线平行于直线y=2x,所以=2,即xo=1;又切点位于曲线上，因而yo=ln-=-ln2.xo22故所求的切线方程为y+ln2=2(x-1),即y=2x-1-ln2.2四、可导和连续的关系如果函数y=f(x)在点xo处可导，则存在极限lim=fH(x0),则竺=f'(X0)+o(lima=0),或Ay=f'(X0)&x+a&x(lima=0),；X,X0£.x0所以limAy=limf'(x。)ix+aAx=0.X0飞0这表明函数y=f(x)在点X0处连续.但y=f(x)在点X0处连续，在X0处不一定是可导的.例如：(1)

19、y=|x|在x=0处都连续但却不可导.(2)y=Vx在x=0处都连续但却不可导.注意在点(0,0)处还存在切线，只是切线是垂直的.y学生思考:x-0,讨论函数x：:0f(x而x=0处的连续性和可导性.r2设函数f(x)=x'X+1,小结：明确导数就是函数相对于自变量的变化率。作业：见首页外一2换元积分法教学过程复习引入1 .不定积分的概念；2 .不定积分的基本公式和性质。新课：一、第一类换元积分法例如：cos2xdx,积分基本公式中只有：jcosxdx=sinx+C.为了应用这个公式，可进行如下变换：1 令2x=u1u=2x回代.日cos2xdx=fcos2xd(2x)fcosudu,

20、=sinu+C2 22sin2x+C,2因为(sin2x+C)-cos2x,所以rcosxdx=sin2x+C是正确的.22定理1设f(u)具有原函数F(u),F(x)是连续函数，那么jf中(x)中(x)dx=F*(x)+C.证明思路因为F(u)是f(u)的一个原函数，所以F<u)=f(u);由复合函数的微分法得：dF*x)=Fr(u)救x)dx=f%x)F(x)dx,所以JfN(x)甲(x)dx=F或x)+C.基本思想：作变量代换u=%x),(d9(x)=中'(x)dx),变原积分为ff(u)du,利用已知f(u)的原函数是F(u)得到积分，称为第一类换元积分法例1求f(ax+

21、b)10dx,(a,b为常数).解因为dx=-d(ax+b),所以a令ax+b=d10”111.=|udu=u+Ca-11a10110(ax-b)dx=(ax-b)d(axb)a-u=ax+b回代L(ax+b)"+C.11a例2求见上dx.x1.斛因为一dx=d(lnx),所以x原式=lnxd(Inx)令1nx=uuduJu2+Cu=lnx吧1(lnx)2+C.222例3求xexdx.解因为xdx=1d(xd(a_x)22-x),所以2原式=12x22ed(x)令x2=u12uedu=1eu+C2u=x2回代1x2+c2xdx-22a_x解因为xdx=1d(x2)=1d(a2-x2),所以1.22du=-Vu+c.u学生思考：求sinxdxM+cosx第一类换元积分法计算的关键：把被积表达式凑成两部分，一部分为分为%x)的函数f或x),且f(u)的原函数易于求得.因此，第一类换元积分法又形象化地被称为凑微分法.,1,、dx=_d(ax)；a常用微分式：xdx=1d(x2);21dx=d(ln|x|);xdx=d(12);2xx1xx1dx=2d(Vx");Lx2dx=d(a