矩阵理论作业

1、矩阵理论在钻柱力学分析方面的应用摘要：钻柱力学是井眼轨道设计和控制、钻柱设计及钻井参数优选的基础。本文主要从钻柱力学与井眼轨迹控制出发，以弹塑性力学为基础，对多稳定器旋转钻下部钻具、带弯外壳下部钻具以及导向钻具力学性能进行了力学分析，并结合矩阵理论的方法将问题简化，最后对方程求解，并对计算结果进行了分析。引言：钻柱力学是指应用数学、力学等基础理论和方法，结合实验以及井场资料等数据综合研究受井眼约束的钻柱的力学行为的工程科学。开展钻柱力学研究，对钻柱进行系统、全面、准确的力学分析，在井眼轨道设计与控制、钻柱强度校核、钻柱结构和钻井参数优化等方面都具有重要意义。1下部钻具力学分析方法 钻柱力学研究

2、从最初的解决防斜打直问题，发展到解决定向井轨迹控制问题，从一维、二维发展到三维，从静态发展到动态。最终形成了集中比较典型的研究方法，即：微分方程法、能量法、有限差分法、纵横弯曲连续梁法和有限元法。1.1微分方程法经典微分方程法是钻柱力学中应用最早的研究方法。该方法要求在满足经典材料力学的基本假设的前提下，建立钻柱线弹性的经典微分方程并求解。这种方法在考虑因素较多时，建立的微分方程很复杂，用经典微分方程法求解比较困难。1.2能量法能量法是一种求解简单的弹性力学问题的方法。它要求势能函数不仅要满足弹性力学的控制方程，而且要满足边界条件，通过解的形式的假设及有关参数的确定，可得到问题的解答。由于满足

3、以上2个条件是一件非常困难的事情。因此，这一方法的应用受到了限制。1.3有限差分法有限差分法是一种近似方法。是通过对钻柱进行力学分析得到钻柱微分方程式，再通过适当的差分转换将位移控制方程转化为差分的形式求解。由于差分方程的系数是可变的，因此可以很容易考虑非线性的影响;同时，由于差分区间可以减小，可以比较容易考虑井眼的约束。但是要得到精确的解，答，差分区间必须取得很小，这样就使矩阵的维数增加，降低了计算速度。对于钻柱力学来说，有限差分法是一种有效的近似计算方法。1.4纵横弯曲连续梁法纵横弯曲连续梁法是一种精确解法，这种方法是将钻柱视为相互联系的纵横弯曲的连续梁，应用材料力学中的三弯矩方程建立一组

4、非线性代数方程，该方程物理概念清楚，计算简单，且速度较快。由于这种方法是将三维空间问题分解成2个独立的二维问题求解，力学模型简化得太多，忽略了扭矩及可能的力和变形的耦合问题。这种方法在国内得到了推广和应用。1.5有限元法有限元法是一种近似数值计算方法，这种方法是通过将钻柱分解为有限的离散梁单元，再通过适当的合成方法将这些单元组合成一个整体，用以代表原来的钻柱状态，并最终得到一组以节点位移为未知量的代数方程组。有限元法的物理概念清楚、简单，实用性强。不限制钻柱的材料和几何形状，且对单元尺寸也无严格的要求;又可以较容易地考虑非线性的影响。目前发展的接触有限元法，考虑了钻柱、稳定器与井壁之间的初始接

5、触摩擦力，力学模型比较准确，考虑因素较多，解题的速度虽然是这几种方法中最慢的，但也可满足需要。2钻柱力学研究的有限元法2.1基本假设钻柱为三维弹性梁，离散后同一单元的几何尺寸和材料性质为常数。井壁是刚性的，井眼是圆的。钻具上端与下井壁相切。稳定器与井壁之间为点接触。钻头处为铰支，钻头与地层之间无力矩作用。2.2力学模型的建立2.2.1BHA的离散化分成三维梁柱单元，一般1m长为一个单元，理论上单元越短，计算结果越精确，划分的原则是，单元内外径和内径是相同的。2.2.2建立单元的力学平衡方程主要包括单元的广义节点力、广义节点位移、单元的刚度矩阵（弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵）将下部钻具组合离散化成

6、两节点三维直梁单元，单元位移列矩阵为： e=uiviixiyiziujvjjxjyjzjT单元载荷列矩阵为：Re=NiQiQiMxiMyiMziNjQjQjMxjMyjMzjT由于作用在钻柱上的力除横向载荷外，还承受很大的轴向力，因此，需要考虑梁单元的几何刚度矩阵KGe，梁单元的单元刚度矩阵为：Ke=KEe+KGe其中：KEe=EAl012EIzl30012EIyl3对称000GJpl00-6EIyl204EIyl06EIzl20004EIzl-EAl00000EAl0-12EIzl3000-6EIzl2012EIzl300-12EIyl306EIyl200012EIyl3000-GJpl00

7、000GJpl00-6EIyl202EIyl0006EIyl204EIyl06EIzl20002EIzl0-6EIzl20004EIzlKGe=N30l00360036对称000000-3l04l203l0004l200000000-3l000-3l03600-3603l00036000000000000-3l0-l20003l04l200000-l20-3l0004l2式中：KEe为单元的弹性刚度矩阵；KGe为单元的几何刚度矩阵。2.2.3等效节点力单元所收到的外力主要是钻具本身的自重；自重分解为qx、qy、qz；把qx、qy、qz通过虚功原理等效移植到两个端点上。qx的移植为：Qxi，My

8、i，Qxj，MyjT=Lqx2，L2qx12，Lqx2，-L2qx12Tqy的移植为：Qyi，Mxi，Qyj，MxjT=Lqy2，-L2qy12，Lqy2，L2qy12T等效节点力计算公式为：R'eL=Lqx2，L2qx12，Lqx2，-L2qx12，Lqx2，-L2qy，Lqy2，L2qy12，Lqy2，0，00T按与广义节点位移相对应的等效节点力：R'e=Lqx2Lqy2Pi+Lqz2L2qy12L2qx12MziLqx2Lqy2-Pi+Lqz2-L2qy12-L2qx12-MziT单元平衡方程为：KEe+KGee=Re2.2.4弯接头和弯外壳的处理对于钻柱中包含有弯接头、

9、弯外壳的情形，每一单元可作坐标平移：xz=xz+x0zyz=yz+yz在过渡坐标系内，原本不在同一条直线上的钻柱变为直的钻柱，只不过此时在弯接头处必须附加一个侧向力。在过渡坐标系下的方程为：Kee=Re在局部坐标系下：Kee=Re+Ke0e2.2.5坐标变换由于每一个单元的井斜和方位不同，有必要把单个局部坐标系（x，y，z）下的单元平衡方程转换到整体坐标系下。整体坐标系的定义为大地坐标，X、Y、Z分别为北坐标、东坐标的垂深坐标变换矩阵T应满足：xyzT=TXYZT坐标变换矩阵T应满足：T=-coscossin-sinsinsincoscos-sincos0sincos式中：T为转换矩阵；为井斜

10、角；为方位角；在整体坐标系下的单元广义位移和广义力为：e=TRe=Te在整体坐标系下的单元刚度矩阵为：Ke=T-1K'eTBHA平衡方程为：KE+KG=RK=R2.2.6方程的求解钻柱动力学控制方程有多种求解方法，包括整体刚度矩阵有限元法和节点迭代有限元法。整体刚度矩阵有限元法：根据单元矩阵集成刚度，并根据边界约束条件修正刚度、质量、阻尼、作用力矩阵，然后求解方程。整体刚度矩阵法的特点是流程简单，边界处理方便。但在解决非线性问题时，整体刚度矩阵法需要多次求解大型矩阵，运算时间较长，因此，整体刚度矩阵法适合处理单元较少的线性问题。3钻柱力学研究中存在的主要问题现有的研究工作大多着重于理论上定性分析，与实际的钻井工况还存在一定差距，定量分析尚有欠缺。钻柱力学基础研究已日趋成熟，但是关于实际应用研究的探索还不够。4钻柱力学的未来发展趋势未来的钻井技术必然走向自动化、智能化，钻柱力学研究是前提和基础。与现代钻井技术的发展相适应，基础理论研究、系统控制论理论与方法、动态特性测试技术及系统虚拟仿真技术将成为钻柱力学未来发展的主要方向。参考文献1李子丰.钻柱力学研究现状及进展J.石油钻采工艺,2