浅析分块矩阵的性质和应用

1、 共18页 河南理工大学数学与信息科学学院本科毕业论文 第18页浅析分块矩阵的性质和应用作者姓名：周甜河南理工大学数学与信息科学学院数学与应用数学专业2007级2班性质1：分块矩阵都是可逆的，且逆矩阵为分块初等矩阵。性质2：分块单位矩阵经过一次分块矩阵的初等变换后所得到的矩阵仍为分块初等矩阵。摘要：分块矩阵在高等代数中有着广泛的应用，矩阵的分块运算是矩阵运算的一种重要方法。本文主要讨论了分块矩阵的运算性质，初等变换，并举例说明和分析了分块矩阵在解决矩阵特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用。利用分块矩阵可以使阶数比较高，比较复杂的矩阵和抽象矩阵的特征值问题的解决变得简明而清晰。关键词：分块矩阵

2、 行列式 特征值 初等变换 矩阵的逆Tentative Analysis of Properties and Applications of Block MatricesAuthor Name：Zhou TianClass 2 Grade 2007 of Mathematics and Applied Mathematics of College Mathematics and Information Science of Henan Polytechnic University School Summary：Block matrices has a wide use in Advanced

3、Algebra. Operations of block matrices play an important role in the operation of matrices. This paper mainly illustrates the operation properties and the elementary transformations of block matrices. Several examples are given in the paper to show the applications of block matrices in calculating th

4、e eigenvalues of a matrix and proving a subject in connection with matrices. It is convenient to apply block matrices to deal with questions containing matrices with high order and complex appearances and calculating the eigenvalues of abstract matrices.Keywords: block matrices determinant eigenvalu

5、es elementary transformation the inverse of a matrix1引言在高等代数中，矩阵是一项非常重要的内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。当我们处理阶数较高或者具有特殊结构的矩阵时，用一般处理低阶矩阵的方法，往往会比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常常把一个大型矩阵分成若干子块。把每个子块矩阵看成是一个元素，从而构成分块矩阵。分块矩阵形象地揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构。利用矩阵分块可以把高阶矩阵划分为阶数较低的“块”，然后对这些以“块”为单位的矩阵施行矩阵的运算。本文就分块矩阵的加法与数量乘法、乘法

6、、转置、初等变换等运算性质，以及分块矩阵在矩阵求逆、行列式展开等方面的应用作了较为深入的研究。1.分块矩阵的概念有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样，特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理，这就是所谓的矩阵的分块。设是一个 矩阵，若用若干横线条将它分成块，再用若干纵线条将它分成块，于是，我们就得到了一个有块的分块矩阵，在这里表示的是一个矩阵。2.分块矩阵的运算性质分块矩阵的运算在形式上和数字矩阵的运算完全一样，只要进行运算的矩阵的分块适当，分块矩阵有类似于普通矩阵的运算法则：.分块矩阵的加法设,都是矩阵，并且对,用同样的方法进行分块： 其中都是矩阵，

7、即使同型矩阵，那么应注意的是，利用分块法对两个同型矩阵进行加法运算时，两个矩阵必须采用相同的分块法。下面我们通过一个例题来详细了解加法的运算法则。例2.1：，解：将分块其中其中。同理，设都是矩阵，把进行分块：，为任意数，则.分块矩阵的乘法下面的定理表明，分块矩阵的乘法类似于矩阵的乘法：例2.2：用分块法计算，其中。解：如上分块， ，其中；令，其中，。故。值得注意的是，利用分块法对两个矩阵进行乘法运算时，左矩阵列的分法和右矩阵行的分法必须完全相同。.分块矩阵的转置对于一有块的分块矩阵，有值得注意的是，转置时，每一个小块也要转置，并且它的位置也要行列对调。.对角分块矩阵的一些性质对于方阵，经过分块

8、后，非0对角块都只在主对角线上，而且每个小块都是方阵；即，其中都是方阵，那么称为方块对角矩阵。有如下性质：（1）行列式。（2）若则，并且有.（3）分块对角阵的乘法，（4）分块对角阵的转置，那么3.分块矩阵初等变换的应用定义3.1 将一个分块矩阵用若干条纵线和横线分成许多块的低阶矩阵，每一块低阶矩阵称为的子块。以子块为元素的矩阵称为分块矩阵。我们将单位矩阵分块：，其中是阶单位矩阵（）称为分块单位矩阵。3.1 应用分块矩阵初等变换求矩阵的逆下面我们先将初等变换求逆矩阵的方法推广到分块矩阵中去。定理3.1.1 可逆分块矩阵可以写成分块初等矩阵的乘积，其中，均为矩阵。证明：考虑，若不是可逆的，由于满秩

9、，故必存在与同阶的不等于0的子式，用初等变换，将此子式换到位置，于是位置的块就是可逆的，因此不妨设可逆，将第一行左乘AA，加到第行()， 然后将第一列右乘AA加到第列（），可得若不可逆，则用上述方法，使位置的块换成可逆的块，然后用初等变换使第二行，第二列其余的块均消为零块，如此下去，可变成，可逆（）。最后用左乘第行()。便得，这里是与同阶的单位矩阵。则存在分块初等矩阵,，,，使=,从而：= （1）而分块矩阵的逆也是分块初等矩阵，故命题得证。推论3.1.1 可逆分块矩阵，其中的主对角线上的块均为矩阵，可通过行或列的初等变换化为分块单位矩阵。例3.1.1：求=的逆，其中,可逆。解：所以，=。例3.

10、1.2：求矩阵=（）的逆矩阵。解：令=，则=，由知可逆所以，=，=，故=。例3.1.3：求矩阵=的逆矩阵。解：将分块为=，其中=，=，=，=，显然，,可逆，且=，=。所以，由例3.1.1， =所以，=3.2 应用分块矩阵初等变换求解行列式利用初等变换可使分块矩阵的行列式的计算得到简化。为讨论分块矩阵行列式的计算，先讨论分块初等矩阵的行列式，它们的行列式有下列的计算公式。引理3.2.1 分块初等矩阵的行列式有以下性质：（1） ，其中，()，特别地，若,则；（2） ，其中是阶可逆矩阵；（3） ，其中是矩阵。定理3.2.1 设是一个分块矩阵：（1）交换的两行（列），行列式变为，其中=特别地，交换的相

11、邻两行（列），行列式变为。（2）用一个阶可逆矩阵左（右）乘的第行(列)的所有矩阵，等于用乘以。（3）用一个矩阵左（右）乘的某一行（列）的所有矩阵再加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。由定理3.2.1中的（2）可得如下推论：推论3.2.1 分块行列式的某一行（列）的所有子矩阵的可逆左（右）因子，可以以行列式的形式提到行列式符号外。下面通过几个例子来说明分块矩阵初等变换应用的灵活性。例3.2.1：设是一个分块矩阵，其中是阶可逆矩阵，求。解：由推论及定理3.2.1的（3），=例3.2.2：已知均是阶矩阵且，。证明： =。设是阶矩阵，为阶单位矩阵，用左乘,得= (6)因为，故存在。令得，代入(6

12、)式，取行列式得：,即得=例3.2.3：设=，其中0，求。解：设= 由于、可交换，所以由例3.2.1得= =。3.3 分块矩阵初等变换在秩问题中的应用矩阵的秩在矩阵理论中起着非常重要的作用。而矩阵秩的问题，比较复杂，处理起来也没有一般的方法，而初等变换不改变矩阵的秩。利用分块矩阵的初等变换来处理矩阵秩的问题，要充分利用性质2，即对一个分块矩阵作一次分块矩阵初等行（列）变换，相当于用一个相应的分块初等矩阵左（右）乘该矩阵，利用分块矩阵左乘、右乘的灵活性，构造适当的分块矩阵，使问题得以简化。例3.3.1：设是矩阵的可逆顺序主子阵，则。证明：而是可逆矩阵，由以上性质知=例3.3.2：设阶矩阵为反对称

13、矩阵，证明必为偶数。证明：对应用数学归纳法1）=2时命题显然成立。2）设阶数小于时命题为真，则对阶数为的反对称矩阵，将分块成，其中，不妨设。又因为为阶数比低的反对称矩阵，由归纳假设可知为偶数，所以为偶数。综合1）、2），可知命题成立 。例3.3.3：（Sylvester公式）设，分别为和矩阵，则证明：1），又2）记，又，所以 综合1）、2），命题得证。3.4 结论分块矩阵初等变换是矩阵理论中的一个不可缺少的部分。在简化计算矩阵的逆、行列式和秩等问题时一定要找出合适的分块初等矩阵。与普通的初等变换相比，要注意分块矩阵初等变换必须在矩阵乘法能够进行的前提下运算才能进行,这是分块矩阵初等变换与普通分

14、块矩阵的区别所在。4. 分块矩阵在矩阵特征值问题中的应用矩阵的特征值问题在高等代数中也是一项非常重要的内容，特征值对于线性变换的研究具有基本的重要性。而我们在求一些阶数较高和较复杂的矩阵特征值时，经常会用矩阵的分块去解决，这样可以使问题的解决更简明。下面就分块矩阵以及分块矩阵的初等变换在矩阵特征值问题中的应用进行一些简单的讨论。例4.1：设A是阶矩阵，B是阶矩阵，证明的特征多项式与的特征多项式 有关系： 分析：我们先把上式改写为因为都是抽象矩阵，我们无法把和直接算出来，但它们是两个行列式的值，我们就不妨构造出两个矩阵来，使得他们的行列式为和 ，这样，我们构造分块矩阵，要出现行列式，则我们对作初

15、等变换，即左乘一个广义初等分块矩阵对上式求行列式，得到：同理，右乘一个矩阵两边取行列式得到：由（1）和（2）命题得证。引理4.1 设A是n阶矩阵，则A为幂等矩阵的充分必要条件是，这里E为n阶单位矩阵，表示A的秩。引理4.2 幂等矩阵A与或者相似，。例4.2： 设均为n阶方阵，且，。若，则的特征值为1或0，且1的个数和它们的秩相等。分析：因为给出的矩阵并不是具体的，所以我们考虑用分块矩阵初等变换来解这个题目。证明：1） A可可逆时，即，因为，所以，又，由已知得，由引理1得到。同样，。是幂等矩阵，由引理2，和E，有相同的特征值，所以的特征值是1或0，且1的个数和它们的秩相等。2） 当时，即，结论显然成立。3） 设，即A为非零又不可逆矩阵。，故存在可逆矩阵P，使，令，这里，从而，这样，且，由1）的证明可知，存在可逆矩阵Q，使，= =设，设，同上课的，故，又，从而（因为上述矩阵的秩是），同样，及，故有，综上所述，对于，结论都成立。小结从上面的讨论我们知道，对于一些给出的不是具体的矩阵，如果要计算或证明有关它的特征值问题时，我们一般都采用分块矩阵的方法，这样可以使解决过程变得简洁。5.总结：分块矩阵是矩阵计算问题中一种重要的技巧，尤其是在遇到高阶矩阵，复杂矩阵还有抽象矩阵的问题时，使用起来