天津市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题5 数量和位置变化

1、2001-2012年天津市中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题5：数量和位置变化1、 选择题1. （2001天津市3分）函数的取值范围是【 】A全体实数 Bx0 Cx0 Dx0【答案】B。【考点】函数自变量的取值范围，分式有意义的条件。【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须。故选B。2. （2001天津市3分）若点A（m，n）在第三象限，则点B（|m|，n）所在的象限是【 】A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】D。【考点】点的坐标，绝对值。【分析】点A（m，n）在第三象限，m0，n0。|m|0，

2、n0。点B（|m|，n）在第四象限。故选D。3. （天津市2008年3分）把抛物线向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为【 】 ABCD【答案】A。【考点】二次函数图象与几何变换。【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。原抛物线的顶点为（0，0），向上平移5个单位，那么新抛物线的顶点为（0，5），则新抛物线的解析式为：。故选A。4.（天津市2008年3分）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（，0），C（0，），D（，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是【 】 A矩形B菱形C正方形D梯形【答案】B。【考点】坐标与图形

3、性质，菱形的判定。【分析】画出草图，根据特殊四边形的判定方法判断：在平面直角坐标系中画出图后，可发现这个四边形的对角线互相平分，先判断为平行四边形，对角线还垂直，那么这样的平行四边形应是菱形。故选B。5.（天津市2009年3分）在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点分别是，将线段平移后得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为【 】ABCD 【答案】B。【考点】坐标与图形变化（平移）。【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可：由A点平移前后的横坐标分别为4、2，可得A点向右平移了2个单位，由A点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得A点向上平移了3个单位，由此得线段AB的平移的过程是：再向右平移2个单

4、位，向上平移3个单位， 所以点A、B均按此规律平移，由此可得点B的坐标为（1+2，1+3），即为（3，4）。故选B。6.（天津市2009年3分）在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为【 】AB CD【答案】C。【考点】二次函数图象与几何变换，二次函数关于轴、轴轴对称的特点。【分析】根据平面直角坐标系中，二次函数关于轴、轴轴对称的特点得出答案： ，抛物线的顶点坐标为（）。 当将抛物线作关于轴对称变换时，顶点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，即新抛物线顶点坐标为（）。同时抛物线的开口变为向下，即二次项系数为负。因

5、此变换后的函数式为。 当再将所得的抛物线作关于轴对称变换时，顶点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，即新抛物线顶点坐标为（）。同时抛物线的开口方向不变。因此变换后的函数式为，即。故选C。7.（天津市2010年3分）如图，是一种古代计时器“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间若用表示时间，表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内与的函数关系的是【 】（不考虑水量变化对压力的影响） （A） （B） （C） （D）【答案】B。【考点】确立函数关系。【分析】不考虑水量变化对压力的影响，与的函数关系是随着时间的增大，壶底到水面的高

6、度减小。故选B。8. （2012天津市3分）某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴360km外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是【 】（A）汽车在高速公路上的行驶速度为100km/h（B）乡村公路总长为90km（C）汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h（D）该记者在出发后4.5h到达采访地【答案】C。【考点】函数的图象的分析。【分析】根据函数的图象和已知条件对每一项分别进行分析，即可得出正确答案：A、汽车在高速公路上的行驶速度为

7、180÷2=90（km/h），故本选项错误；B、乡村公路总长为360180=180（km），故本选项错误；C、汽车在乡村公路上的行驶速度为180÷3=60（km/h），故本选项正确；D、该记者在出发后5h到达采访地，故本选项错误。故选C。二、填空题2.（天津市2004年3分）已知正方形ABCD的边长是1，E为CD边的中点，P为正方形ABCD边上的一个动点，动点P从A点出发，沿ABCE运动，到达点E.若点P经过的路程为自变量x，APE的面积为函数y，则当y时，x的值等于 .【答案】或。【考点】二次函数的应用。【分析】根据P点的位置，由三角形面积公式表达出分段函数，在分段函数中

8、，已知y的值，求x：当点P在AB边上时，y=x1=，解得x=。当点P在BC边上时，y=（1+）1（x1）1（2x）=，解得x=。当点P在CE上时，y=（2x）1=，解得x=。它不在CE上，舍去。当y时，x的值等于或。3.（天津市2005年3分） 若正比例函数y kx与y2x的图象关于x轴对称，则k的等于 【答案】2。【考点】关于x轴对称的点的坐标特征，正比例函数的性质。【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数则两个解析式的k值应互为相反数， 即k=2。4.（天津市2008年3分）已知抛物线，若点P（，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是 【答案】（4，

9、5）。【考点】二次函数图象与几何变换。【分析】根据抛物线解析式求出抛物线对称轴为x，再根据图象得出点P（2，5）关于对称轴对称点Q：两点的纵坐标不变，两点横坐标到对称轴的距离相等，都为3，得到Q点坐标为（4，5）。5.（天津市2008年3分）已知关于x的函数同时满足下列三个条件： 函数的图象不经过第二象限；当时，对应的函数值；当时，函数值y随x的增大而增大你认为符合要求的函数的解析式可以是： （写出一个即可）【答案】y= x2（答案不唯一）。【考点】一次函数和二次函数的性质。【分析】此函数可以是一次函数y=k（x2）b（k0，b0）；也可为二次函数y=a（x2）2b（a0，b0）。如y= x2

10、，y= 2（x2）1=2 x5，y=（x2）2=x24x4等等，答案不唯一。6. （2012天津市3分）将正比例函数y=6x的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 （写出一个即可）【答案】y=6x+1（答案不唯一）。【考点】平移的性质。【分析】根据“上加下减”的原则在函数解析式后加一个大于0的数即可，如y=6x+1（答案不唯一）。三、解答题1. （天津市2003年10分）已知关于的方程的两个实数根为、，且。 （1）试用含有、的代数式表示； （2）求证：1； （3）若以、为坐标的点M（、）在ABC的三条边上运动，且ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（，1），C（1，1），问是

11、否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）、为方程的两个实数根，判别式=，且+=，=。=，=+1=+1。（2）（1）（1）=1（+）+=0（0），又，1。（3）若使成立，只需+=。当点M（，）在BC边上运动时，由B（，1），C（1，1），得1，=1，而=1=1，故在BC边上存在满足条件的点M，其坐标为（，1）。当点M（，）在AC边上运动时，由A（1，2），C（1，1），得=1，12，此时=1=。又因为12，故在AC边上存在满足条件的点M，其坐标为（1，）。当点M（，）在AB边上运动时，由A（1，2），B（，1），得1，12。 设AB所在直线为：，由A（1，

12、2），B（，1），得，解得。AB所在直线为：。由点M（，）在AB边上运动，得。又+=，得。又，在线段AB上。故在AB边上存在满足条件的点M，其坐标为。综上所述，当点M（，）在ABC的三条边上运动时，存在点（，1），（1，）和点，使成立。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解方程和不等式，坐标与图形性质，直线上点的坐标与方程的关系，待定系数法。【分析】（1）因为原方程有两个实数根，故判别式=，且+=，=。解之即得。（2）因为，故只需解（1）（1）0即可。（3）先根据条件确定动点所在的边，再确定点的坐标。2.（天津市2009年10分）已知一个直角三角形纸片，其中如图，将该纸片放置在平面

13、直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点（）若折叠后使点与点重合，求点的坐标；（）若折叠后点落在边上的点为，设，试写出关于的函数解析式，并确定的取值范围；（）若折叠后点落在边上的点为，且使，求此时点的坐标 【答案】解：（）如图，折叠后点与点重合，则。设点的坐标为，则。在中，由勾股定理，得，即，解得。点的坐标为。（）如图，折叠后点落在边上的点为,则。由题设，则。在中，由勾股定理，得，即，。由点在边上，有，解析式（）为所求。当时，随的增大而减小，的取值范围为。（）如图，折叠后点落在边上的点为，且，则。又，。，得。在中，设，则。由（）的结论，得，即，解得。，。点的坐标为。【考点】折痕对称

14、的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】（）由折痕对称的性质，通过证，得，从而根据勾股定理可求得点的坐标。 （）由折痕对称的性质，通过证，得，从而根据勾股定理列出关于的函数解析式，并确定的取值范围。 （）由折痕对称的性质，通过证，得，从而得，结合（）的结论，即可求得点的坐标。3.（天津市2010年10分） 在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、轴的正半轴上，D为边OB的中点.（）若为边上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标；（）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.温馨提示：

15、如图，可以作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，此时的周长是最小的.这样，你只需求出的长，就可以确定点的坐标了.【答案】解：（）如图，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接。在边上任取点（与点E不重合），连接、。由可知的周长最小。在矩形中，为的中点，。OEBC， RtRt，有。 点的坐标为（1，0）。（）如图，作点关于轴的对称点，在边上截取，连接与轴交于点，在上截取。GCEF，四边形为平行四边形，有。又、的长为定值，此时得到的点、使四边形的周长最小。OEBC， RtRt, 有 。点的坐标为（，0），点的坐标为（，0）。【考点】轴对称点的性质，三角形的三边关系，相似三角形的判定和性质，平行四

16、边形的判定和性质。【分析】（）作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，连接。则此时的周长最小。据此由RtRt,得对应边成比例，即可求出点的坐标。 （）作点关于轴的对称点，在边上截取，连接与轴交于点，在上截取。则此时四边形的周长最小。据此由RtRt,得对应边成比例，即可求出点、的坐标。4. （天津市2010年10分） 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为.（）若，求此时抛物线顶点的坐标；（）将（）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足SBCE = SABC，求此时直线的解析式；（）将（）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形AB

17、EC中满足SBCE = 2SAOC，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式.【答案】解：（）当，时，抛物线的解析式为，抛物线顶点的坐标为（1，4）。（）将（）中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，设抛物线的解析式为（）（时抛物线与轴无两个交点）。此时，抛物线与轴的交点为，顶点为。方程的两个根为，此时，抛物线与轴的交点为，。如图，过点作EFCB与轴交于点，连接，则SBCE = SBCF。SBCE = SABC， SBCF = SABC。设对称轴与轴交于点，则。由EFCB，得。 RtEDFRtCOB有。，解得 （用换元法求解，令）。 点，。设直线的解析式为，则 ，解得 。直线的解析式为。（）设

18、抛物线的解析式为（，）（否则与题意不符），则抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，与轴的交点为，（）（否则抛物线与轴无交点）。过点作EFCB与轴交于点，连接，则SBCE = SBCF。SBCE = 2SAOC，SBCF = 2SAOC，得。设该抛物线的对称轴与轴交于点，则。由RtEDFRtCOB，有。与不符，。 点在直线上，有。 。抛物线的解析式为，即。【考点】二次函数的性质，平移的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线与轴和轴的交点，解方程和方程组，平行的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（）将，代入后化为顶点式，即可求出顶点坐标。（）根据平移的性质，上下平移只有纵坐标变化，

19、故设抛物线的解析式为。根据平行线间三角形等高的性质，作EFCB与轴交于点，连接，则SBCE = SBCF。由已知SBCE = SABC得。然后，根据RtEDFRtCOB，求得，。用待定系数法即可求出此时直线的解析式。 （）根据平移的性质，设抛物线的解析式为（，）。仿（），由RtEDFRtCOB，求得的关系，将其代入直线方程，求得，即可得此时抛物线的解析式。5.（天津市2011年10分）在平面直角坐标系中已知O坐标原点点A(30)，B(0，4)以点A为旋转中心，把ABO顺时针旋转，得ACD记旋转转角为ABO为 (I) 如图，当旋转后点D恰好落在AB边上时求点D的坐标； () 如图，当旋转后满足B

20、C轴时求与之闻的数量关系；() 当旋转后满足AOD=时求直线CD的解析式(直接写出即如果即可)， 【分析】(I)作辅助线DM轴，由勾股定理求出AB的长，由相似三角形对应边成比例的性质即可求出。 ()由旋转的性质，知ABC=ACB，由三角形三内角和1800的定理可得=180°2ABC。又由于BC轴，可得ABC=90°，从而=2从而的关系。 （） 图1 图2如图1，连接BD，作DF轴于F。由AOD=ABO可证AOBADB，ADB=AOB=900。又ADC=900，B在直线CD上。可设直线CD方程式为=k+4。由AOEABO得。设D点坐标为，则有，解之得 。 代入直线CD方程=k

21、+4，得k=。直线CD的解析式为。 同样考虑AOD在轴下方的情况，如图2，可得直线CD的解析式。6.（2012天津市10分）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B和折痕OP设BP=t（）如图，当BOP=300时，求点P的坐标；（）如图，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB上，得点C和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（）在（）的条件下，当点C恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）【答案】解：（）根据题意，OBP=90°，OB=6。在RtOBP中，由BOP=30°，BP=