全国卷数学导数真题整理

1、全国卷数学导数真题整理参考答案与试题解析一解答题（共14小题）1（2015河北）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=lnx（i）当 a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min m，n 表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min f（x），g（x）（x0），讨论h（x）零点的个数【分析】（i）f（x）=3x2+a设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f（x0）=0解出即可（ii）对x分类讨论：当x（1，+）时，g（x）=lnx0，可得函数h（x）=min f（x），g（x）g（x）0，即可得出零点的个数当x=1时，对a分类讨论：a，a，即可得出

2、零点的个数；当x（0，1）时，g（x）=lnx0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可对a分类讨论：当a3或a0时，当3a0时，利用导数研究其单调性极值即可得出【解答】解：（i）f（x）=3x2+a设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f（x0）=0，解得，a=因此当a=时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）当x（1，+）时，g（x）=lnx0，函数h（x）=min f（x），g（x）g（x）0，故h（x）在x（1，+）时无零点当x=1时，若a，则f（1）=a+0，h（x）=min f（1），g（1）=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点；若

3、a，则f（1）=a+0，h（x）=min f（1），g（1）=f（1）0，故x=1不是函数h（x）的零点；当x（0，1）时，g（x）=lnx0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可当a3或a0时，f（x）=3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，而f（0）=，f（1）=a+，当a3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，当a0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点当3a0时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，f（x）取得最小值=若0，即，则f（x）在（0，1）内无零点若=0，即a=，则f（x）在（0，1）内有唯一零点若0，即，由

4、f（0）=，f（1）=a+，当时，f（x）在（0，1）内有两个零点当3a时，f（x）在（0，1）内有一个零点综上可得：当或a时，h（x）有一个零点；当a=或时，h（x）有两个零点；当时，函数h（x）有三个零点【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题2（2015新课标II）设函数f（x）=emx+x2mx（1）证明：f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增；（2）若对于任意x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|e1，求m的取值范围【分析】（1）利用f（x）0说明函数为增函数

5、，利用f（x）0说明函数为减函数注意参数m的讨论；（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在1，0单调递减，在0，1单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题从而求得m的取值范围【解答】解：（1）证明：f（x）=m（emx1）+2x若m0，则当x（，0）时，emx10，f（x）0；当x（0，+）时，emx10，f（x）0若m0，则当x（，0）时，emx10，f（x）0；当x（0，+）时，emx10，f（x）0所以，f（x）在（，0）时单调递减，在（0，+）单调递增（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在1，0单调递减，在0，1单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值所以对于任意x1，x21，

6、1，|f（x1）f（x2）|e1的充要条件是即设函数g（t）=ette+1，则g（t）=et1当t0时，g（t）0；当t0时，g（t）0故g（t）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增又g（1）=0，g（1）=e1+2e0，故当t1，1时，g（t）0当m1，1时，g（m）0，g（m）0，即合式成立；当m1时，由g（t）的单调性，g（m）0，即emme1当m1时，g（m）0，即em+me1综上，m的取值范围是1，1【点评】本题主要考查导数在求单调函数中的应用和恒成立在求参数中的应用属于难题，高考压轴题3（2014广西）函数f（x）=ln（x+1）（a1）（）讨论f（x）的单调性；（）设a1=1

7、，an+1=ln（an+1），证明：an【分析】（）求函数的导数，通过讨论a的取值范围，即可得到f（x）的单调性；（）利用数学归纳法即可证明不等式【解答】解：（）函数f（x）的定义域为（1，+），f（x）=，当1a2时，若x（1，a22a），则f（x）0，此时函数f（x）在（1，a22a）上是增函数，若x（a22a，0），则f（x）0，此时函数f（x）在（a22a，0）上是减函数，若x（0，+），则f（x）0，此时函数f（x）在（0，+）上是增函数当a=2时，f（x）0，此时函数f（x）在（1，+）上是增函数，当a2时，若x（1，0），则f（x）0，此时函数f（x）在（1，0）上是增函数，若x

8、（0，a22a），则f（x）0，此时函数f（x）在（0，a22a）上是减函数，若x（a22a，+），则f（x）0，此时函数f（x）在（a22a，+）上是增函数（）由（）知，当a=2时，此时函数f（x）在（1，+）上是增函数，当x（0，+）时，f（x）f（0）=0，即ln（x+1），（x0），又由（）知，当a=3时，f（x）在（0，3）上是减函数，当x（0，3）时，f（x）f（0）=0，ln（x+1），下面用数学归纳法进行证明an成立，当n=1时，由已知，故结论成立假设当n=k时结论成立，即，则当n=k+1时，an+1=ln（an+1）ln（），an+1=ln（an+1）ln（），即当n=k+1

9、时，成立，综上由可知，对任何nN结论都成立【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大4（2014新课标II）已知函数f（x）=exex2x（）讨论f（x）的单调性；（）设g（x）=f（2x）4bf（x），当x0时，g（x）0，求b的最大值；（）已知1.41421.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）【分析】对第（）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在0+）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g（x）0是否成立”的问题；对第（）问，根据第（）问的结论，设法利用的近似值，并寻

10、求ln2，于是在b=2及b2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值【解答】解：（）由f（x）得f（x）=ex+ex2，即f（x）0，当且仅当ex=ex即x=0时，f（x）=0，函数f（x）在R上为增函数（）g（x）=f（2x）4bf（x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，则g（x）=2e2x+e2x2b（ex+ex）+（4b2）=2（ex+ex）22b（ex+ex）+（4b4）=2（ex+ex2）（ex+ex+22b）ex+ex2，ex+ex+24，当2b4，即b2时，g（x）0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，x0时，g（x）0，符合题意当

11、b2时，若x满足2ex+ex2b2即，得，此时，g（x）0，又由g（0）=0知，当时，g（x）0，不符合题意综合、知，b2，得b的最大值为2（）1.41421.4143，根据（）中g（x）=e2xe2x4b（exex）+（8b4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得当b=2时，由g（x）0，得，从而；令，得2，当时，由g（x）0，得，得所以ln2的近似值为0.693【点评】1本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题2从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决

12、本题的一个重要突破口3本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的5（2014新课标I）设函数f（x）=aexlnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处得切线方程为y=e（x1）+2（）求a、b；（）证明：f（x）1【分析】（）求出定义域，导数f（x），根据题意有f（1）=2，f（1）=e，解出即可；（）由（）知，f（x）1等价于xlnxxex，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）minh（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；【解答】解

13、：（）函数f（x）的定义域为（0，+），f（x）=+，由题意可得f（1）=2，f（1）=e，故a=1，b=2；（）由（）知，f（x）=exlnx+，f（x）1，exlnx+1，lnx，f（x）1等价于xlnxxex，设函数g（x）=xlnx，则g（x）=1+lnx，当x（0，）时，g（x）0；当x（，+）时，g（x）0故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，从而g（x）在（0，+）上的最小值为g（）=设函数h（x）=xex，则h（x）=ex（1x）当x（0，1）时，h（x）0；当x（1，+）时，h（x）0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，从而h（x）在（

14、0，+）上的最大值为h（1）=综上，当x0时，g（x）h（x），即f（x）1【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力6（2013新课标）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2（）求a，b，c，d的值；（）若x2时，f（x）kg（x），求k的取值范围【分析】（）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（）由（I）得出f（x

15、），g（x）的解析式，再求出F（x）及它的导函数，通过对k的讨论，判断出F（x）的最值，从而判断出f（x）kg（x）恒成立，从而求出k的范围【解答】解：（）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f（0）=4，g（0）=4，而f（x）=2x+a，g（x）=ex（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2ex（x+1）设F（x）=kg（x）f（x）=2kex（x+1）x24x2，则F（x）=2kex（x+2）2x4=2（x+2）（kex1），由题设得F（0）0，即k1，令F（x）=0，得x1=lnk

16、，x2=2，若1ke2，则2x10，从而当x（2，x1）时，F（x）0，当x（x1，+）时，F（x）0，即F（x）在（2，x1）上减，在（x1，+）上是增，故F（x）在2，+）上的最小值为F（x1），而F（x1）=x1（x1+2）0，x2时F（x）0，即f（x）kg（x）恒成立若k=e2，则F（x）=2e2（x+2）（exe2），从而当x（2，+）时，F（x）0，即F（x）在（2，+）上是增，而F（2）=0，故当x2时，F（x）0，即f（x）kg（x）恒成立若ke2时，F（x）2e2（x+2）（exe2），而F（2）=2ke2+20，所以当x2时，f（x）kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围

17、是1，e2【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题7（2013新课标）已知函数f（x）=exln（x+m）（）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性；（）当m2时，证明f（x）0【分析】（）求出原函数的导函数，因为x=0是函数f（x）的极值点，由极值点处的导数等于0求出m的值，代入函数解析式后再由导函数大于0和小于0求出原函数的单调区间；（）证明当m2时，f（x）0，转化为证明当m=2时f（x）0求出当m=2时函数的导函数，可知导函数在（2，+）上为增函数，并进一步得到导

18、函数在（1，0）上有唯一零点x0，则当x=x0时函数取得最小值，借助于x0是导函数的零点证出f（x0）0，从而结论得证【解答】（）解：，x=0是f（x）的极值点，解得m=1所以函数f（x）=exln（x+1），其定义域为（1，+）设g（x）=ex（x+1）1，则g（x）=ex（x+1）+ex0，所以g（x）在（1，+）上为增函数，又g（0）=0，所以当x0时，g（x）0，即f（x）0；当1x0时，g（x）0，f（x）0所以f（x）在（1，0）上为减函数；在（0，+）上为增函数；（）证明：当m2，x（m，+）时，ln（x+m）ln（x+2），故只需证明当m=2时f（x）0当m=2时，函数在（2，

19、+）上为增函数，且f（1）0，f（0）0故f（x）=0在（2，+）上有唯一实数根x0，且x0（1，0）当x（2，x0）时，f（x）0，当x（x0，+）时，f（x）0，从而当x=x0时，f（x）取得最小值由f（x0）=0，得，ln（x0+2）=x0故f（x）=0综上，当m2时，f（x）0【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了不等式的证明，考查了函数与方程思想，分类讨论的数学思想，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力熟练函数与导数的基础知识是解决该题的关键，是难题8（2013秋梁子湖区校级月考）已知函数（I）若x0时，f（x）0，求的最小值；（II）设

20、数列an的通项an=1+【分析】（I）由于已知函数的最大值是0，故可先求出函数的导数，研究其单调性，确定出函数的最大值，利用最大值小于等于0求出参数的取值范围，即可求得其最小值；（II）根据（I）的证明，可取=，由于x0时，f（x）0得出，考察发现，若取x=，则可得出，以此为依据，利用放缩法，即可得到结论【解答】解：（I）由已知，f（0）=0，f（x）=，f（0）=0欲使x0时，f（x）0恒成立，则f（x）在（0，+）上必为减函数，即在（0，+）上f（x）0恒成立，当0时，f（x）0在（0，+）上恒成立，为增函数，故不合题意，若0时，由f（x）0解得x，则当0x，f（x）0，所以当0x时，f（

21、x）0，此时不合题意，若，则当x0时，f（x）0恒成立，此时f（x）在（0，+）上必为减函数，所以当x0时，f（x）0恒成立，综上，符合题意的的取值范围是，即的最小值为（ II）令=，由（I）知，当x0时，f（x）0，即取x=，则于是a2nan+=+=ln2nlnn=ln2所以【点评】本题考查了数列中证明不等式的方法及导数求最值的普通方法，解题的关键是充分利用已有的结论再结合放缩法，本题考查了推理判断的能力及转化化归的思想，有一定的难度9（2013秋城关区校级月考）设函数f（x）=ax+cosx，x0，（）讨论f（x）的单调性；（）设f（x）1+sinx，求a的取值范围【分析】（）求导函数，可

22、得f'（x）=asinx，x0，sinx0，1，对a进行分类讨论，即可确定函数的单调区间；（）由f（x）1+sinx得f（）1，a11，可得a，构造函数g（x）=sinx（0x），可得g（x）0（0x），再考虑：0x；，即可得到结论【解答】解：（）求导函数，可得f'（x）=asinx，x0，sinx0，1；当a0时，f'（x）0恒成立，f（x）单调递减；当a1 时，f'（x）0恒成立，f（x）单调递增；当0a1时，由f'（x）=0得x1=arcsina，x2=arcsina当x0，x1时，sinxa，f'（x）0，f（x）单调递增当xx1，x2时

23、，sinxa，f'（x）0，f（x）单调递减当xx2，时，sinxa，f'（x）0，f（x）单调递增； （）由f（x）1+sinx得f（）1，a11，a令g（x）=sinx（0x），则g（x）=cosx当x时，g（x）0，当时，g（x）0，g（x）0，即（0x），当a时，有当0x时，cosx1，所以f（x）1+sinx；当时，=1+1+sinx综上，a【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性10（2011新课标）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为x+2y3=0（）求a、b的值；（

24、）如果当x0，且x1时，f（x）+，求k的取值范围【分析】（I）求出函数的导数；利用切线方程求出切线的斜率及切点；利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出a，b值（II）将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，对参数k分类讨论，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，求出函数的最值，求出参数k的范围【解答】解：由题意f（1）=1，即切点坐标是（1，1）（）由于直线x+2y3=0的斜率为，且过点（1，1），故即解得a=1，b=1（）由（）知，所以）考虑函数（x0），则（i）设k0，由知，当x1时，h（x）0而h（1）=0，故当x（0，1）时，h（x）0，可得；

25、当x（1，+）时，h（x）0，可得h（x）0从而当x0，且x1时，f（x）（+）0，即f（x）+（ii）设0k1由于当x（1，）时，（k1）（x2+1）+2x0，故h（x）0，而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0，与题设矛盾（iii）设k1此时h（x）0，而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得h（x）0，与题设矛盾综合得，k的取值范围为（，0【点评】本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率、考查构造函数，通过导数研究函数的单调性，求出函数的最值、考查了分类讨论的数学思想方法11（2010全国卷）设函数f（x）=1ex（）证明：当x1时，f（

26、x）；（）设当x0时，f（x），求a的取值范围【分析】（1）将函数f（x）的解析式代入f（x）整理成ex1+x，组成新函数g（x）=exx1，然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数g（x）的最小值g（0），进而g（x）g（0）可得证（2）先确定函数f（x）的取值范围，然后对a分a0和a0两种情况进行讨论当a0时根据x的范围可直接得到f（x）不成立；当a0时，令h（x）=axf（x）+f（x）x，然后对函数h（x）进行求导，根据导函数判断单调性并求出最值，求a的范围【解答】解：（1）当x1时，f（x）当且仅当ex1+x令g（x）=exx1，则g'（x）=ex1当x0时g'（x）

27、0，g（x）在0，+）是增函数当x0时g'（x）0，g（x）在（，0是减函数于是g（x）在x=0处达到最小值，因而当xR时，g（x）g（0）时，即ex1+x所以当x1时，f（x）（2）由题意x0，此时f（x）0当a0时，若x，则0，f（x）不成立；当a0时，令h（x）=axf（x）+f（x）x，则f（x）当且仅当h（x）0因为f（x）=1ex，所以h'（x）=af（x）+axf'（x）+f'（x）1=af（x）axf（x）+axf（x）（i）当0a时，由（1）知x（x+1）f（x）h'（x）af（x）axf（x）+a（x+1）f（x）f（x）=（2a1）

28、f（x）0，h（x）在0，+）是减函数，h（x）h（0）=0，即f（x）（ii）当a时，由（i）知xf（x）h'（x）=af（x）axf（x）+axf（x）af（x）axf（x）+af（x）f（x）=（2a1ax）f（x）当0x时，h'（x）0，所以h'（x）0，所以h（x）h（0）=0，即f（x）综上，a的取值范围是0，【点评】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力；导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的

29、分析能力和计算能力估计以后对导数的考查力度不会减弱作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在12（2010全国卷）已知函数f（x）=（x+1）lnxx+1（）若xf（x）x2+ax+1，求a的取值范围；（）证明：（x1）f（x）0【分析】（）先根据导数公式求出导函数f（x），代入xf（x）x2+ax+1，将a分离出来，然后利用导数研究不等式另一侧的最值，从而求出参数a的取值范围；（）根据（I）可知g（x）g（1）=1即lnxx+10，然后讨论a与1的大小，从而确定（x1）的符号，然后判定f（x）与0的大小即可证得结论【解答】解

30、：（），xf（x）=xlnx+1，题设xf（x）x2+ax+1等价于lnxxa令g（x）=lnxx，则 当0x1，g（x）0；当x1时，g（x）0，x=1是g（x）的最大值点，g（x）g（1）=1 综上，a的取值范围是1，+）（）由（）知，g（x）g（1）=1即lnxx+10当0x1时，f（x）=（x+1）lnxx+1=xlnx+（lnxx+1）0；当x1时，f（x）=lnx+（xlnxx+1）=0 所以（x1）f（x）0【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的最值，以及利用参数分离法求参数的取值范围，同时考查了运算求解的能力，属于中档题13（2009全国卷）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1x2，（）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（）证明：f（x2）【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数f（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式f（x）0和f（x）0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可