量子无穷多粒子系统的时间不可逆性

1、H HF F = = n nH H1 1n n3/9/20224 (x)(x)是无穷空间C0类(而非L2类)函数。n考虑粒子应有有限大小(场论中的“正则化”或“消除紫外发散”)，应用无穷空间格点场： (I) , (I) , * * (I) = (I) = x3 I,II,I (I) , (I) , (I (I) = 0 I=i) = 0 I=i1 1, i , i2 2, , i i3 3, ,n可将可将 I=i I=i1 1, i , i2 2, , i i3 3, , 整成一维整数列整成一维整数列I,I=0,1,2,I,I=0,1,2, QSINP QSINP 则是则是“可列无穷可列无穷”

2、多自由度系统。每亇自多自由度系统。每亇自 由度由度 上有场算子：上有场算子： * *(I),(I), (I)(I)。n量子格点场是三维格点平移不变的。量子格点场是三维格点平移不变的。n只应该是只应该是“实空间实空间”的格点场，不能是动量或其的格点场，不能是动量或其它空间。它空间。： * *(I),(I), (I)(I)n据据Stone-von NeumannStone-von Neumann定理，定理，R(I)R(I)只有唯一的不等只有唯一的不等价、不可约表示价、不可约表示 N(I) N(I) ,H(I),H(I)。 N(I) N(I)与与R(I)R(I)同构。同构。nHilbertHilbe

3、rt空间空间H(I)H(I)，由正交完备基组：，由正交完备基组： (I,n)(I,n) n n (I)(I)(I,0)= 0,(I,0)= 0, * *(I)(I) (I)(I)(I,n)= n(I,n), (I,n)= n(I,n), ( ( (I,n),(I,n), (I,n)= 1, n =0,1,2,(I,n)= 1, n =0,1,2, 构成构成 H(I) H(I)中任一组元，称为格点态矢中任一组元，称为格点态矢 (I)(I)n在在QSINPQSINP中，有限个自由度构成子系统的力学量是有限中，有限个自由度构成子系统的力学量是有限的，才是可以计算的的，才是可以计算的，因此因此QSIN

4、PQSINP的的任一力学量任一力学量 都是由都是由有限个格点有限个格点上的上的格点格点力学量力学量(R(I)(R(I)的组元的组元集集合合而成。而成。这也这也是所有非平衔态统计理论的基本出发点。是所有非平衔态统计理论的基本出发点。nQSINPQSINP所有力学量的集合所有力学量的集合R R中定义：中定义： 加法：加法：a(I),a(J)+b(J),b(k)=a(I),a(J)+b(J),b(k);a(I),a(J)+b(J),b(k)=a(I),a(J)+b(J),b(k); 乘法：乘法： a(I),a(J) a(I),a(J) b(J),b(k)=a(I),a(J) b(J),b(k)b(J

5、),b(k)=a(I),a(J) b(J),b(k)。 是是“ “ ”n由于由于QSINPQSINP有无穷多自由度，有无穷多自由度，R R不可度量，不是不可度量，不是“ C “ C ”。nQSINPQSINP的的“全纯态矢全纯态矢” : :是是无穷格点态矢列无穷格点态矢列 n n(I)(I)I I , ,其其中中 n n(I)(I)是旧一化的格点态矢。是旧一化的格点态矢。n全纯态矢全纯态矢 ， 1 1只在有限个格点上的归一化格点态矢不只在有限个格点上的归一化格点态矢不同同, , 与与 1 1等价等价。无穷格点态矢列。无穷格点态矢列 f1 f1只在有限个格点上与只在有限个格点上与全纯态矢全纯态矢

6、 有不同的格点态矢（但不一定归一），则称有不同的格点态矢（但不一定归一），则称为与为与 等价的等价的“纯态矢纯态矢”。n所有与所有与 等价的等价的全全纯态矢构成集合纯态矢构成集合D D 。所有与。所有与 等价的等价的纯态矢纯态矢全体全体构成集合构成集合H H ( (包括包括 D D ) )。n在在 H H 中定义数乘及加法：旧一格点态矢数乘后不变，中定义数乘及加法：旧一格点态矢数乘后不变，加法中只有与加法中只有与 分量不同的分量相加。分量不同的分量相加。 H H 是线性空间是线性空间。H H f1 f1与与 f2 f2 f1 f1, , f2 f2 f1 f1nH H N N 1 1与与 2

7、2分属两不等价的分属两不等价的 H H 1 1H H 2 2 ( ( 1 1， 2 2)=0)=0Stone-von NeumannStone-von Neumann N N n N N , , H H 是是R R的一亇局域不可约表示的一亇局域不可约表示(D(D 或或 H H 只只是全纯态，或纯态空间，的是全纯态，或纯态空间，的一部分一部分) )。称为。称为R R与与 相联系的相联系的GNSGNS构造。构造。nQSINPQSINP的力学量的力学量 有无穷多个不等价、不有无穷多个不等价、不可约的可约的GNSGNS构造构造 N N , , H H ，分别与无穷多不等价，分别与无穷多不等价的全纯态矢

8、的全纯态矢 相联系。相联系。N(I) =N(I) = * * (I) (I) (I)(I)。 但系统总哈密顿但系统总哈密顿 H = H H = Ho o + H + H = = I I H Ho o (I) (I) x x3 3 + + I I | J | J I | r I | r V VI,JI,J x x3 3 只是形式的算子发散级数，不是只是形式的算子发散级数，不是R R的组元。的组元。n形式上定义的刘维算子形式上定义的刘维算子L: L: LA = iH,A = i(HA-AH) 是是R R上的线性厄米算子，刘维方程上的线性厄米算子，刘维方程: : dA(t)/dt = -iLA(t)

9、 仍是仍是R R上的动力学方程。上的动力学方程。N N N N A A=A =A 。也可有。也可有Shrodinger PictureShrodinger Picture： A A(t)=A (t)(t)=A (t) n时间时间反演变换反演变换T T：t t -t -t，则则 TA=ATA=A* * R R； TP(I)= - P(I) TP(I)= - P(I)； 对刘维算子，时间反演不变：对刘维算子，时间反演不变：TLT = LTLT = L。nA A时间反演不变态时间反演不变态: T: T 0 0= = 0 0 , , 或其等价类或其等价类( (只在有只在有限格点上动量不为零限格点上动量

10、不为零) )。时间正向及反向运动全。时间正向及反向运动全在在 N N 0 0 , , H H 0 0 中。属于绝对零度态，不能实现。中。属于绝对零度态，不能实现。n在无穷多格点上有非零动量密度的纯态在无穷多格点上有非零动量密度的纯态矢矢称为量称为量子气体纯态子气体纯态矢矢。全纯态矢全纯态矢 与与 T T 不等价，因而不等价，因而 N N , , H H 与与 N N T T, , H H T T 是不等价不可约表示。是不等价不可约表示。 N N , , H H 全纯态矢全纯态矢 全纯态全纯态矢矢 T T N N , , H H N N T T, , H H T T N N , , H H N

11、N , , H H N N , , H H n N N , , H H 与与 N N T T, , H H T T 合构成时间反演变换群的合构成时间反演变换群的二维表示。二维表示。 N N , , H H N N , , H H T(t) = T(t) = k=0k=0 (-iLt) (-iLt)k k /k!) = Exp(-iLt) /k!) = Exp(-iLt) R(z) = 1/(z-L)= z z-1 -1k k 0 0 (L/z) (L/z)k k ，并有，并有 T(t) = C+i0 Exp(-izt) R(z)dz 积分迴路积分迴路C+i0： PR(z)P = (1/(z -

12、 PLP - E(z)P PR(z)P = (1/(z - PLP - E(z)P E(z) = PLQ( 1/(z-QLQ) )QLP E(z) = PLQ( 1/(z-QLQ) )QLPn计算计算P P T(t)P: T(t)P: P PT(t)P = T(t)P = C+i0C+i0 Exp(-izt)P (Exp(-izt)P (1/(z-L)1/(z-L)Pdz,Pdz,n由于由于 N N 也是也是HilbertHilbert空间空间, , 作为发散级数，作为发散级数， ( (1/(z-L) 1/(z-L) 对所对所有非零实有非零实z z值，都是无界算子，因而值，都是无界算子，因而L

13、 L的谱在实轴上连续的谱在实轴上连续，z=0z=0是分枝点。是分枝点。 在弱耦合情况下在弱耦合情况下： z z0 0= PLP+E(PLP-i0)= PLP+PLQ(-i0-(QLQ)= PLP+E(PLP-i0)= PLP+PLQ(-i0-(QLQ)-1 -1QLPQLP T TP P (t)= PT(t)P = Exp( -iz (t)= PT(t)P = Exp( -iz0 0 t) t) n最终：最终：T TP P (t)= PT(t)P = Exp( (t)= PT(t)P = Exp(-i(-i - - ) )t) t) ， = PLP+PLQ = PLP+PLQ P (1/(QLQ)QLP P (1/(QLQ)QL