方向导数与梯度

1、早节题目P6o2、4、7、10第七节方向导数与梯度方向导数的概念及计算 梯度的概念与几何意义方向导数的计算梯度概念的理解梯度概念的理解梯度的几何意义难占八、分析习 题 布 置教学内容一、问题的提出实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1) , (5,1) , (1,3) , (5,3) ?在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热.假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比.在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度方向)爬行.二、方向导数的定义讨论函数z = f(x, y)在一点P沿某一方向的变化

2、率问题.设函数Z=f (x ,y) 在点P (x ,y)的某一领域U (P)内有定义，自点P引射线L,设x轴正向到L射线的转角为-,并设p (x+.i x, y八y)为L上的另一点且 P U (p)oI PP 二 i ( : x)2 ( y)2,且? : z = f (x =x, y =y) - f (x, y),考虑z ,当P ?沿着I趋于P时,lim f (x =x, (x, y)是否存在？尸 宀o ；-定义 函数的增量f (x : x,八y) - f (x, y)与PP俩点间的距离=,0 x)2 C : y)2之比值，当P ?沿着I趋于P时，如果此比的极5f y)记为限存 在，那么称这极

3、限为函数在点P沿方向I的方向导数.依定义，函数f(x, y)在点P沿着x轴正向 q=1,0、 y轴正向=0,1的方向导数分别为fx, fy ；定理 如果函数z = f (x, y)在点P(x,y)是可微分的，那末函数在该点沿任意 方向L的方向导数都存在，且有f -f cossin，其中为x轴到方向L :xy的转角.证明由于函数可微，那么增量可表示为f (x lx, y iy) _ f (x, y)二 _ x :二 y o(二)Sx cy两边同除以匚得到f (x : =x, y : =y) - f (x, y) ； :f x ； :f ? :y o() P Pcy P P设竺为cos?，色匕为s

4、in申PP故有方向导数f = lim f(x x y 弓)-f(x,y ) a 一 ?P=f cos 审 + f sin 半.例1求函数z =xe2y.x； :y解这里方向I即为在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)的方向的方向导数.=1 _=e2y1cz=2xe2y(1,0)(1,0)PQ二1,-1,故x轴到方向I的转角：=-dz(1,0) =2,:z兀=2所求方向导数cos( ) 2si n()例2求函数2 2f (x, y)二x -xy y在点(1，1)沿与x轴方向夹角为:-的方向射线I的方向导数？并问在怎样的方向上此方向导数有(1)最大值；(2 )最小值；(3)等于零？

5、解 由方向导数的计算公式知f丁 =fx(1,1)cosa + fy(1,1)sinG =(2x yNd cos o +(2Ax)| d,D sin。，目(叩)''厂算=cos = sin : = 2 sin( : ?),45応14当时，方向导数到达最小值-? 2；,、，3兀7n当和：?二时，方向导数等于044推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数u = f(x, y,z),它在空间一点 P(x, y, z)沿着方向L的方向导数可定义为：f =lim f(x Xy .yz . : z)-f(x,y，z), cl W P(其中 Q = X : x)2 C =y)2 ( - -z

6、)2)设方向L的方向角为：？，：，L的方向导数都存在,=x 二cos :, Ly =cos :, _z -cos ,同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向且有f f cosa + f cos P + f cos?.；x:y； z2 2 2例3设n是曲面2x 3y z=6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求. 1 2 2 "-函数 u =-(6x2 ? 8y2)2在此处沿方向n的方向导数.z解令 F(x,y,z) =2x 2 3y2 z2 -6,Fx“|p=4x| p=4, F ； |p =6y|p=6, Fzjp=2z|p=2, 故 n *, Fy , Fj -&

7、#39;4,6,2 :；COS。=八=,cos p3 , cos = 1 .V14，14cu6x6 cuexp z*'6x2 +8y2-厂_；n = Y42 +62 +22 =2 J14,方向余弦为时14迥6x2 8y2-14.148r8z 6x2 8y2故:u .(叫。泊 + 竺。sB+竺 COSY)11；:n p excycz三、梯度的概念问题：函数在点P沿哪一方向增加的速度 最快？定义 设函数z二f(x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，那么对于每一点P(x,y) ? D，都可定出一个向量，这向量称为函数z=f(x,y)在点ex byP(x, y)的梯度， 记为 gradf

8、 (x, y)二'i " j . ex cy设e = cos i sin j是方向I上的单位向量,由方向导数公式知干讦讦二一 cos? + sin? =:x: y干讦 cos ?,s in:x y=gradf (x, y) e =|gradf (x, y) |cos 日,其中日=(gradf (x, y) ,e)当 cos(gradf (x, y),6) =1 时，一有最大值.cl结论：函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向 为方向导数的最大值？梯度的模为汪致，而它的模丨 * 2 zfcf V fcf )I gradf (x, y) F J + I

9、ex 丿 cy )当不为零时，x轴到梯度的转角的正切为tan :-丄 y ?:f:xgradfgradf在几何上z = f (x, y)表示一个曲面z = f (x v)曲面被平面z=c所截得Iz = c所得曲线在xoy ifilh投影如图yf f(X, y)=q gradf ( xt y )0等高线的画法420-2-4o-4-2024例如，函数z=sinxy图形及其等高线图形I I-1.S-1-0.S.0-511.5梯度与等高线的关系：函数Z=f (x, y) 在点p(x ,y)的梯度的方向与点p的等高线f (x, y)=c 在这点法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等值线

10、，而梯度的模等于等于函数在这个法线方向上的方向导数。梯度的概念可以推广到三元函数三元函数u=f(x,y,z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数，那么对于每一点P(x, y,z) ? G，都可定义一个向量(梯度)吋-吋-gf -gradf (x, y, z)=i 十一 j + k.dx dy cz类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值？类似地，设曲面f(x, y,z)=c为函数u=f(x,y,z)的等量面，此函数在点P(x, y, z)的梯度的方向与过点P的等量面f(x, y,z)=c在这点的法线的一个方向相冋，且从数值较低的等量面指向数值较

11、高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.例4 求函数u=x +2y +3z +3x2y在点(1,1,2)处的梯度，并冋在 哪些点处梯度为零？解由梯度计算公式得CU CU -gradu (x, y, z) = i + j + k =(2x + 3)i +(4y-2)j +6zk, ex 知 cz故 gradu(1,1,2) =5+ 2 j+12k.3 1在Fo(, 一, ° )处梯度为0.2 2四、小结1、方向导数的概念(注意方向导数与一般所说偏导数的区别)2、梯度的概念(注意梯度是一个向量)3、方向导数与梯度的关系梯度的方向就是函数 f (x, y)在这点增长 最快的方向.思考题 讨论函数z = f (x,yH ; X y在(0,0)点处的偏导数是否存在