无穷级数知识点

1、无穷级数1. 级数收敛充要条件：局部和存在且极值唯一，即：Sn limuk存在，称级数收敛。n k 12. 假设任意项级数Un收敛， 血 发散，那么称Un条件收敛，假设|比收敛，那么称级数n 1n 1n 1n 1un绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。n 12. 任何级数收敛的必要条件是lim Un 0n3. 假设有两个级数un和 vn，un s, vnn 1n 1n 1n 1那么 Un Vn S ，UnVnS 。n 1n 1n 1Un收敛，Vn发散，那么Un Vn 发散n 1n 1n 11发散，而 1 1k 10收敛假设二者都发散，那么Un Vn不确定，如 1,n 1k 1 k 14三个必

2、须记住的常用于比拟判敛的参考级数:n汁,收敛,ar1 rn 0发散，r 1r 11收敛，p 1n 1 n发冃攵，p 11收敛，p 1n 2 nlnp n发冃攵，p 1a等比级数:bP级数：c对数级数:5三个重要结论 务an 1收敛 汁*.存在正项不变号级数a.收a； 收,n 1n反之不成立，a；和b：都收敛|anbj收，或收nn6常用收敛快慢7.正项不变号级数敛散性的判据与常用技巧1.达朗贝尔比值法lim仏n Unl 1,收II 1,发实际上导致了 lim n 0 nI 1,单独讨论当n为连乘时2.柯西根值法| m曲 I I1,收1,发当n为某n次方时1,单独讨论3. |比阶法|代数式UnVn

3、Vn收敛n 1un收敛，un发散vn发散n 1n 1n 1极限式IimnUnVnA，其中:Un和Vn都是正项级数n 1n 1?A 0Un是vn的高阶无穷小UnVnVn收敛n 1Un收敛，Un发散n 1n 1Vn 发散cn 1?A 0Un是vn的同阶无穷小UnkVnUn和n 1n 1Vn敛散性相同。?AVn是Un的高阶无穷小VnUnUn收敛n 1Vn收敛，Vn发散n 1n 1Un发散n 1UnUn2dxx1，也可选用基准级数n213 n 12n2就可知原级8任意项级数的敛散性的判据与常用技巧莱布尼茨判交错级数I任意项级数的特例Iim Un 0Un Un 1 1“比收敛n 0这是一个必要条件，如果

4、不满足，那么1nUn必发散，假设只有不满足，那么不一定收敛n 0还是发散，要使用绝对收敛判别其敛散性。任意项级数判敛使用绝对值，使之转换为正项级数，即绝对收敛、条件收敛或发散 任意项级数判敛的两个重要技巧：a微分积分法。换成连续变量，再利用微积分相关定理与性质。b k阶无穷小试探法。在不能估计出通项的无穷小阶次时，使用该试探法，9.幕级数an(x Xo)nn 01阿贝尔Abel丨定理如果级数anxn当x x0 x0 0,因为x0=0n 0anx20显然收敛点收敛，那么级数在圆n 1域x x0内绝对收敛；如果级数 anxn当xn 0Xi点发散，那么级数在圆域x Xi外发散。由阿贝尔Abel定理可

5、见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域，这一定理是引入幕级数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论依据。注意，除x X。冷0夕卜，该定理并没有完全保证圆上每一点的敛散性，正确理解阿贝尔定理是学好幕级数的关键。如推论：如果 anxn不是仅在x 0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确n 0定的正数R存在，使得：当x R时，幕级数绝对收敛；当x R时，幕级数发散；当x R与xR时，幕级数可能收敛，也可能发散，我们称R为 anxn的收敛半径。n 110.幕级数收敛半径、收敛区间和收敛区域an(xx0)n，假设limnan 1limnn an ;那么根据比值判敛法有:liman 1x

6、 xx x01收敛x xR=limannannan+110n收敛。anan 1limn收敛半径R :全平面收敛，只有一个收敛点x 0,=0收敛区间Xo R, Xo R :级数在XXoXo R, Xo R收敛；幕级数的收敛区间是非空点集，对 an(x Xo)n至少在X Xo处收敛，对 anX n至少在X o处收敛。由阿贝尔nono定理可以推出：幕级数的条件收敛点只能位于收敛区间端点。收敛域：由于级数在收敛区间的端点上收敛半径R上收敛性待定，故收敛域是XoR,XoR、XoR,XoR、XoR,XoR 或XoR,xoR 四种情况之一。3.在收敛区域内的性质(1)nanXo的和函数f X连续并有任意阶导

7、数;可逐项微分f '(X) (anXn)n on anxn 1可逐项积分xo f(x)dx (n oanxndx)an n 1 X o n 1(4)anxn绝对收敛n o11.利用泰勒公式可将常用初等函数展开成幕级数-泰勒级数展开的充要条件是泰勒公式中余项包括拉氏余项，佩亚假设余项为零。以下是几个常用的麦克劳林展开结论1七(1,1)1)1,1)eunuo n! sin u2n 1 u1)n(2n 1)! cosu2n 11)盂ln(1 u)n(1)n1 n 1nIn 2(1)n1u ( 1,1(1 u)(1)( n 1)unn on!CnUnU ( 1,1)2n 1 tanu n o

8、2n 1 arcta nu(1)nu2n1n o 2n 1u 1,1n nxn 1x21 xx1nln(1n 1 nx)1 1e1 . n e11n 111 n 0 n!n 1 n 1 !n 0n! n 1n 1 !5.幕级数求和方法函数项级数求和方法一般先求收敛域，然后逐次积分或微分，利用上述10各泰勒级数结论进行零部件组装 数项级数求和方法构造辅助幕级数法。付立叶级数1 周期函数展开成付里叶级数? f(x)为在I, I上周期为2I的周期函数，那么f(x)a02(an cosx1lbn sin 午 x),其中anbn1l1llnf (x)cos xdx li f (x)sinxdx?特别地，

9、当lf(x)a02(an cosnxn 1bnsin nx)其中anf (x)cos nxdxbnf (x)sin nxdx?当f (x)是偶函数f (x)a0an cos2n 11f(x)玄n xTanan cosnxn 1an2 0 f (x)cosn_ dxo f (x)cos nxdx?当f (x)是奇函数f(x)bn sin?n 1lbnf (x)bn sin nxn 1bn2 ln xf (x)s indxI 0lo f(x)sinnxdx2 非周期函数展开成付里叶级数方法如果非周期函数f x只是定义在区间0,l或 0,，两种区间可以令t x相互转换,为了利用付里叶级数展开,必须将f x拓展，其方式有两种，即:1偶拓展令F(x)f(x)x)0 : ；，使 F(x)成为丨上的周期偶函数，展开后取0 x l上的函数值即为fx的付里叶展开。2奇拓展令F(x)ffx()x)0 ：；，使 F(x)成为“上的周期奇函数，展开后取Ox l上的函数值即为f x的付里叶展开。3 狄利