新编基础物理学第二版第五章习题解答

1、5-1有一弹簧振子，振幅A 2.010习题五m ,周期T1.0s ,初相.试写出它的振动位4移、速度和加速度方程。解：振动方程为x Acos( tAcos(2 tT代入有关数据得x 0.02 cos(23利)振子的速度和加速度分别是dxvdt0.04sin(24)(ms 1)d2x3 dt20.082cos(23?(m s2)5-2 一弹簧振子的质量为max0.500kg，当以35.0cm的振幅振动时，振子每 0.500st、频率v解：由题意可知T0.500s ；所以频率V1/T2.00Hz ；角频率2 v=4 =12.6(rad s 1)；倔强系数km 20.500 12.6279.4(N

2、m 1)；最大速率VmaxA 0.35 12.6 4.41(m s 1)最大作用力Fmaxmamax mA 20.500 0.35 12.6227.8(N)角频率3、弹簧的倔强系数k、物体运动的最大速率Vmax、和弹簧给物体的最大作用力 F5-3质量为2kg的质点，按方程x 0.2cos(5t )(m)沿着x轴振动求:61t 0时，作用于质点的力的大小；2作用于质点的力的最大值和此时质点的位置解：1跟据牛顿第二定律d2xm2dt20.2cos(5t)(m)6将t 0代入上式中，得:5.0N22由f m x可知，当0.2m时，质点受力最大，为10.0N5-4在某港口海潮引起海洋的水平面以涨落高度

3、d从最高水平到最低水平做简谐运动处下降了 d/4高度需要多少时间？解：从最高水平到最低水平为2倍的振幅，由题可得旋转矢量图,从解图5-4中可见arc cos(d/4)d?2)t - 厂T 尹2528(h)解图5-45-5 一放置在水平桌面上的弹簧振子,2其振幅A 2.0 10 m，周期T 0.5s，当t 0时,那么：1物体在正方向端点；2物体在平衡位置，向负方向运动；3物体在x 1.0 10 m处，向负方向运动；4物体在x 1.0 10 2m处，向负方向运动 求以上各种情况的振动方程。解：设所求振动方程为x2Acos(Tt )0.02cos(4 t )由旋转矢量图解图5-5可求出初相位10,

4、2/2, 3/3, 42 /31x0.02cos 4t(m)2x0.02cos(4t)(m)23x0.02cos(4t -)(m)解图5-5r、24x 0.02cos(4 t )(m)5-6在一轻弹簧下端悬挂 mb 100g砝码时，弹簧伸长 8cm.现在这根弹簧下端悬挂m 250g的物体，构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上的21cm s的初速度令这时t 0.选x轴向下为正，求振动方程.解：弹簧的劲度系数k m° g / I该弹簧与物体 m构成弹簧振子，起振后将做简谐运动，可设其振动方程为x Acos( t )角频率为.k / m代入数据后求得7rad s 1以平

5、衡位置为原点建立坐标，那么1x O.O4m,v00.21m s由 A 、x。2 (v。/ )2 得A 0.05m据 cos 1 得A0.64rad由于v。 0,应取0.64rad，于是，所求方程为x 0.05cos(7t0.64)(m)5-7某质点振动的x-t曲线如题图5-7所示.求:1质点的振动方程；2质点从t 0的位置到达P点相应位置所需的最短时间解：()设所求方程为：x Acos( to)从图中可见，t O,Xo A/2,vo 0由旋转矢量法可知;又丁 t故：x1s, t325650.1cos(t 3)(m)(2) t P点的相位为05tp otp0 tp 0.4s63即质点到达P点相应

6、状态所要的最短时间为0.4s5-8有一弹簧，当下面挂一质量为 m的物体时，伸长量为9.8 10 2m .假设使弹簧上下振动,且规定向下为正方向.1当t 0时，物体在平衡位置上方8.0 10 2m，由静止开始向下运动，求振动方程 .1(2)当t 0时，物体在平衡位置并以0.6m s的速度向上运动，求振动方程.解：设所求振动方程为其中角频率k/ m(1)以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有x00.08m,v00据 A x。2 (v。/)2 得A 0.08m据 cos 1匹得A，由于V0 = 0,不妨取于是，所求方程为x 0.08cos(10)(m)(2)以平衡位置为原点建立坐标，根据题意有X 0,

7、v00.6m s据 A .'Xo2 (Vo/ )2 得A 0.06m据 cos 1竺得一，由于v。 0 ,应取 一，于是，所求方程为A22x20.06cos(10t)(m)5-9 一质点沿x轴做简谐运动，振动方程为x 4 10 2 cos(2 t -)(m)，求：从t 0时3刻起到质点位置在x 2cm处，且向x轴正方向运动时的最短时间.t 2 (t° 0)解图5-9解：依题意有旋转矢量图解图 5-9，从图中可得到故所求时间为t°5-10两个物体做同方向、同频率、同振幅的简谐运动，在振动过程中，每当第一个物体经 过位移为A/ 2的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过

8、此位置，但向远离平衡位置 的方向运动，试利用旋转矢量法求它们的相位差解：由于x10 A/ 2、v10 0可求得/4由于x20A/ 2、v200可求得2如解图5-10所示，相位差/4解图5-105-11 一简谐运动的振动曲线如题图/2110片0.05/J</ 划-5t/-105-11所示，求振动方程题图5-11解：设所求方程为 x Acos( t )当t 0时，为 5cm,v10由A旋转矢量图可得23当t 2s时，从x-t图中可以看出X20,V2据旋转矢量图可以看出32解图5-11所以，2秒内相位的改变量t可求出rad120-1cos( 1!)(m)于是，所求振动方程为，弹簧的劲度系数为k

9、,物体的质量为m，振.求:解：1设物体通过平衡位置时的速度为v，那么由机械能守恒5-12在光滑水平面上有一做简谐运动的弹簧振子幅为A.当物体通过平衡位置时，有一质量为m'的泥团竖直落到物体上并与之粘结在一起1m'和m粘结后，系统的振动周期和振幅2假设当物体到达最大位移处，泥团竖直落到物体上，再求系统振动的周期和振幅kA21mv22 2当m'竖直落在处于平衡位置 m上时为完全非弹性碰撞，且水平方向合外力为零，所以mv (m m')umuvm m'此后，系统的振幅变为 A'，由机械能守恒，有系统振动的周期为kA22(m m')u22m m&#

10、39;k2当m在最大位移处 m'竖直落在m上，碰撞前后系统在水平方向的动量均为零，因而系统的振幅仍为A,周期为5-13设细圆环的质量为 m,半径为R,挂在墙上的钉子上求它微小振动的周期.解：如解图5-13所示，转轴0在环上，设角度以逆时针为正，那么振动方程为dt2mgRsin当环作微小摆动sin时，得因为d2dt2mgRJ得d2 dt2J 2mR2，所以解图5-135-14 轻弹簧在60 N的拉力下伸长30 cm .现把质量为4 kg的物体悬挂在该弹簧的下端并 使之静止，再把物体向下拉10 cm，然后由静止释放并开始计时.(1) 求物体的振动方程；(2) 求物体在平衡位置上方5 cm时

11、弹簧对物体的拉力；(3)物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm处所需要的最短时间.解： 如解图5-14所示，选平衡位置为原点，取向下为x轴正方向。由f kx得fik200N mxk/m . 507.07rad s(1)由题意可知 A 10cm,0所以振动方程x 0.1cos(7.07t)(m)解图5- 14物体在平衡位置上方5 cm时，弹簧对物体的拉力f m(ga)而2ax22.5m s所以f 29.2N(3)因为t 0时刻的初相位0，所以物体从第一次越过平衡位置时，对应的相位为12物体在平衡位置上方 5cm处，此时x 5cm，即5 Acos 2,因为此时物体向上运动，v 0,所

12、以223由327.070.074(s)5-15在一平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0kg的重物.现使平板沿竖直方向做上下简谐运动，周期为，振幅为 2.0 10 2m，求：1平板到最低点时，重物对板的作用力；2假设频率不变，那么平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？3假设振幅不变，那么平板以多大的频率振动时，重物会跳离平板?解：重物与平板一起在竖直方向上做简谐运动，向下为正建立坐标，振动方程为x 0.02cos(4 t )设平板对重物的作用力为N，于是重物在运动中所受合力为mg N ma,而 a2x跟据牛顿第三定律，重物对平板的作用力N'为N' N m(g 2x)1在最低点

13、处：x A,由上式得N'12.96N2频率不变时，设振幅变为A',在最高点处A'重物与平板间作用力最小，设N'0可得A'g/20.062m振幅不变时，设频率变为'，在最高点处A'丨重物与平板间作用力最小，设N'0可得冷/A5-16 一物体沿x轴做简谐运动，振幅为，周期为, 运动，求：'/23.52Hz当t=0时位移为0.03m，且向x轴正方向1时，物体的位移、速度和加速度;2物体从x0.03m处向x轴负方向运动开始，到达平衡位置，至少需要多少时间?解：设该物体的振动方程为x Acos( t )依题意知2 /T (rad s

14、1), A 0.06m由于V00，应取解图5-16可得0.06cos( t3)(m)10.5s时，振动相位为Acos , v Ax 0.052m, v2由A旋转矢量图可知,A矢量转过的角度为sin ,0.094m物体从2A cos2x得a 0.512m0.03m处向x轴负方向运动，到达平衡位置时,，该过程所需时间为60.833s5-17 一单摆的角振幅0=0.010 ，周期T 0.50s，求1最大的摆动角速度；2当角位移是角振幅一半时，角速度的大小解：(1)因1(rad s )，设振动的表达式为0 cos( t )2当ddt(Jmaxdt0时，有cos(所以角速度的大小d dt0 sin( t

15、 )sin(°sin( t0.040 2 (rad s 1)0 J 0.02.3 2(rad s 1)5-18有一水平的弹簧振子，如题图5-18所示，弹簧的劲度系数k 25N m ，物体的质量m 1.0kg,物体静止在平衡位置.设以一水平向左的恒力 F 10N作用在物体上(不计一切 摩擦)，使之由平衡位置向左运动了 0.05m,此时撤除力F,当物体运动到最左边开始计时，求物体 的运动方程.解：设所求方程为x Acos( t )5rad s题图5-18因为不计摩擦，外力做的功全转变成系统的能量，故所以又因为t O，XoA，所以故所求物体的运动方程为x 0.2cos(5t)(m)5-19

16、 一质点在x轴上做简谐运动，如题图 5-19所示，选取该质点向 右运动通过A点时作为计时起点(t = 0 )，经过2s后质点第一次通过AVX题图5-19B点，再经过2s后质点第二次经过 B点，假设该质点在 A、B两点具有相同的速率，且AB = 10 cm，求:(1) 质点的振动方程；(2) 质点在A点处的速率.解：由旋转矢量图解图5-19和 |vA|vB| 可知T 8sHz(1)以AB的中点为坐标原点,2rad s4x轴指向右方.t 0时5cm A cost 2s时x 5cm Acos(2 ) Asin由上面二式解得tg 1因为在A点质点的速度大于零，所以取A x/cos5 2(cm)所以振动

17、方程2cos(-t - )(m)44速率 vd xdt5210t sin( 41)当t = 0时，质点在A点的速率为d xdt2 si n(令)3.93 102/ 1 (m s )5-20 一物体放在水平木板上，这木板以2Hz的频率沿水平直线做简谐运动，物体和水平木板之间的静摩擦系数0.50，求物体在木板上不滑动时的最大振幅Amax.解设物体在水平木板上不滑动竖直万向Nmg0(1)水平方向fxma(2)且fxsN(3)又因为a2Acos( t)(4)由(2)(3)解得amaxsmg/msg再由此式和得Amaxsg/ 2sg/(42 22 2)0.031m5-21 一只摆长为的单摆，试求它在以下

18、情况下单摆的周期 1在室内；2在以a为加速度上升的电梯里.(1)为正。mgl sind2解：设单摆的摆线在平衡位置的右方时，角度 那么对室内的单摆，由转动定律得,有mglJ5 时，sind2 dt2ml2代入上式，得d2 dt2£dt2所以，单摆的周期2在以a为加速度上升的电梯里因为电梯是非惯性系，需要加一个惯性力，由转动定律得(mgma)l sind2 j dt当5时，sin,有d2 dt2(mg ma)lJ0同理，可得单摆的周期T 2zga5-22 一氢原子在分子中的振动可视为简谐运动.氢原子质量 m 1.68 10 27kg，振动频率 1.0 1014Hz，振幅 A 1.0 1

19、0 11m.试计算：(1)此氢原子的最大速度；与此振动相联系的能量解：(1)最大振动速度vm A 2 A 6.28 103m s 1(2) 氢原子的振动能量为E mvm23.31 10 20J25-23 一物体质量为0.25kg，在弹性力作用下做简谐运动，弹簧的劲度系数k 25N m如果物体起始振动时具有势能0.06J和动能0.02J，求：(1) 振幅；(2) 动能恰等于势能时的位移；(3) 经过平衡位置时物体的速度.1 2 解：(1) E Ek EP - kA21/2A 2(Ek EP)/k0.08m(2)因为 E Ek EpIkA22，当Ek Ep时，有2EP E，得2丄kx222即xA/

20、 20.0566(m)(3) 过平衡点时，x 0，此时动能等于总能量1 2E Ek EP mv2v 2(Ek Ep)/m0.8ms1题图5-245-24 一定滑轮的半径为 R,转动惯量为J,其上挂一轻绳，绳的一端系 一质量为m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如题图 5-24所示. 设弹簧的劲度系数为 k，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气 阻力现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体做简谐运动，并求出其角频率.解：如解图5-24所示，取x坐标，平衡位置为原点 0，向下为正，m在平衡位置时弹簧已伸长 x0，那么mg kxo(1)T2 k(x x°)由牛顿第一疋律和转

21、动疋律列方程：mgma(3)T；R T2R Ja R(5)设m在x位置，分析受力，这时弹黄伸长 x x0联立(1)(2)(3)(4)(5)解得解图5-24ka 2x(J / R ) m由于x系数为一负常数，故物体做简谐运动，其角频率为 k kR2(J/R2)m , JmR25-25两个同方向的简谐运动的振动方程分别为1求合振动的振幅和初相位;2假设另有一同方向同频率的简谐运动4 10 2 cos2 (t Z)(m),82x3 5 10 cos(2 t)(m)，贝U 为多少时,% X3的振幅最大？又为多少时，X2 X3的振幅最小?解：1x x1 x2 Acos(2 t )按合成振动公式代入量，可

22、得合振幅及初相为A42 32 24cos( /2/4) 10 2 6.48 10 2(m)a 4sin( /4) 3sin( /2) 4cos( /4) 3cos( /2)所以，合振动方程为x 6.48 10 2 cos(2 t 1.12)(m)当i 2k ，即 2k /4时，Xi X3的振幅最大.当 2(2k 1)，即 2k 3 /2 时，x25-26有两个同方向同频率的简谐运动，其合振动的振幅为 动的相位差为/6，第一个振动的振幅为差。解：采用旋转矢量合成图解图 5-26求解 取第一个振动的初相位为零，那么合振动的相位为据A A1 A2可知A2 A Ai，如图：AA2 A2 2AA1 cos0.1mx3的振幅最小.0.2m，合振动的相位与第一个振0.173m，求第二个振动的振幅及两振动的相位由于A、A、A的量值恰好满足勾股定理， 故A与a2垂直.即第二振动与第一振动的相位差为/ 25- 27 一质点同时参与两个同方向的简谐运动，其振动方程分别为X10.05cos