连续系统建模（课堂PPT）

1、第 1 页 目目 录录u第一节第一节 连续系统模型连续系统模型u第二节第二节 离散等价性原理离散等价性原理u第三节第三节 系统建模的系统建模的Matalb实现实现第 2 页 Overviewu连续系统的模型有哪些？连续系统的模型有哪些？u离散时间系统的模型有哪些？离散时间系统的模型有哪些？u模型转换方法有哪些？模型转换方法有哪些？uMatlab下的编程实践。下的编程实践。第 3 页 第一节第一节 连续系统模型连续系统模型u连续系统定义：连续系统定义： 系统状态变化在时间T上是连续变化的，可以用常微分方程、偏微分方程、差分方程描述的系统模型。 比如过程控制系统、电机调速系统、跟踪系统等。u分类：

2、分类： 连续时间系统模型 离散时间系统模型 采样数据系统模型（连续-离散混合模型）第 4 页 1.1 连续时间系统模型连续时间系统模型u连续时间模型：连续时间模型： 系统的输入、输出和内部变量都是关于时间的连续函数。u常见模型常见模型 常微分方程（组） 传递函数 状态空间 权函数 结构框图/信号流图第 5 页 1、常微分方程u常微分方程的一般形式如下：常微分方程的一般形式如下：ucdtudcdtudcyadtdyadtydadtydannnnnnnnnnn122111011110.u通常根据各专业知识和原理对系统建立常微分方程模型。通常根据各专业知识和原理对系统建立常微分方程模型。u微分方程描

3、述了一个物理系统的动态特征。微分方程描述了一个物理系统的动态特征。u微分方程在描述方式和求解过程中比较复杂。微分方程在描述方式和求解过程中比较复杂。输入函数参数，实系数系统结构参数，实系数系统阶次，其中：iican第 6 页 Laplace变换变换uLaplace变换变换 用相对简单的代数方程取代了复杂的微分方程，表达方式简洁，物理意义明确，求解简单 Laplace变换是一种积分变换，可将线性定常系统微分方程化解为代数方程，并利用代数知识求解。 ds X(s)ejX(s) Lx(t) dtx(t)e Lx(t) X(s)st-st211 Laplace变量s可视为微分算子，1/s视为积分算子。

4、tdtsdtds01第 7 页 2、传递函数u在零状态下对常微分方程两边取在零状态下对常微分方程两边取Laplace变换变换:101010111012110.)()()(nijinnjjjnnnnnnnnsascasaasasacscscsUsYsG 线性系统的传递函数为定义为：输出变量的Laplace变换和输入变量Laplace变换之比。 传递函数是零状态下，输入/输出之间的s域传递关系，是系统的固有特征。 通常情况下G(s)为s域中的代数多项分式，对应于时域中的常微分方程式。第 8 页 3、权函数、权函数u定义理想脉冲函数（冲激函数）定义理想脉冲函数（冲激函数）01)(0, 00,)(dt

5、ttttu系统在零状态下输入脉冲函数信号，其响应为权函数（单系统在零状态下输入脉冲函数信号，其响应为权函数（单位冲激响应）位冲激响应）g(t)x(t)y(t)G(s)X(s)Y(s)G(s)X(s)Y(s) g(t)x(t)y(t)第 9 页 4、状态空间模型、状态空间模型u状态变量状态变量：以时间为参变量，是描述动态系统全部对：以时间为参变量，是描述动态系统全部对象的最少一组线性独立的变量。象的最少一组线性独立的变量。u用用x表示状态变量，表示状态变量，y表示系统输出，表示系统输出，u表示系统输入表示系统输入DuCxyBuAxx 其中：A:nn维矩阵，B：n1维矩阵，C：1n维矩阵，U：单输

6、入信号 状态方程状态方程 输出方程输出方程第 10 页 5、结构框图模型、结构框图模型u定义：系统变量之间信定义：系统变量之间信号传递关系的图形表示号传递关系的图形表示模型。模型。u系统的性能不仅与各个元部件（基本环节）传递函数有关，系统的性能不仅与各个元部件（基本环节）传递函数有关，还与系统的结构形式有关。还与系统的结构形式有关。控制器传函控制器传函有向信号线有向信号线分支点分支点比较点比较点对象传函对象传函反馈环节传函反馈环节传函第 11 页 6、信号流图模型、信号流图模型u信号流图是描述一组线性代数方程的信号网络，能利用信号流图是描述一组线性代数方程的信号网络，能利用Mason（梅逊）公

7、式求解系统的等效传函。（梅逊）公式求解系统的等效传函。u其基本描述单元为其基本描述单元为节点和和支路。节点：信号 支路：增益（传函）第 12 页 一个实例的分析设计一个实例的分析设计ex02_1u电力牵引机车模型分析电力牵引机车模型分析比较点比较点功率放大器功率放大器电枢控制电机电枢控制电机机车负荷机车负荷反向感应电压反向感应电压测速反馈回路测速反馈回路第 13 页 参数模型参数模型75.270025. 12700)()(2ssssd第 14 页 仿真分析仿真分析(Matlab)u 采用采用Matlab语言，以语言，以*.m或直接输入到命令框建立系统模型或直接输入到命令框建立系统模型第 15

8、页 仿真分析仿真分析(Simulink)u采用采用Simulink 以结构框图形式建模。以结构框图形式建模。第 16 页 系统零极点分布系统零极点分布u 系统传函系统传函u M程序：程序： num=5400 den= 2 2.5 5400; pzmapnum,den75.270025. 12700)()(2ssssd第 17 页 仿真结果仿真结果ustep(5400,2 2.5 5400u运行结果如下：运行结果如下：u t=0:0.01:3u y,x,t=step(5400,2 2.5 5400,t);u plot(t,y);u 运行结果如下：运行结果如下：第 18 页 1.2 离散时间模型离

9、散时间模型u系统的输入、输出以及内部变量是时间的离散函数（时间系统的输入、输出以及内部变量是时间的离散函数（时间序列）称系统为离散时间模型。序列）称系统为离散时间模型。u通常离散时间模型是指采样信号系统。通常离散时间模型是指采样信号系统。u描述离散时间对象的模型包括：描述离散时间对象的模型包括： 差分方程 Z函数 权序列 离散状态空间模型第 19 页 时间序列和信号时间序列和信号采样采样u对于连续时间信号，如电信号光信号等，通过采样（脉冲对于连续时间信号，如电信号光信号等，通过采样（脉冲调幅）调幅） 得到了数字信号。得到了数字信号。)(tp)(txa幅值量化时间离散)(nxtT第 20 页 u

10、模模/数转化（数转化（Analog to Digital Conversion ）)( txa第一步采样：在每一个采样点对模拟信号进行采样，且将该采样值保持到下一个采样点。第二步量化：对模拟值进行量化和数字化。每个采样结束后，转换器尽快选择与采样保持电平最接近的量化电平，分配一个二进制数字代码来标识。离散和量化离散和量化第 21 页 原始模拟信号第 22 页 采样保持信号：数字信号仅在采样时刻有值，在采样点之间没有定义。采样保持信号第 23 页 量化和数字化：所允许的数字信号取值的个数由计算机所用比特数限定。采样保持信号模拟信号数字信号量化和数字化第 24 页 数字信号第 25 页 )()()

11、(00mnmnubknyaMmmNkku N阶常系数线性差分方程的阶常系数线性差分方程的一般一般形式为：形式为：1、差分方程、差分方程NkkMmmknyamnubnya100)()()(1，当u特点：特点： 线性连续时间系统对应线性微分方程，线性离散时间系统对应线性差分方程 差分方程易于编程递推实现，但是必须考虑算法初始条件和算法稳定性第 26 页 2、 z函数函数u在零状态（在零状态（y，u为为0）下对差分方程两边取）下对差分方程两边取z变换变换:niiinjjjzazbzUzYzH01)()()(特性与Laplace变换下的传递函数类似。第 27 页 3、权序列、权序列u定义单位脉冲序列为

12、定义单位脉冲序列为u离散时间系统在零状态下单位脉冲序列，其响应为权函数离散时间系统在零状态下单位脉冲序列，其响应为权函数h(n)。)()()(),(0knhkunykunk输出对于任意输入序列)()(zHnhZ可以证明：01)(0, 00,)(0, 00, 1)(dtttttnnn第 28 页 uRC滤波器：滤波器：u用间隔为用间隔为T的脉冲序列采样可得：的脉冲序列采样可得：dtdycRyxtIR)(TnynycRnynxnIR) 1()()()()(举例举例第 29 页 TRCnynxny/11),1(1)()(其中：)(nxZ -1)(ny111z)(nx)(ny举例举例 方框图表示 信号

13、流图第 30 页 4、离散状态空间模型、离散状态空间模型u以上三种方式主要描述了系统的外部特征，称为以上三种方式主要描述了系统的外部特征，称为“外外部模型部模型”。u引进状态变量序列引进状态变量序列x(k),可构成描述系统离散状态空间可构成描述系统离散状态空间模型，称为模型，称为“内部模型内部模型”Gxux)() 1(kykx 根据H(z)可以确定离散状态空间模型，但不唯一。 利用状态空间模型可以唯一确定系统函数H(z)DuCxyBuAxx 1)()(zIGzH第 31 页 1.3 采样数据系统模型采样数据系统模型u对于计算机控制系统，其内部环节状态有的是连续变量，对于计算机控制系统，其内部环

14、节状态有的是连续变量，有的是离散变量。有的是离散变量。u一般来说：控制部分是离散变量，控制对象是连续变量一般来说：控制部分是离散变量，控制对象是连续变量u采样数据系统是一个连续和离散混合的系统。采样数据系统是一个连续和离散混合的系统。第 32 页 1.3 采样数据系统模型采样数据系统模型u假设数字计算机完成的处理关系为假设数字计算机完成的处理关系为1，采样保持器采用零阶，采样保持器采用零阶保持器，将图中的数字计算机和采样保持器合并简化。保持器，将图中的数字计算机和采样保持器合并简化。0)( 1)( 1)()()()(ktkTtkTtkTetukTekTu第 33 页 1.3 采样数据系统模型采

15、样数据系统模型u 可以证明，在可以证明，在Laplace变换下：变换下：)(1)()()()()()(0*sEsesEsGsUekTeteLsEsThkskT第 34 页 1.3 采样数据系统模型采样数据系统模型u从而，计算机采样控制系统可用以下模型计算。从而，计算机采样控制系统可用以下模型计算。第 35 页 第二节第二节 离散等价性原理离散等价性原理u对一个连续系统进行仿真，首先需要将数学模型转换为可对一个连续系统进行仿真，首先需要将数学模型转换为可以用计算机程序实现模型。以用计算机程序实现模型。u本质上是：本质上是：S平面平面(连续连续)到到Z平面平面(离散离散)的映射变换。的映射变换。u

16、方法有二大类方法有二大类 连续系统的离散等价 Z域离散相似模型 时域离散相似模型 数值积分算法（第三章内容）早期计算方法早期计算方法现代主要计算方法现代主要计算方法第 36 页 2.1 Z域离散相似模型域离散相似模型u将连续系统进行离散化处理，将将连续系统进行离散化处理，将G(s)转化为转化为G(z)()()(sGsGZzGhu为了二者等价，必须为了二者等价，必须 采样周期满足Nyquist采样定理 信号重构器有零阶、一阶、三角等形式，对应误差不同。u这种方法在仿真技术早期独立编程时用的比较多。这种方法在仿真技术早期独立编程时用的比较多。第 37 页 2.1 Z域离散相似模型域离散相似模型se

17、sGmTutuTshh1)()()(零阶保持器22)1)(1 ()() 1()()()(TseTssGTTmumTumTutuTshh一阶保持器22)1 ()()() 1()()(TseesGTmTuTmumTutuTsTshh三角保持器非因果系统，无法物理实现。第 38 页 举例举例11sG(s)u比如系统如下：比如系统如下：111)(sseZzGTs零阶保持器：uZ域离散相似模型为域离散相似模型为11)1)(1 ()(22sTseTsZzGTs一阶保持器：11)1 ()(22sTseeZzGTsTs三角保持器：第 39 页 2.2 时域离散相似模型时域离散相似模型u状态空间模型是时域模型，

18、是一个微分方程组。状态空间模型是时域模型，是一个微分方程组。Du(t)Cx(t)y(t)Bu(t)Ax(t)dtdx(t)u比如比如为单位阶跃信号010106810u(t)x(u(t)x(t)(t)x第 40 页 状态空间的解状态空间的解u对状态空间模型方程两边同时取对状态空间模型方程两边同时取s变换，（考虑初始条件变换，（考虑初始条件为为0）DU(s)CX(s)Y(s)BU(s)AX(s)X(0)sX(s)DU(s)CX(s)Y(s)BU(s)x(0)A)(sIX(s)1 即：u对对X(s)和和Y(s)取取Laplace反变换，可求出反变换，可求出x(t),y(t)。第 41 页 零输入解零

19、输入解u状态方程状态方程Atkk2211etAk!1tA21AtIA)(sIL称称eAt为为矩阵指数函数矩阵指数函数 u因此状态方程的解为：因此状态方程的解为：)(t)x()x(ex(t)t00 A (t)为为状态转移矩阵状态转移矩阵。0)(tuCX(s)Y(s)x(0)A)(sIX(s)DU(s)CX(s)Y(s)BU(s)x(0)A)(sIX(s)11 第 42 页 )(tte)(tLe(t)Akk2211AtAk!1tA21AtIA)(sI一般解一般解td)Bu(t)(t)x(x(t)0)(0u当输入不为当输入不为0时，系统响应为：时，系统响应为：u可见系统输出由两部分组成可见系统输出由

20、两部分组成 零输入响应：与输入无关，由初值决定 零状态响应：卷积和。第 43 页 离散化离散化u仿造仿造z域离散化方法域离散化方法u在在mT和和(m+1)T时刻时刻TmmTTmAATTmTmATmAmTmTAAmTdBuex(mT)edBue)x(eT)(mxdBue)x(ex(mT)1()1()1(0)1()1(0)()()(0) 1()(0一步状态转移第 44 页 离散化离散化u在在mT和和(m+1)T之间，假设之间，假设u(t)不变不变(零阶保持零阶保持),则则)() 1()(0)(mTde(mT)eT)(mmTTTAATuBxxuuu在在mT和和(m+1)T之间，假设之间，假设u(t)

21、三角保持三角保持,则则)()() 1()() 1()(0)(0)(mTdemTde(mT)eT)(mTmTTmmTTTATTAATuBuBxxuuuuu以上两式称为连续系统的等价两式状态模型。第 45 页 举例举例u系统如下：系统如下：) 1(1ssG(s)x(t)tyu(t)x(t)(t)xtux 10)(101100),(1：转换为状态空间模型有令第 46 页 离散化离散化u采用零阶保持器进行离散化采用零阶保持器进行离散化TTmTTATeTTdTTeeLeT01)()(101)(BA)(sI11)(1)()(101) 1() 1()()()() 1(2121mTueTTmTxmTxeeTm

22、xTmxmTT(mT)TT)(mTTTmuxxu可得离散化模型：可得离散化模型：第 47 页 当当T=0.05s的数字模型的数字模型)(0012. 0)(9512. 0)(0488. 0) 1()(05. 0)() 1(21211mTumTxmTxTmxmTumTxTmxu Matlab程序如下： num=1; den = 1 1 0; sys1=tf(num,den) A,B,C,D = tf2ss(num,den), sys2=ss(A,B,C,D) sysD=c2d(sys2,0.05,zoh)u 结果如下：a = x1 x2 x1 0.9512 0 x2 0.04877 1b = u1

23、 x1 0.04877 x2 0.001229 c = x1 x2 y1 0 1 d = u1 y1 0 Sampling time: 0.05第 48 页 当当T=0.05s的数字模型的数字模型u 差分方程的解法：clear all;clc;N=120;T=0.05;for i = 1:N u(i)=1; x1(i)=0; x2(i)=0;end for m=1:N-1 x1(m+1)=0.95120*x1(m) +0*x2(m) +0.05*u(m); x2(m+1)=0.04877*x1(m) +1*x2(m) +0.001229*u(m);end t = T*(1:N);subplot

24、(2,1,1);stem(t,x1);subplot(2,1,2);step(1,1 1);012345600.511.5012345600.51Step ResponseTime (sec)Amplitude第 49 页 2.3 欧拉替换法欧拉替换法u若系统一阶微分方程为：若系统一阶微分方程为：)(tudtdx)(*)()()() 1(nxTnxnTunxnx则根据欧拉公式：11)()(, )()() 1( :zzTszXzXzXTzXz变化可得取Tzs1即：u从而从而TzssGzG1)()(第 50 页 欧拉替换法的稳定性欧拉替换法的稳定性u如图，如图，z域的单位圆映射到域的单位圆映射到s

25、域的圆，可见，当域的圆，可见，当T比较小的比较小的时候，时候，s域的圆可以将域的圆可以将S域左边平面的所有极点包含，通过域左边平面的所有极点包含，通过欧拉映射全部到欧拉映射全部到Z平面的单位圆内，系统稳定，反之不稳平面的单位圆内，系统稳定，反之不稳定。定。TzssGzG1)()(TTszjs2:1,22可得由令第 51 页 2.4 双线性替换法双线性替换法u双线性替换法有称双线性替换法有称TUSTIN法，将离散用梯形公式替换欧法，将离散用梯形公式替换欧拉斜率公式拉斜率公式2 ) 1()()() 1(nxnxTnxnx2121112sTsTzzzTsu化简可得化简可得112)()(zzTssGz

26、G第 52 页 双线性法的稳定性双线性法的稳定性u从从s域映射到域映射到z域域可得，根据令2121sTsTzjs1, 0)2()21 ()2()21 (2222zTTTTz当u可见：双线性法将可见：双线性法将s域的整个左半平面映射到域的整个左半平面映射到z域单位圆内，域单位圆内，替换前后，系统的稳定性不变。替换前后，系统的稳定性不变。第 53 页 其他方法其他方法u其他离散建模方法其他离散建模方法 冲激响应不变法 零极点匹配法 .第 54 页 第三节第三节 系统建模的系统建模的Matalb实现实现u系统建模系统建模 传递函数模型 零极点模型 状态空间模型u模型转换模型转换 传递函数零极点模型

27、传递函数状态空间模型 连续系统模型离散系统模型uNotebook演示演示第 55 页 系统建模系统建模u传递函数模型传递函数模型TF Creation of transfer functions or conversion to transfer function. SYS = TF(NUM,DEN) creates a continuous-time transfer function SYS with numerator(s) NUM and denominator(s) DEN. The output SYS is a TF object. SYS = TF(NUM,DEN,TS) cr

28、eates a discrete-time transfer function with sample time TS (set TS=-1 if the sample time is undetermined). See also ltimodels, filt, exp, set, get, lti/tfdata, zpk, ss, frd.Example：sysA=tf(1,0,1 2 1), Transfer function: s/s2 + 2 s + 1第 56 页 系统建模系统建模u零极点模型零极点模型ZPKDATA Quick access to zero-pole-gain

29、data. Z,P,K = ZPKDATA(SYS) returns the zeros, poles, and gain for each I/O channel of the LTI model SYS. The cell arrays Z,P and the matrix K have as many rows as outputs and as many columns as inputs, and their (I,J) entries specify the zeros, poles, and gain of the transfer function from input J t

30、o output I. SYS is first converted to zero-pole-gain format if necessary. Z,P,K,TS = ZPKDATA(SYS) also returns the sample time TS. Other properties of SYS can be accessed with GET or by direct structure-like referencing (e.g., SYS.Ts) See also zpk, get, lti/tfdata, lti/ssdata, ltimodels, ltiprops. 第

31、 57 页 系统建模系统建模u状态空间模型状态空间模型SS Creates state-space model or converts model to state space. SYS = SS(A,B,C,D) creates a SS object SYS representing the continuous-time state-space model dx/dt = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) You can set D=0 to mean the zero matrix of appropriate dimensions. If one

32、or more of the matrices A,B,C,D have uncertainty, SS returns an uncertain state-space (USS) model (Robust Control Toolbox only). SYS = SS(A,B,C,D,Ts) creates a discrete-time state-space model with sample time Ts (set Ts=-1 if the sample time is undetermined).See also ltimodels, ltiprops, dss, delayss, rss, drss, lti/ssdata, tf, zpk, frd.第 58 页 模型转换模型转换u传递函数传递函数状态空间模型状态空间模型 TF2SS Transfer fu