中考数学复习-函数

1、中考总复习十三：函数及其图象一、 知识网络： 二、 考试目标要求：1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.函数(1)通过简单实例，了解常量、变量的意义；(2)能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例；(3)能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析；(4)能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值；(5)能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系；(6)结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测.3.一次函数(1)结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式；(2)会画一次函数的图象，根据一次函数

2、的图象和解析表达式y=kxb(k0)探索并理解其性质(k0或 k0时，图象的变化情况)；(3)理解正比例函数；(4)能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；(5)能用一次函数解决实际问题.4.反比例函数(1)结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式；(2)能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解其性质(k>0或k<0时， 图象的变化)；(3)能用反比例函数解决某些实际问题.5.二次函数(1)通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；(2)会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；(3)会根据

3、公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问 题；(4)会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.三、复习策略复习本专题首先应以平面直角坐标系入手，掌握好点与象限的位置关系，以及对称点，特殊位置点的坐标关系；运用数形结合思想了解函数图象的性质；运用方程(组)的思想、待定系数法求函数解析式；同时要善于构建函数模型解决一类与函数性质有关的应用型问题；能从多方面思考解决一类以函数为基础的中考压轴综合型试题四、 知识考点梳理知识点一：平面直角坐标系、函数的概念1 位置的确定及平面直角坐标系的概念(1)在平面内，确定一个点的位置需要2个数据(2)两条有公共原点并且

4、互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，一般地，分别称这两条轴为横轴(x轴) 或纵轴(y轴)这个平面称为坐标平面(3)坐标平面内的点P的坐标记为P(x，y)，点P与它的坐标(x，y)是一一对应的，即任一点P都有唯一的 坐标(x，y)，任一对有序实数(x，y)都对应坐标平面内的唯一的点，坐标平面内的点P(x，y)的坐 标符号情况如下表：P点的位置第一象限第二象限第三象限第四象限x轴上y轴上坐标符号特征，纵坐标为0横坐标为0(4)对称点的坐标特征：如果点P的坐标为P(a，b)，那么 点P关于x轴的对称点P1的坐标为(a，-b)； 点P关于y轴的对称点P2的坐标为(-a，b)； 点P关于原点的对称点P3的

5、坐标为(-a，-b)2变量与函数的概念(1)了解生活中一个变量随另一个变量变化而变化的情况(2)函数的定义：设在某变化过程中有变量x和y，如果对于变量x在某一范围内的每一个确定的值，y都 有唯一确定的值和它对应，那变量y就叫做变量x的函数(3)函数的表示方法：解析法、列表法、图象法(4)自变量的取值范围的确定方法 求某一函数自变量的取值范围，首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义 当自变量以整式形式出现，自变量取值范围是全体实数； 当自变量以分式形式出现，自变量取值范围是使分母不为零的实数； 当自变量以偶次方根形式出现，自变量取值范围是使被开方数为非负数，当自变量以奇次方根出 现时，自变量

6、取值范围为全体实数； 当自变量出现在零次幂或负整数次幂的底数中，自变量的取值范围是使底数不为零的数 其次，当函数解析式表示具有实际意义或几何意义的函数时，自变量取值范围除应使函数解析式 有意义外，还必须符合实际意义或几何意义(注意：自变量的取值范围有无限的，也有有限的，还有是单独一个(或几个)数的；在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数的自变量取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分)(5)函数的图象 画函数的图象，一般按下列步骤进行：列表、描点、连线画函数图象时要注意自变量的取值范 围，当图象有端点时，要注意端点是否有等号，有等号时画实心点，无等号时画空心点知识点二：一次函数及其

7、图象a) 一次函数和正比例函数的定义一般地，如果(k、b都是常数，)，那么y是x的一次函数，如，等都是一次函数。特别地，当一次函数中的时，y=kx(k为常数，)，这时，y是x的正比例函数，如，等都是正比例函数。要点诠释：(1)函数是一次函数；函数是正比例函数；(2)正比例函数是一次函数的特例，一次函数是正比例函数的推广，一次函数包括正比例函数。b) 正比例函数图象及性质：解析式y=kx(k为常数，且k0)自变量取值范围全体实数图象形状过原点和(1，k)点的一条直线k的取值k>0k<0位置经过一、三象限经过二、四象限趋势(从左向右)上升下降函数变化规律y随x的增大而增大y随x的增大而

8、减小c) 一次函数图象及性质：解析式y=kx+b(k为常数，且k0)自变量取值范围全体实数图象形状过(0，b)和点的一条直线k、b的取值k>0k<0b>0b<0b>0b<0位置经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过一、二、四象限经过二、三、四象限趋势(从左向右)上升下降函数变化规律y随x的增大而增大y随x的增大而减小要点诠释：(1)k决定直线y=kx+b从左向右是什么趋势(倾斜程度)，b决定它与y轴交点在哪个半轴，k、b合起来决 定直线y=kx+b经过哪几个象限；注意看图识性，见数想形.(2)两条直线：y=k1x+b1和：y=k2x+b2的位置关系可由

9、其系数确定： 相交 平行； 重合.d) 一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx的图象之间的位置关系：当b>0时，直线y=kx+b由直线y=kx向上平移b个单位长度；当b<0时，直线y=kx+b由直线y=kx向下平移|b|个单位长度.e) 用待定系数法求一次函数的解析式：(1)常见的直接条件： 对于正比例函数，根据除原点外的一点(x0，y0)确定 对于一次函数，根据两点(x1，y1)和(x2，y2)，解方程组确定k、b(2)间接条件：围成图形的面积；平行关系等.6.用函数观点看方程(组)和不等式(1)会用函数的观点来再次认识一元一次方程、二元一次方程(组)和一元一次不等式，能

10、用辨证的观点 看待一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式之间的联系. 一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标一元一次方程kx+b=0的解 一次函数y=k1x+b与y=k2x+b两个图象的交点的解. 使一次函数y=kx+b的函数值y>0(或y<0)的自变量的取值范围一元一次不等式kx+b>0(或 kx+b<0)的解集.(2)能直观地用函数的图象来反映方程(组)的解和不等式的解集，能用一次函数的性质来解决简单的方 程(组)问题、不等式问题和实际问题.7.一次函数的应用(1)一次函数在数学中的应用： 会求某个一次函数的图象和两个坐标轴围成的三角形的面积：

11、 会求两个一次函数的图象和坐标轴围成的三角形面积或四边形面积：关键是求某两条直线的交点 的坐标(即多边形顶点的坐标).(2)掌握一次函数在实际中的应用：如分段函数问题、简单线性规划问题等.知识点三：反比例函数1. 反比例函数的概念定义：一般地，函数(k是常数，k0)叫做反比例函数，其中自变量x的取值范围是x0.要点诠释：反比例函数三种形式：反比例函数(k是常数，k0)可以写成y=k·x-1 (k是常数，k0)， 自变量x的指数是-1；也可写成xy=k (k是常数，k0).注意k0的条件，否则不是反比例函数.反比例函数中，两个变量成反比例关系：由xy=k，因为k为常数，k0，两个变量的

12、积是定值，所以y与x成反比变化，而正比例函数y=kx(k0)是正比例关系：由=k (k0)，因为k为不等于零的常数，两个变量的商是定值.2. 反比例函数的图象和性质反比例函数(k0)的图象是双曲线，其图象和性质如下表反比例函数(k0)k的符号k>0k<0图象性质x的取值范围是x0，y的取值范围是y0.当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、第三象限.在每个象限内，y随x的增大而减小.x的取值范围是x0，y的取值范围是y0.当k<0时，函数图象的两个分以分别在第二、第四象限.在每个象限内，y随x的增大而增大.3. 与正比例函数y=kx(k0)比较：反比例函数y=kx-1

13、 (k0)的图象是双曲线，与坐标轴没有交点.正比例函数y=kx (k0)的图象是直线，经过原点.函数正比例函数反比例函数解析式y=kx(k0)(k0)图象直线，经过原点双曲线，与坐标轴没有交点自变量取值范围全体实数x0的一切实数图象的位置当k>0时，在一、三象限；当k<0时，在二、四象限.当k>0时，在一、三象限；当k<0时，在二、四象限.性质当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小.当k>0时，y随x的增大而减小；当k<0时，y随x的增大而增大.4. 反比例函数(k0)的图象的画法及应注意的问题画图方法：描点法.由于双曲线

14、的图象有关于原点对称的性质，所以只要描出它在一个象限内的分支，再对称地画出另一分支.一定要注意：k>0，双曲线两分支分别在第一、三象限.k<0，双曲线两分支分别在第二、四象限.特点：=kx-1(k0)中，x0，y0，则有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交.但无限靠近x轴、y轴.画图时图象要体现这种性质，千万注意不要将两个分支连起来.5. 反比例函数解析式的确定在反比例函数(k0)定义中，只有一个常数，所以求反比例函数的解析式只需确定一个待定系数k，反比例函数即可确定.所以只要将图象上一点的坐标代入中即可求出k值.知识点四：二次函数1. 二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a0

15、，a，b，c为常数)的函数称为二次函数(quadratic funcion).其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.2. 二次函数的图象及画法二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象是对称轴平行于y轴(或是y轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同.(1)用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.(2)用平移法画图象由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故

16、可将抛物线y=ax2的图象平移得到a值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h，k).3. 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与性质二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是，对称轴是直线函数二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)图象a>0a<0性质(1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸，顶点是它的最低点.(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右下降，在对称

17、轴的右侧，抛物线自左向右上升.(1)当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸，顶点是它的最高点.(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右上升；在对称轴右侧，抛物线自左向右下降.4.抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用a，b，c的代数式作用字母的符号图象的特征a1. 决定抛物线的开口方向；2. 决定增减性a>0开口向上a<0开口向下c决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)c>0交点在x轴上方c=0抛物线过原点c<0交点在x轴下方决定对称轴的位置，对称轴是直线ab>0对称轴在y轴左侧ab<0对称轴在y轴右侧b2-4ac决定抛物线与x轴公

18、共点的个数b2-4ac>0抛物线与x轴有两个交点b2-4ac=0顶点在x轴上b2-4ac<0抛物线与x轴无公共点4. 二次函数解析式的确定一般来说，二次函数的解析式常见有以下几种形式.(1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a0)(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a0)要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，需要已知三个独立条件.当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后列出三元一次方程组求解.当已知抛物线的顶点坐标和抛物

19、线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式y=a(x-h)2+k求解.(3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0)，其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标.5. 二次函数与一元二次方程的关系(1)函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的图

20、象的解方程有两个不等实数解方程有两个相等实数解方程没有实数解要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(2)函数与直线的公共点情况方程的根的情况.函数与直线的公共点情况方程的根的情况.五、 规律方法指导1.关于点的坐标的求法：方法有两种，一种是直接利用定义，结合几何直观图形，先求出有关垂线段的长，再根据该点的位置，明确其纵、横坐标的符号，并注意线段与坐标的转化，线段转换为坐标看象限加符号，坐标转换为线段加绝对值；另一种是根据该点纵、横坐标满足的条件确定，例如直线y=2x和y=-x-3的交点坐标，只需解方程组就可以了.2.对解析式中常数的认识：一次函数y=kx+b (k0)、二次函数

21、y=ax2+bx+c(a0)及其它形式、反比例函数(k0)，不同常数对图象位置的影响各不相同，它们所起的作用，一般是按其正、零、负三种情况来考虑的，一定要建立起图象位置和常数的对应关系.3.对于二次函数解析式，除了掌握一般式：y=ax2+bx+c(a0)之外，还应掌握“顶点式”y=a(x-h)2+k及“两根式”y=a(x-x1)(x-x2)，(其中x1，x2即为图象与x轴两个交点的横坐标).当已知图象过任意三点时，可设“一般式”求解；当已知顶点坐标，又过另一点，可设“顶点式”求解；已知抛物线与x轴交点坐标时，可设“两根式”求解.总之，在确定二次函数解析式时，要认真审题，分析条件，恰当选择方法，

22、以便运算简便.4.二次函数y=ax2与y=a(x-h)2+k的关系：图象开口方向相同，大小、形状相同，只是位置不同.y=a(x-h)2+k图象可通过y=ax2平行移动得到.当h>0时，向右平行移动|h|个单位；h<0向左平行移动|h|个单位；k>0向上移动|k|个单位；k<0向下移动|k|个单位；也可以看顶点的坐标的移动，顶点从(0，0)移到(h，k)，由此容易确定平移的方向和单位.经典例题精析考点一：平面直角坐标内的点的坐标特征1 如果点M(a+b，ab)在第二象限，那么点N(a，b)在第_象限.答案：三.解析：由M在第二象限，可知a+b<0，ab>0可确

23、定a<0，b<0，从而确定点N在第三象限.总结升华：本题主要考查各象限内点的坐标特征，即点P(x，y)在第一象限x>0，y>0； 点P(x，y)在第二象限x<0，y>0；点P(x，y)在第三象限x<0，y<0；点P(x，y)在第四象限x>0，y<0.举一反三：【变式1】点P在第二象限，若该点到x轴的距离为，到y轴的距离为1，则点P的坐标是( )A(-1，) B(-，1) C(，-1) D(1，)答案：A.解析：点P(x，y)到x轴的距离是y，到y轴的距离是x，且P在第二象限知x<0，y>0，可确定点P的坐标.【变式2】如图

24、，“士” 如果所在位置的坐标为(-1，-2)，“相”所在位置的坐标为(2，-2)，那么，“炮”所在位置的坐标为_.答案：(-3，1).解析：因为“士”的坐标为(-1，-2)，“相”的坐标为(2，-2)，因而“士”“相”上方两格的横线为x轴，“帅”所在的纵线为y轴，因此“炮”所在的位置的坐标为(-3，1).2 在平面直角坐标系中，点P(-1，1)关于x轴的对称点在( ).A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：C.解析：点P(-1，1)关于x轴对称点的横坐标不变，纵坐标相反，P(-1，1)关于x 轴的对称点坐标为(-1，-1)在第三象限.总结升华：关于x轴对称点的横坐标相等，

25、纵坐标互为相反数；关于y 轴对称点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称点的横、纵坐标都互为相反数.举一反三：【变式1】已知点A(m，-2)，点B(3，m-1)，且直线ABx轴，则m值为_.答案：-1.解析：根据平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相同，可得m-1=-2，可得m=-1.总结升华：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同.【变式2】(1)在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A(-2，1)，B(-3，-1)，C(1，-1).若四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是_.(2)将点A(3，1)绕原点O顺时针旋转90°到点B，则

26、点B的坐标是_.思路点拨：利用数形结合的方法，直观求解.解析：(1)如图，由B(-3，-1)，C(1，-1)，纵坐标相同，四边形ABCD为平行四边形，ADBCx轴，所以点D的纵坐标与点A纵坐标相同；有AD=BC=4，可求点D横坐标为2；所以D(2，1).(2)如图，易知点B坐标为(1，-3).考点二：函数概念3 在下列两个变量的关系中，哪些是函数关系，为什么？(1)一个正方形的面积S随着边长a的变化而变化.(2)圆的周长C随着半径r的变化而变化.(3)(4)思路点拨：根据函数的定义，我们只须检验是否有对某一变量的每一个值都有唯一的另一个变量的值与这个变量对应.如果存在这种关系，那么这两个变量之

27、间就是函数关系.解：(1)根据正方形的面积公式，由题意是自变量，且，容易看出对于每一个边长值， 只会有一个面积值S与之对应，所以S是边长的函数.(2)圆的周长公式 对于两个不同的周长值，不妨设 这说明，对每一个值，只能有一个周长值C与之对应 所以C是的函数.(3)由关系式，当时，有两个的值与之对应，即()， 所以由函数的定义，不是的函数. 反过来，对每一个值，比如(简单起见)取，则变为. 同样有两个值与之对应，所以也不是的函数.(4)首先要注意到是被开方式，所以的取值范围必须使， 对于每一个取值范围的值，显然只能有一个与之对应，因为当时， 它只可能有一个算术平方根.从而可知是的函数. 但反过来

28、，不是的函数， 因为并不是对每一个(使解析式有意义)都只有唯一的与之对应. 比如当时，这时都满足要求，即有两个与之对应， 再如当时，这时，都与对应. 所以并不是的函数.总结升华：函数的定义其关键是对于某一变量的每一个值(当然是在取值范围内)，有唯一的另一个变量的值与其对应，如果不满足唯一性，那么这两个变量之间不构成函数关系.4试判断以下各组函数中，是否表示同一函数?(1)，；(2)，；(3)，；(4)，.解：(1)由于，而.故它们的值域对应法则都不相同，所以它们不是同 一函数.(2)由于函数的定义域为，而的定义域为R. 故它们不是同一函数.(3)由于当时，2n±1为奇数，它们的定义

29、域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.(4)由于函数的定义域为xx0，而的定义域为 xx-1或x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.总结升华：对于两个函数y=f(x)和y=g(x)当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f(x)和y=g(x)表示同一函数.也就是说，对两个函数来讲，只要函数的三要素当中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数.若两个函数表示同一函数时，则它们的图象完全相同；反之亦然.这些结论都可以作为我们判定两个函数是否表示同一函数的依据.举一反三：【变式1】判断y=x与y=是否是同一函数.解：y=|x|当x0时y=x，当x<0时，y=-x

30、. y=x与y=不是同一函数.总结升华：虽然这两个函数的自变量取值范围都是全体实数，但当x<0时，两个函数的对应关系不同(如当x=-2时，y=x=-2， 而y=2)， 所以它们不是同一个函数.5函数y=中自变量x的取值范围是( )A.x-1 B.x>0 C.x>-1且x0 D.x-1且x0答案：D.解析：要使y=有意义，既要使分式有意义，又使偶次根式有意义，即x0且x+10，得x-1且x0.总结升华：考查自变量取值范围是历年中考热点，本题中既要使根式有意义又要使分式有意义，需两者都考虑.举一反三：【变式1】下列函数中，x是自变量，y是函数值，求x的取值范围.(1) (2) (

31、3) (4)思路点拨：要求x的取值范围，只需要使得式子有意义即可.解：(1)要使函数有意义，所以的取值范围是；(2)x取任何值，函数都有意义，所以x的取值范围是任何实数；(3)要使函数有意义，所以x的取值范围是；(4)要函数有意义，0，所以x的取值范围是的任何实数.【变式2】已知y=的定义域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：确定a的取值范围，使之对任意实数x都有ax2+4ax+30.解：当a=0时，ax2+4ax+3=30对任意xR都成立；当a0时，要使二次三项式ax2+4ax+3对任意实数x恒不为零，必须满足：其判别式，于是，0a.综上，.6已知f(x)= (xR且x-1)，g(x)=x2

32、+2(xR).(1)求f(2)、g(2)的值.(2)求fg(2)的值.(3)求fg(x)的解析式.解：(1)f(2)=，g(2)=22+2=6.(2)fg(2)=f(6)=.(3)fg(x)=f(x2+2)=.总结升华：在解本题时，要理解对应法则“f”和“g”的含义，在求fg(x)时，一般遵循先里后外的原则.考点三：函数图象的识别7如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AEDP，垂足为E，设DP=，AE=，则能反映与之间函数关系的大致图象是( ) (A) (B) (C) (D)解析：这是一个动点问题.很容易由ADEDPC得到，从而得出表达式；也可连结

33、PA，由得到表达式，排除(A)、(B).因为点P在BC边上运动，当点P与点C重合时，DP与边DC重合，此时DP最短，；当点P与点B重合时，DP与对角线BD重合，此时DP最长，即的临界值是3和5.又因为当取和时，线段AE的长可具体求出，因此的取值范围是.正确答案选(C).总结升华：解决动点问题的常用策略是“以静制动，动静结合”.找准特殊点，是求出临界值的关键.动态问题也是中考试题中的常见题型，要引起重视.举一反三：【变式1】小明根据邻居家的故事写了一道小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还.”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，

34、那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是( )答案：C.总结升华：本例主要考查识图能力，对于函数图象信息题，要充分挖掘图象所含信息，通过读图、想图、析图找出解题的突破口.另外，函数图象信息通常是以其他学科为背景，因此熟悉相关学科的有关知识对解题很有帮助.【变式2】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车.车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快骑车速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s(m)关于时间t(min)的函数图象，那么符合这个同学行驶情况的图象大致是( ).答案：C.解析：A表示小明一直在停下来修车，而没继续向前走，B表示没有停下来修车，相反速度骑的

35、比原来更慢，D表示修车时又向回走了一段路才修好后又加快速度去学校.选项C符合题意.总结升华：会看图象中横纵坐标表示的实际意义是解题的关键，此题主要考查函数知识及数形结合的数学思想.考点四：函数图象及性质1、 一次函数图象性质8已知：(1)m为何值时，它是一次函数.(2)当它是一次函数时，画出草图，指出它的图象经过哪几个象限？y是随x的增大而增大还是减小？(3)当图象不过原点时，求出该图象与坐标轴交点间的距离，及图象与两轴所围成的三角形面积.解：(1)依题意：，解得m=1或m=4. 当m=1或m=4时，它是一次函数.(2)当m=4时，函数为y=2x，是正比例函数，图象过一，三象限， y随x的增大

36、而增大. 当m=1时，函数为y=-x-3，直线过二，三，四象限，y随x的增大而减小.(3)直线y=-x-3不过原点，它与x轴交点为A(-3，0)， 与y轴交点为B(0，-3)，. . 直线y=-x-3与两轴交点间的距离为，与两轴围成的三角形面积为.总结升华：(1)某函数是一次函数应满足的条件是：一次项(或自变量)的指数为1，系数不为0.而某函数若是正比 例函数，则还需添加一个条件：常数项为0.(2)判断函数的增减性，关键是确定直线y=kx+b中k、b的符号.(3)直线y=kx+b与两轴的交点坐标可运用x轴、y轴上的点的特征来求，当直线y=kx+b上的点在x轴上时. 令y=0，则，则交点为，当直

37、线y=kx+b上的点在y轴上时，令x=0，则y=b，即交点 为(0，b).9已知一次函数y=kx+2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于A、B两点，O为原点，若AOB的面积为2，求此一次函数的表达式.思路点拨：因为直线过第一、三象限，所以可知k>0，又因为b=2，所以直线与y轴交于(0，2)，即可知OB=2，而AOB的面积为2，由此可推算出OA=2，而直线过第二象限，所以A点坐标为(-2，0)，由A、B两点坐标可求出此一次函数的表达式.解：B是直线y=kx+2与y轴交点，B(0，2)，OB=210小明用的练习本可以在甲商店买，也可以在乙店买，已知两店的标价都是每本1元，但甲店的优

38、惠条件是：购买10本以上从第11本开始按标价的70%卖，乙店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%卖.(1)小明买练习本若干本(多于10)，设购买x本，在甲店买付款数为y1元，在乙店买付款数为y2元，请 分别写出在两家店购练习本的付款数与练习本数之间的函数关系式；(2)小明买20本到哪个商店购买更合算？(3)小明现有24元钱，最多可买多少本？思路点拨：本题是一次函数在实际生活中的应用，其关键是弄清每本练习本的实际价格，所购练习本的数量与y1、y2的关系，从而列出函数关系式进而可以轻松地解决(2)(3)问.解： ， ，； ； .2、反比例函数图象及性质11(甘肃陇南)你吃过兰州拉面吗？实际上

39、在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度()是面条粗细(横截面积)()的反比例函数，假设其图象如图所示，则与的函数关系式为_.解析：观察图象，经过点()，容易求出函数表达式是，但由于自变量表示面条粗细，结合实际意义，的取值范围应该是.因此，本题的正确答案是.总结升华：此题若忽略条件，函数的图象应该是经过第一、三象限的双曲线.像这样，函数解析式相同，但由于自变量的取值范围不同而图象不同的例子还有很多，如函数的图象是第一、三象限的角平分线所在的直线；而函数的图象只是第一象限的角平分线，是一条射线；函数的图象是位于第一象限的一条线段.12若，三点都在函数的图象上，则的大

40、小关系是( )A. B. C. D.解析：主要考查反比例函数的图象和性质.解答时，应先画出的图象，如图，然后把，三点在图中表示出来，依据数轴的特性，易知，故应选A.总结升华：数形结合的思想方法在解题中能起到化繁为简、化难为易的作用.这是因为“形”能直观启迪“数”的计算，“数”能准确澄清“形”的模糊.13如图所示，已知反比例函数的图像经过点，过点A作ABx轴于点B，且AOB的面积为 (1)求k和m的值；(2)若一次函数的图像经过点A，并且与x轴相交于点C，求ACO的度数和的值.思路点拨：（1）由A点横坐标可知线段OB的长，再由AOB的面积易得出AB的长，即m的值，此时可知点A的坐标由点A在反比例

41、函数上可求得k的值（2）由直线过点A易求出a值进而可知点C的坐标，在RtABC中易求的值，可知ACO的度数由勾股定理可求得OA、AC的长解析：（1） ， 又过点，则， （2） 直线过 ， ， 当时， ， 又， AOC=30°在RtABO中，在RtABC中，AC=2AB=4， 3、二次函数的图象及性质14已知二次函数：(1)把它配成的形式；(2)写出函数图象的开口方向，顶点坐标及对称轴；(3)x取何值时y有最大值还是最小值？(4)求出函数图象与两条坐标轴的交点坐标；(5)画出此函数图象；(6)根据函数图象回答：当x取何值时y随x增大而增大？y随x增大而减小？y>0?y<0?

42、思路点拨：此题考查二次函数的基本性质，是解决其它函数知识的基础。要熟练掌握配方法及函数图象的画法。解析：(1) (2)抛物线的开口向下，顶点(3，18)，对称轴x=3(3) 当x=3时，ymax=18(4)x=0时，y=12 y=0时， 抛物线与y轴交点(0，12)，与x轴交点(5)列表：x-30369y-6121812-6 图象如图：(6)对称轴x=3，且开口向下 当x3时，y随x的增大而增大； 当x3时，y随x的增大而减小； .15老师出示了小黑板上的题后(如图)，小华说：抛物线过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：.你认为三人的说法中，正确的有( )A.0个 B.1个 C.2个

43、 D.3个思路点拨：这是一道判断型说理题，它要求考生着眼于已有的题设条件和结论，分析判断附加的条件是否正确.解析：依据小华所说，可得解得，其对称轴为，符合题意.依据小彬所说，可得解之得 ，也符合题意.依据小明所说，可得， ，也符合题意.综上所述，三人的说法中，正确的有3个.总结升华：本题主要考查抛物线解析式的确定.除上面正向思考外，还可以采取逆向思考-执果索因，从而易推断四人说法的正确性，同学们不妨一试.16已知：二次函数为，（1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时，顶点在x轴上方，（3）若抛物线与y轴交于A，过A作ABx轴交抛物线于另一点B，当时，求此二次函数的解析式

44、思路点拨：（1）用配方法可以达到目的；（2）顶点在x轴的上方，即顶点的纵坐标为正；（3）ABx轴，A、B两点的纵坐标是相等的，从而可求出m的值解析：（1） 由已知中，二次项系数， 开口向上， 又 对称轴是直线，顶点坐标为（2） 顶点在x轴上方， 顶点的纵坐标大于0，即， 时，顶点在x轴上方（3）令，则， 即抛物线与轴交点的坐标是 ABx轴 B点的纵坐标为m 当时，解得 ， 在RtBAO中，AB=1，OA=| m | 故所求二次函数的解析式为或总结升华：正确理解并掌握二次函数中常数a、b、c的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键考点五：函数与方程、不等式17小亮用作图象的方法解二元一次方程

45、组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象，如图所示，他解的这个方程组是( )A. B. C. D.解析：首先，从图象上可看出两个一次函数都是随着x的增大而减小，故可排除A，C；其次，正比例函数图象必经过原点，而，均不过原点，故可排除B；再次，对照D，结合图象，不难发现它们数形一致.由此可选D.总结升华：根据正比例函数图象与一次函数图象的特点，用排除法选择符合条件的选项，最重要的是选择过程中，要领会“数形结合”的思想方法.18(1)已知抛物线，当k_时，抛物线与轴相交于两点. (2)已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则a=_.思路点拨：(1)抛物线与x轴相交于两点，相当于方程有两

46、个不相等的实数根，即根的判别式0.(2)二次函数的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程的两个实数根相等，即=0.解析：(1)抛物线与x轴相交于两点， 方程有两个不相等的实数根， 即根的判别式(2)二次函数的图象的最低点在x轴上， 抛物线开口向上，；方程有两个相等实数根， 即根的判别式，解得.总结升华：二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手.举一反三：【变式1】已知二次函数，试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；思路点拨：要说明不论m取任何实数，二次函数的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程有两个不相等的实数

47、根，即0.解：=，由，得，所以0，即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点.19某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？思路点拨：该题是选择最佳方案的问题，这是中考命题的一种方向，也是热门问题.该题可根据题意分别列出月初和月末出售获利的两个函数解析式月初为y1=15%x+10%(x+15%x)=0.265·x，月末为y2=30%x-700=0.3x-700，对两个函数进行比较，即可得

48、知最佳投资方式.解题过程如下：解析：解法1：设商场投资x元，在月初出售，到月末可获利y1元；在月末出售，可获利y2元； 根据题意，得y1=15%x+10%(x+15%x)=0.265x, y2=30%x-700=0.3x-700 (1)当y1=y2时, 0.265x=0.3x-700, x=20000; (2)当y1<y2时, 0.265x<0.3x-700, x>20000; (3)当y1>y2时, 0.265x>03x-700, x<20000解法2：建立函数解析式的过程同解法1 y1-y2=0.265x-(0.3x-700)=0.035(x-20000

49、) (1)当x<20000时, y1>y2； (2)当x=20000时, y1=y2； (3)当x>20000时, y1<y2答：当商场投资为20000元时，两种销售方式获利相同；当商场投资超过20000元时，第二种销售方式获利较多；当商场投资不足20000元时，第一种销售方式获利较多考点六：函数的综合应用20(海门市)某校八年级(1)班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元.经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其他费用780元，其中，纯净水的销售价(元/桶)与年购买

50、总量y(桶)之间满足如图所示关系.(1)求y与x的函数关系式；(2)若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶 装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？(3)当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算？从计算结果看，你有何感想(不超过 30字)？解析：(1)设y=kx+b，x=4时，y=400；x=5时，y=320， y与x的函数关系式为y=-80x+720.(2)该班学生买饮料每年总费用为50×120=6000(元)， 当y=380时，380=-80x+720，得x=4.25. 该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780=2395(元)， 显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少.(3)设该班每年购买纯净水的费用为W元， 则W