第13课时导数的概念与运算

1、精品文档导数的概念与运算一知识点梳理1 .导数的概念：(1)已知函数y=f(x),如果自变量x在X0处有增量/x,那么函数y相应地有增量/y=f(x0+/x)-f(x0),比值电就叫做函数y=f(x)在x0到x0+x之间的平均变化x率；(2)当x一0时，包有极限，就说函数y=f(x)在X0处可导，并把这个极限叫做f(x)x在X0处的导数(或变化率)，记作f/(xo)=lim"=limf(x0+&x)-f(x0)=limf(x)一f(%)；(3)如果函数y=f(x)xox>叩xx>xox-x0在开区间(a,b)内每一点都可导，就说y=f(x)在开区间(a,b)内可导

2、，由这些导数值构成的函数叫做y=f(x)在区间(a,b)内的导函数，记作f/(x)=y/=yrf(x：x)-f(x)lim=lim。.0:：x-x-0x(3)求极限lim丝。*0 .xy=f(x)在点(xo, y0)2 .求导数的方法：(1)求函数的增量/y;(2)求平均变化率F;3 .导数的几何意义：函数y=f(x)在X0处的导数的几何意义，就是曲线处的切线的斜率，即斜率为f/(x°)。过点P的切线方程为：y-yo=f/(x°)(x-xo).4 .几种常见函数的导数：C'=0(C为常数)；(xn)'=nxn,(nwQ);(sinx)'=cosx;(

3、cosx)'=sinx;11xxxx(lnx)'=一;(logax)'=logae；(e)'=e;(a)'=aIna。xx5 .导数的四则运算法则：''u(x)±v(x)=u(x)±v(x)；u(x)v(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)；uuv-uvCu(x)=Cu(x)；=2(v#0)，vv6 .复合函数的导数：设函数u=*(x)在点x处有导数u'x=*'(x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数yu=fz(u),则复合函数y=f(*(x)在点x处也有导数，且丫=丫&

4、quot;口或fx(甲(x)=f(u)甲(x).二基础演练(A) 16x3 4x21.函数y=(2x2+1)2的导数是()(B)4x38x(C)16x38x(D)16x34x2.已知函数f(x)在x=1处的导数为3,则f(x)的解析式可()(A)f(x)=(x-1)2-3(x-1)(C)f(x)=2(x-1)2(B) f(x) =2(x 1)(D) f (x) = x -13.曲线y=4x-x2上两点A(4,0),B(2,4),若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB,则点P的坐标为()4.若函数f(x) =x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f'(x)的图象是()4”)=(A)

5、(1,3)(B)(3,3)(C)(6,-12)(D)(2,4)精品文档1c1°6.曲线y=2x2与y=1x3-2在交点处的切线的夹角是24三典例剖析例1.(1)设函数f(x)=(3x2+x+1)(2x+3),求f'(x),f);(2)设函数f(x)=x3-2x2+x+5,若f'(x)=0,求x的值.(3)设函数f(x)=(2x-a)n,求fr(x).求函数的导数:1 -xy = (1+x2)cosx ； y=(x+1Xx+2Xx + 3);(3)y = asin3 x +b )；(4) y = ln1C例3.物体在地球上作自由洛体运动时，下洛距离S=/gt其中t为经历

6、的时间，g=9.8m/s2,若V=鸡包一)岂”=9.8m/s,则下列说法正确的是()(A)01s时间段内的速率为9.8m/s(B)在11+zts时间段内的速率为9.8m/s(C)在1s末的速率为9.8m/s(D)若/Xt。，则9.8m/s是11+zts时段的速率；若At<0,则9.8m/s是1+ts1时段的速率.例4.(1)曲线C:y=ax3+bx2+cx+d在(0,1)点处的切线为l：y=x+1在(3,4)点处的切线为l2：y=-2x+10,求曲线C的方程；(2)求曲线S:y=2x-x3的过点A(1,1)的切线方程.一_1一一例5.设函数f(x)=1，x>0(1)证明：当0<

7、;a<b且f(a)=f(b)时，ab>1;x(2)点P(x0,y0)(0vx0<1)在曲线y=f(x)上，求曲线上在点P处的切线与x轴,y轴正向所围成的三角形面积的表达式.(用x。表示)例6.求函数y=x4+x-2图象上的点到直线y=x-4的距离的最小值及相应点的坐标.四.课后作业：1 .一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s=3t33t2+2t,那么速度为零的时刻是A.0秒B.1秒末C.2秒末D.1秒末和2秒末2 .y=x2cos<的导数是A.y=2xcos<+x2sinxB.y=2xcoscx2sinxC.y=2xcosxD.y=x2sinx3 .

8、函数y=f(x)的图象在点x=5处的切线方程是y=x+8,则f(5)+f'(萼于_A.1B.2C.01D.24.设曲线y = xX1 X2Xn等于n+ 1(n N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为Xn则A.1 nbWn+1D.15 .f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x),g(x)满足f'(x)g'(x)则下列结论成立的是A.f(x)=g(x)B.f(x)=g(x)=0C.f(x)g(x)为常数函数D.f(x)+g(x)为常数函数6 .若点P是曲线y=x2lnx上任意一点，则点P到直线y=x2的最小距离为2A.1B.2C.-2-D.337

9、 .设点P是曲线y=xx23x3上的一个动点，则以P为切点的切线中，斜3率取得最小值时的切线方程是,一.，九一.九一一一8 .已知函数f(x)=f4)cos<+sinx,则f()的值为.9 .已知f1(x)=sinx+cosc,记f2(x)=f1x),f3(x)=f2x),fn(x)=fn1x)(nCN*,n>2),则f1(2)+f2(2)+f2009(2)=.三、解答题10 .求下列函数的导数：15432-3x(1)y=5x3x+3x+&(2)y=(3x4x)(2x+1);(3)y=2531x十x1o11.已知曲线y=gx1与y=1+x在x=xo处的切线互相垂直，求xo的

10、值.导数的概念与运算答案二基础演练1.CABA5.已知曲线y=f(x)在x=2处的切线的倾斜角为次，则f'(2)=1,4一11cf(-2)'=0.6.曲线y=2-x2与y=x3-2在父点处的切线的夹角是一.244例1.解：(1)f(x)=6x3+11x2+5x+3,.f：x)=18x2+22x+532一.2(2).f(x)=x-2x+x+5,f(x)=3x4x+1由f(xj=0得：3xo2-4x+1=0,解得：x0=1或x0=1(3)f(x)=i.m(2x-a2x)n-(2x-a)n:蚂出-a)n12+C；4Ax(2x-a尸+|I+C；12n(Ax)n=2n(2x-a)n-1

11、- x例 2 (1)y=2;(1 x )cos x(2)y=(x+1Xx + 2)(x + 3);(4) y = In一.3.(3)y=asin(cox+b)；._(1-x)(1x2)cosx-(1-x)(1x2)cosx用牛(工¥2、22(1x)cosx_-(1x2)cosx-(1-x)(1x2)cosx(1x2)(cosx)=2A2-22(1x)cosx“22、.r-(1x)cosx-(1-x)2xcosx-(1x)sinx_iA2T22(1x)cosx(x2-2xT)cosx(1-x)(1x2)slnx=/2、22，(1x)cosxy=(x2+3x+2Xx+3)=x3+6x2+

12、11x+6.y'=3x2+12x+11；3.(3)令丫=2口,u=sinv,v=x+b,y'=au3'=3au2u'=3au2slnv'=3au2cosvv2=3asin(®x+b)cos(8x+b)；1 八八(4)y=-lne2x_ln(e2x+1),，1一1,2x、，1,2x,nrl1：e2x,2e2x211-y=-.|7(e)2x,(e+1)|=-,-225T=2xj2ee+1_2ee+1_e+11c例3.物体在地球上作自由洛体运动时，下洛距离S=gt其中t为经历的时间，g=9.8m/s2,若V=|imp任一包1=9.8m/s,则下列说法

13、正确的是(C)(C)在1s末的速率为9.8m/s小结：本例旨在强化对导数意义的理解，limS(1)中的t可正可负.twt例3.(1)曲线C:y=ax3+bx2+cx+d在(0,1)点处的切线为11:y=x+1在(3,4)点处的切线为l2:y=-2x+10,求曲线C的方程；(2)求曲线S:y=2x-x3的过点A(1,1)的切线方程.解：(1)已知两点均在曲线C上.f/(0)= c f/(3) -27a 6b cd=1,2y=3ax+2bx+c、27a+9b+3c+d=4C=111Q9(d=1,c=1,a=，b=1.曲线C:y=x+x+x+127a6bc=-233设切点为P(X0,2xo-Xo3)

14、,则斜率k=f'(x°)=2-3x。2,过切点的切线方程为：y-2xo+xo=(2-3xo)(x-x°)，二,过点A(1,1),.1-2x°+x0=(2-3xO)(1-x0)1斛得：*0=1或%=-2,当x0=1时，切点为(1,1),切线方程为：x+y-2=0-117.、一.当x0=-一时，切点为(-,),切线方程为：5x-4y-1=0228一、一一，1.一一例4.设函数f(x)=1-一，xa0(1)证明：当0<a<b且f(a)=f(b)时，ab>1;x(2)点P(x0,y0)(0<X0<1)在曲线y=f(x)上，求曲线上在点

15、P处的切线与x轴,y轴正向所围成的三角形面积的表达式.(用X。表示)-11.一、一1212解：1)f(a)=f(b),|1_同1_1|,两边平方得：1+4一4=1+£一422abaabb11、/1、c/11、即：(-)(-+-)=2(-),ababab-.11110<a<b,._。0,.一+=2,a+b=2abn2ab=a+b>2Tab,aba1abab一一-_111(2)当0<x<1时，f(x)=1=1,(X0)=1(0<x0<1)XXx0曲线y=f(x)在点P处的切线方程为：yy0=4(xx0),xo即：y=22+2：也.切线与与x轴，y

16、轴正向的交点为(2x。x02,0),(0,=0)x0x0x0;所求三角形的面积为A(x°)=(2x°-x。2)2=1(2-x。)22x02例5.求函数y=x4+x-2图象上的点到直线y=x-4的距离的最小值及相应点yx4x2的坐标.解：首先由xx2得x4+2=0知，两曲线无交点.y4x3+1,y=x-4要与已知直线平行，须4x3+1=1,x=0故切点：(0,2).d=i2=4=<2.课后作业1 .一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s=：t33t2+2t,那么速度为零解析：.$= 3t32f+23的时刻是A.0秒B.1秒末C.2秒末D.1秒末和2秒末v=s

17、t1=t2-3t+2,令v=0得，t23t+2=0,ti=1或t2=2.答案：D2 .y=x2cosc的导数是解析：y'=2xcoscx2sinx.答案：B3 .(2010福州*II拟)函数y=f(x)的图象在点x=5处的切线方程是y=x+8,则f(5)+f'(5)，一1等于A.1B.2C.0D-2解析：因f(5)=5+8=3,f'(阱1,故的)+1(阱2.答案：B4 .设曲线y=xn+1nCN)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为Xn则X1X2Xn等于A.1 nB.六n+ 1D.1解析：y'=(n+1)xn,曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n

18、+1)(x-1),令y=0,得Xn=n+1皿12贝UXix2xn="§23n14一=.答案：Bn+1n+15.f(x)与g(x)是定义在的是A.f(x)=g(x) B.R上的两个可导函数，若f(x),g(x)满足f'(x)g'(x)则下列结论成立f(x)=g(x)=0C.f(x)g(x)为常数函数D.f(x)+g(x)为常数函数解析：由fX)=gx),得fX)gx)=0,即f(x)g(x)=0,所以f(x)g(x)=C(C为常数).6.若点P是曲线y=x2lnx上任意一点，则点P到直线y=x2的最小距离为A.1B.2D.3解析：过点作丫=x2的平行直线，且与曲线2y=x-lnx相切.设P(Xo,x0lnx。)则有k=yx|=xo=2xo.2沏一X01-1=151X0=1或X0=一,(舍去),X02|11-2|P(1,1),d=V2.答案：B1+137.设点P是曲线y=X"x23x3上的一个动点，则以P为切点的切线中，斜率取得最小3值时的切线方程是解析：设切线的斜率为k,则k=f'x)=x22x3=(x1)24.当x=1时，k有最小值4.又f(1)=三,所以切线方程为y+20=-4(x-1),即12x+3y+8=0.一、.，,一一一,兀一8.(2009湖北局考)已知函数f