高等数学大学数学——微分

1、上页下页铃结束返回首页3.5 微微 分分一、微分的定义一、微分的定义 二、微分的几何意义二、微分的几何意义 三、微分法则三、微分法则 四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用 上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、微分的定义一、微分的定义 设有一个边长为x的正方形，其面积为S，显然Sx2。 数学意义：数学意义：当Dx0时，(Dx)2o(Dx)；2xDx是Dx的线性函数，当Dx很小时， DS的近似值为2xDx，其误差为o(Dx)。 2xDx叫作S的微分，记作dS2xDx。DxDx x x yx2如果边长改变Dx，则面积的改变量为DS(xDx)2(x)22xDx(Dx)2。2

2、xDx(Dx)2下页上页下页铃结束返回首页微分的定义：微分的定义： 定义定义3.3 对于自变量在点x处的改变量Dx，如果函数yf(x)的相应改变量Dy可以表示为 DyADxo(Dx)，其中A与Dx无关，则称函数yf(x)在点x处可微。并称ADx为函数yf(x)在点x处的微分，记作 dy或df(x)，即 dydf(x)ADx。说明：说明： 微分是自变量的改变量Dx的线性函数，通常称为函数改变量Dy的线性主部。DydyDyADxo(Dx)，1)(limlim00DDDDDDxAxoxAdyyxxydyDyADxo(Dx)，1)(limlim00DDDDDDxAxoxAdyyxx。 下页上页下页铃结

3、束返回首页函数可微的条件：函数可微的条件： 函数f(x)在点x可微的充分必要条件是函数f(x)在点x可导，且当函数f(x)在点x 可微时， dyf (x)Dx。 反之，若f(x)在点x可导，则其中a0(当Dx0)。若f(x)在点x可微， 这是因为：则有DyADxo(Dx)， 0limDxxyDDxxoxAxDDDD)(lim00limDx0limDxxyDDxxoxAxDDDD)(lim00limDx0limDxxyDDxxoxAxDDDD)(lim00limDx(AxxoDD )()A。 xxoDD )()A。 0limDxxyDDf (x)，f (x)，xyDDf (x)a ，Dyf (x

4、)DxaDx， f (x)a ，Dyf (x)DxaDx， 若DyADxo(Dx)，则dydf(x)ADx称为函数的微分。下页上页下页铃结束返回首页自变量的微分：自变量的微分： dxdyf (x)。 说明：说明： 函数的微分dy与自变量的微分dx之商是函数的导数： 函数f(x)可微函数f(x)可导，且 dyf (x)Dx。 若DyADxo(Dx)，则dydf(x)ADx称为函数的微分。因此，导数也叫做“微商”。 因此函数yf(x)的微分又可记作 dyf (x)dx。 如果 yx，则 dyxDxDx，也就是dxDx。下页上页下页铃结束返回首页微分的计算公式：微分的计算公式： dyf (x)dx。

5、 例例1求函数yx 2当x由1改变到1.01时的微分。 解：解：函数的微分为 例例2求函数yln x的微分。当x1，dx0.01时 dy (x2)dx 2x dx， dy 210.010.02。解：dy(ln x)dxx1dx。 首页解：dy(ln x)dx 解：解：上页下页铃结束返回首页二、微分的几何意义二、微分的几何意义 当|Dx|很小时，|Dydy|比|Dx|小得多。因此在点M的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。 当Dy是曲线yf(x)上的点M处纵坐标的改变量时，dy就是曲线在M点的切线上点M处纵坐标的相应改变量。DxDyMNx0 x0 +DxTaxyOyf(x)dyDy首页dy上

6、页下页铃结束返回首页三、微分法则三、微分法则 d(log ax)d(ln x) d(arcsin x)基本初等函数的微分公式：基本初等函数的微分公式：d(xm) m x m1dx，d(sin x) cos xdx，d(tg x)sec2xdx，d(ctg x)csc2xdx，d(sec x) sec x tg xdx，d(cos x)sin xdx，d(csc x) csc x ctg xdx，d(a x) a xln adx，d(e x) exdx，(log ax)axln1dx， (ln x)x1dx， d(arcsin x)211xdx， d(arctg x) d(arcctg x) d

7、(arccos x) (arccos x) 211xdx， (arctg x) 211xdx， (arcctg x) 211xdx。 下页上页下页铃结束返回首页函数的和差积商的微分法则函数的和差积商的微分法则： 这是因为：下页 d(uv)dudv， d(uv)vduudv，所以 d(uv)vduudv。又 udxdu，vdxdv， d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdx，上页下页铃结束返回首页复合函数的微分法则：复合函数的微分法则： 设yf(u)及uj(x)都可导，则复合函数yfj(x)的微分为 dyf (u)du或dyyudu。 这是因为 dyyxdxf (u)j(x)dx。又j(x)d

8、xdu，所以， dyf (u)du或dyyudu。下页函数的和差积商的微分法则函数的和差积商的微分法则： d(uv)dudv， d(uv)vduudv，d(Cu)Cdu， 2)(vudvvduvud(v 0)。 上页下页铃结束返回首页微分形式的不变性：微分形式的不变性： 由复合函数的微分法则可见，无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式dy f (u)du保持不变。这一性质称为微分形式不变性。下页复合函数的微分法则：复合函数的微分法则： 设yf(u)及uj(x)都可导，则复合函数yfj(x)的微分为 dyf (u)du或dyyudu。函数的和差积商的微分法则函数的和差积商的微分法则：

9、d(uv)dudv， d(uv)vduudv，d(Cu)Cdu， 2)(vudvvduvud(v 0)。 上页下页铃结束返回首页 解法一：解法一：利用dyydx得 dxedybxax)(2 dxbxaxebxax)(22 解法二：解法二：解把 axbx2 看成中间变量u，由微分形式的不变性得 duededyuu )(22bxaxdebxax dxebxabxax2)2(。 dxebxabxax2)2(。 )2(2bxdxadxebxax 复合函数的微分法则：复合函数的微分法则：dyf (u)du或dyyudu。下页 例 1 设2bxaxey，求 dy。 例例3上页下页铃结束返回首页 例例4ys

10、in(2x1)，求dy。 解：解：设u2x1，则 211xe2xed(x 2) 2212xxexedx。 dyd(sin u)cos(2x1)d(2x1)2cos(2x1)dx。 cos (2x1)2dx复合函数的微分法则：复合函数的微分法则：dyf (u)du或dyyudu。2xe) 211xed(12xe) d(x 2) 221xxee2xdx cos udu首页例 3 yln(12xe)，求 dy。 例例5解 dydln(12xe) 解解:上页下页铃结束返回首页四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用 如果函数yf(x)在点x处可微，则 Dy dyf (x)Dx，或 f(xD

11、x)f(x)也就是 f(xDx)因此，当|Dx|很小且f (x)0时， DyADxo(Dx)dyo(Dx)f (x)Dxo(Dx)。f (x)Dx， f(x)f (x)Dx。下页上页下页铃结束返回首页近似公式：近似公式： Dyf(xDx)f(x)dyf (x)Dx， f(xDx)f(x)f (x)Dx。 解：解：半径为r的球体体积为 球壳体积为DV，用dV作为其近似值 所求球壳体积为|DV|的近似值|dV|为19.63立方厘米。 Vf(r)3 34r。 下页例 1 一个外径为 10 厘米的球，球壳厚度为161厘米。 试求球壳体积的近似值。 例例6 dV f (r)drdV f (r)dr)161(54 422drr)161(54 422drr)161(54 422drr 19.63。 上页下页铃结束返回首页 f(xDx) f(x)f (x)Dx 令x1，Dx0.02，便有近似公式：近似公式： Dyf(xDx)f(x)dyf (x)Dx