四边形证明题及综合题

1、实用标准四边形证明题及综合题1、已知：如图，在正方形 ABCDK 点E、F分别在边 BC和CD上，/ BAE =/ DAF(1)求证：BE = DF;(2)联结AC交EF于点Q延长O、点M 使OM= OA联结EM FM第1题图 期求证：四边形AEMF1菱形.F在文档(1)(2)求证：四边形第G是平行四边形; 联结"，若AG平分ZFAD, 求证：四边形ASG是矩形.7 0=60°,AD/ BC文档点P。(1)求证：AF=BE(2)请猜测/ BPF的度数，并证明你的结论。4、如图，在矩形 AB0珅，BMAC, DNLAC M N是垂足.(1)求证：ANhClM(2)如果AN=M

2、N2,求矩形 AB0D勺面积.(图5)5.如图.在平行四边形JSCD中,0为对角线的交点,E为线段EC延长线上的一点，且CE 二-BC2.过点£作EF / CA ,交CD于点F ,联结OF.(i)求证：OF a SC -(2)如果梯形08回是等腰梯形，判断四边形加的形状,并给出证明6、如图，在正方形 ABCDK点E F分别是边AB AD的中点，DE与CF相交于G, DE CB的延长线相交于点H,点M是CG勺中点.求证：（1） BM/GH2 2) BML CF.7 .已知：如图， AEI BF, AC平分/ BAD交BF于点C, BD平分/ ABC交AE于点D联结CD求证：四边形 AB

3、CD1菱形.8 .如图，在正方形中，点E、产 分别是边/1、M的中点，DE与CF相 交于G ,DE、CA的延长线相交于点H, 点M是CG的中点.求证：（i）BM / GH （2） BM -LCFF 在边 BC上，BE=CF, EF=AD(第12藕图11.(第11题圜) 已知：如图，在梯形ABC珅，AD/ BC BC=2AD, ACL AR10.如图，在 DABC前，E、F分别为边 ABCD勺中点，BD是对 角线，过A点作AG DB交CB的延长线于点 G.(1)求证：DEJI BE(2)若/ G= 90°,求证：四边形 DEBF1菱形.点E是AC的中点，DE的延长线与边 BCf交于点F

4、.求证：四边形AFCD1菱形.12.(本题共2小题，每小题6分，满分12分)已知：如图，在梯形 ABC珅，AD/ BC点E、F在边BC上，DE/ AB AF / CD 且四边形AEF*平行四边形.(1)试判断线段 AD与BC的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；(2)现有三个论断： AD = AB;/ B +/C=90 ° ;/ B = 2/C.请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证 明四边形AEF为菱形.13.已知：如图，矩形纸片 ABCD勺边AD=3, CD=2,点P是边CD上的一个动点(不与点 C 重合，把这张矩形纸片折叠，使点 B落在点P的位置上，折痕交边AD与点M

5、折痕交边BC 于点N .(1)写出图中的全等三角形.设CP=Jt, AM=y,写出了与工的函数关系式；(2)试判断/ BM浣否可能等于90° .如果可能，请求出此时CP的长；如果不可能，请说 明理由.14、已知边长为1的正方形ABCDK P是对角线AC上的一个动点(与点 A、C不重合)， 过点P作PEXPB , PE交射线 DC于点E,过点E作EF±AC 垂足为点 F.(1)当点E落在线段CD上时(如图10),求证：PB=PE 在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值， 若变化，试说明理由；(2)当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符

6、合要求的大致图形，并判断 上述(1)中的结论是否仍然成立(只需写出结论，不需要证明)；(3)在点P的运动过程中，/PECt归否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由.f图15、如图，直线了二求点P的坐标.(2)请判断 0期的形状并说明理由.(3)动点E从原点0出发，以每秒1个单位的速度沿着 OtPtH 的路线向点d匀速运 动(£不与我0 d重合)，过点E分别作掰Lr轴于产，期Lx轴于月.设运 动t秒时，矩形 EBOF与QE4重叠部分的面积为S.求S与t之间的函数关系式.A E D第3题图1）（第3题备用国）16 .已知：如图，梯形&CD中，加用，=90,

7、ZC= 45'期二初"4 £ 是直线AD上一点，联结 期，过点£作EF1BE交直线CD于点F联结 期.（1）若点£是线段 加上一点（与点A D不重合），（如图i所示）求证：RK=EF.设啊的面积为y,求/关于工的函数解析式，并写出此函数的定义域.（2）直线M上是否存在一点£,使麻是一£面积的3倍，若存在，直接写出DE 的长，若不存在，请说明理由.17 .已知：O为正方形 ABCD寸角线的交点，点 E在边CB的延长线上，联结 EQ 0乩OE交 BA延长线于点F,联结EF （如图4）。（1）求证：EGFQ（2） 若正方形的边长为

8、2, OE=2OA求BE的长;(3)E当OE=2OA时，将 FOE绕点O逆时针旋转到F1OE,使得/ boe=3时，试猜想并证明 AO逊什么三角形。D C (图4)实用标准（备用图）18.（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题3分）如图，在正方形 ABCDL 点E、F分别在BC AD的延长线上，且 EA!CF垂足为 H,AE与CD相交于点G（1）求证：AGCF;（2）当点G为CD的中点时（如图 1）,求证：FC=FE;（3）如果正方形 ABCD勺边长为2,当EF=ECM （如图2）,求DG的长.答案1.证明：（1）二.正方形 ABCD AB=AD / B =Z D=

9、90° （2 分）. / BAE= / DAF .ABE ADF （1 分）BE = DF （2 分）（2） .正方形 ABCD -'/ BAC =/ DAC （1 分）BAE=Z DAF / EAO=Z FAO （1 分）. AB凄 ADF AE = AF （1 分） .EO=FQ AOL EF （2 分）OM= OA四边形AEMF1平行四边形（1分）. AQL EF 四边形AEMF1菱形（1分）2. （ 1）证明：联结EG梯形小CO中，皿配且E G分别是即、O的中点,邮只的八EG/ BC,且2, （2 分）EGBF. （1 分）四边形，SG是平行四边形.（2分）（2）证明

10、：设AF与EG交于点Q EG/ AD / DAG/AGE . YG平分 ZFAD, / DAG/ GAO / GAO/AGE AO=GQ （2 分） 四边形廊；是平行四边形，AF=EG四边形是矩形（2分）3.证明：（1）二.梯形 ABCD1等腰才!形，AD/ BC/ BAE= ADF （1 分） AD： DCAE=DF （1 分）. BA=AD.BAE AADF （1 分）BE=AF （1 分） 猜想/ BPF=120 . （1 分）.由（1）知 BA降 ADF 1 / ABE： DAF . （1 分） / BPFN ABE它 BAPN BAE （1 分）而 AD/ BC /C4 ABC=0

11、,=120 . ./ BPFN BAE =120° . （1 分）4、证：（1） .四边形ABCD1矩形， . AD/ BC AD=BC / DACZ BCA又 DNL AC BML AG / DNAZ BMC / DAN22BCM（3分） AN=CM （1 分）（2）联结B改AC于点O. AN= NM=2, . AC= BD =6,又四边形 ABCO矩形， . AO=D(=3,(2(1分)分）在OD即，OB3, O附1, Z OND900, . DN= 5' 加一 ？,（第3题图I）5.解：（1）方法1:延长郎交M 于G （如图1） . 1分在平行四边形ASCD中,AD S

12、C, AD=BC EF / CA, EG/ CA,四边形ac&G是平行四边形.j4(J=CE 1分CE=BC 5 n 八又. 2 ，如£1 ,AGCE = -BC=-ADGD 22AD/SC, ZADC=ZECF.在 IaCEF 和 tDGF 中，ZCFE=ZDFG, ZADC=Z£CF CE二DOACEF-ZWGF(a.a.s). CE=DF. 1分四边形那CD是平行四边形，OB=OD.OF / HE. 1 分2：将线段BC的中点记为G ,联结0G （如图2） . 1分四边形曲是平行四边形，OH=OD.OG a CD.i 分."OGC国为.理 a NOC

13、G 二流C.GC=-BC CE = -BC2,2,GC-CE.在 AOGC 和 LaFCE 中，ZOCff = Zf®C, GC=CE, AOGC=ZFCE,：.£aOGC £FCE（a.s.a）. i 分OG FC.又 OG n CF,四边形OGCF是平行四边形 i分OF n GC. i 分 其他方法，请参照上述标准酌情评分 .如果梯形如即是等腰梯形，那么四边形&C0是矩形. i分OF a CE,即/ CO ,四边形 OCEF 是平行四边形.即二 0Ci 分又梯形。班W是等腰梯形，. HO = £FQB 0C.（备注：使用方法 2的同学也可能由

14、 /1OGCCE找到解题方法；使用方法 i的同学 也可能由四边形 HC&G是平行四边形找到解题方法） .四边形血是平行四边形，4C=2OC,初=2B0.文档0C6.证明:，平行四边形JSCD是矩形.（1） .在正方形 ABC珅，AD/ BCA=/HBE / AD巨/ H,（1 分）. AE=BE .AD降 BHE1分）7、证明:BH=AD=BC CMGMBM/ GH（2） .在正方形 ABC珅，AB=AD=CD /A=/ADC90o ,又 DE £ AD AE=2AR . . AE=DF. . . AE四 DFC1分）1分）（1分）1分）, Z ADEZ GDC90o , .

15、 / DCF+Z GDC90o . . / DGC90o .（1 分）. BM GH / BMG/DGC90。,即 BML CF（1分） AC平分 / BAD / BACg CAD又 ,AE/ bf,，/bcay cad / BACH BCAAB=BC同理可证AB=ADAD=BC又 AD/ BC,四边形ABCD1平行四边形.-1又AB=BC DABC麋菱形.18 .证明：（1）,正方形JBCD二 ZERff = 90° AD=SC1文档E是弱的中点AB=BEaAEDBEH1M是a?的中点BMH GH（2）证 AAEDaCDR.OCSCDE 好ZADE=ZDCF1'BMICF实

16、用标准9 .证法一：二.在梯形 ABC丽，AD/ BC 又EF=AD.四边形AEF况平行四边形.（1分）AD/ DF, / AEF=Z DFC （1 分）AB=CD / B=ZC. （1 分）又. BE=CF, . ABEADCI3 （1 分）AE号/ DFC （1 分） / AEB/AEF （1 分）. Z AEBZ AEF=180o ,，AEF=90o . （1 分） 四边形AEFM矩形.（1分）证法二：联结AF、DE （1分） 在梯形 ABCW, AD/ BC 又EF=AD 四边形AEFM平行四边形.（1分）AB=CD / B=ZC. （1 分）BE=CF BEfEF=CF+EF,即 B

17、F=CE （ 1 分）. .ABg DCE （1 分） .AF=DE （2 分），四边形AEFD矩形.（1分）10、证明：（1） DABCD, . AB/ CD AB= CD-1分. E、F分别为 AB CD的中点,DF= 2dC BE= 2aBDF/BE,DFBE1分四边形DEBF%;平行四边形DEBE1 分（2）证明：.AG/ BDG= / DBC= 90。，. AdB必直角三角形-1 分1又F为边 CD的中点. .BF= 2DC= DF1分又四边形DEB叨平行四边形，四边形DEBF1菱形1分11.证明：.在梯形 ABCDfr, AD/ BC / DAE/FAE / ADE：/CFE （1

18、 分）又 AE=EQ .AD生 CFE （1 分） . AD=FC, （1 分） 四边形AFCD1平行四边形.（1分）1 BG2ADFC=AD=2 BC （1 分）1. ACL AB AF=2 BC （1 分） . AF=FC, （1 分），四边形AFCD!菱形.（1分）12. （ 1）解：线段AD与BC的长度之间的数量为：UC = W . （ 1分）证明：: AD/ BC DE/ AB,二. 四边形 ABED1平行四边形.AD= BE. （2 分）同理可证，四边形 AFCD1平行四边形.即得AD= FC（1分）又 四边形AEFD1平行四边形，AD= EF. （1分）AD= BE= EF =

19、FCBC=3AD （1 分）（2）解：选择论断作为条件. （1分）证明：DE/ AB /B = Z DEC （1 分）/B +/C = 90 ,ZDEC+ZC = 90 .即得 / EDC= 90 ° . （2 分）又 EF = FCDF= EF. （1 分）四边形AEFM平行四边形， 四边形AEFM菱形.（1分）13. （1）/MB隆/MPN 1,.2 MBN2 / MPNMB=MP, 矩形 ABCD . AD=CD （矩形的对边相等） ，/A=/ D=90° （矩形四个内角都是直角 ）1 AD=3, CD=2, CP=x, AM=yDP=2-x, MD=3-y 1RtA

20、BM,MB?= 同理加二匐9产伊=0-»+（2处1+4 0 . ）+（3 1?-4x+9-T/6 1（3）ZJiMP=90° 1当/时，可证AABM三admpAM=CP AB=DM2=3-yj=ll=2-rlx=l当 CM=1 时,14. （1）证：过P作MNLAB,交AB于点M交CDT点N.正方形 ABCDPM=AM MN=AB2分）从而MB=PNAPMB3PNE 从而 PB=PE（2分） 解：PF的长度不会发生变化, 设O为AC中点，联结PO.正方形 ABCDBOX AG（1分）从而/ PBO/EPF（1分）=正APOIBAPEF 从而 PF=BO 2（2分）（2）图略

21、，上述（1）中的结论仍然成立； （3）当点E落在线段CD上时，/ PEC钝角，从而要使PEC等腰三角形，只能 EP=EC1分）（1分）（1分）这时，PF=FC FC=AC=2，点P与点A重合，与已知不符。1分）当点E落在线段DC的延长线上时，/ PC蕾钝角, 从而要使PEC等腰三角形，只能 CP=CE-设 AP=x 则 21c-工2（1分）又 Cff=72Cf解得 x=1.综上，AP=1时，/PEC等腰三角形（1分）x=215.解:（1）解得:.点P的坐标为（2,2出）1'，点A的坐标为（4, 0）8= J片中间=4-二J（2二守+（2出二一二4OA=OP=PA注明是等边三角形（3）当

22、 0vfw4 时,28 1当 4v8 时，116.s =¥2+4版访(1.证明：在即上截取4G=* ,联结EG GE=EG.又2 90° , / A+ / AG曰 /AEG= 180° ./AGE= 45° .，/ BGE= 135° .AD n BC.C+ / D= 180° .又. / C= 45° .D= 135° . ./BGE= /D 1分. AR-AD , AG=AE.BG=DE. 1 分 好，选. / BE曰 90° .又/A+ /AB曰 /AEB= 180° ,/AE跳 / BE

23、4 / DEM 180 , ZA= 90° . ./ABE= / DEF 1 分 .BG除AEDF3 1 分比一郎.(1)1 一权+32y=y关于I的函数解析式为：2 1分此函数的定义域为：0<x<4 1分(2)存在 1分I当点£在线段初上时，以二一2±2后(负值舍去). 1分n当点上在线段M延长线上时,DE=2±2芯(负值舍去). 1分出当点Jf在线段 以延长线上时，。片=10±2行. 1分17、 DU的长为 2君-2、2后+2或 1。±25(1)证明：. ABC比正方形，对角线交于点AO=BOO,ACBD分文档/ OABW OBA,.1. / OAF4 OBE-. AC±