微分方程应用举例

1、8-5微分方程应用举例在前面几节，已经举了一些力学、运动学方面应用微分方程的实例，本节将再集中学 习几个在其他方面的应用实例，说明微分方程在许多实际领域中都有着广泛的应用.应用微分方程解决实际问题通常按下列步骤进行：(1)建立模型：分析实际问题，建立微分方程，确定初始条件；(2)求解方程：求出所列微分方程的通解，并根据初始条件确定出符合实际情况的特解；(3)解释问题：从微分方程的解，解释、分析实际问题，预计变化趋势.例1 有一个303012(m3)的车间，空气中CO2的容积浓度为0.12%.为降低CO2的含量，用一台风量为 1500( m3/min)的进风鼓风机通入 CO2浓度为0.04%的新

2、鲜空气，假定通 入的新鲜空气与车间内原有空气能很快混合均匀，用另一台风量为1500( m3/ min)的排风鼓风机排出，问两台鼓风机同时开动10min后，车间中CO2的容积浓度为多少？解车间体积为10800m3.设鼓风机开动t (min)后，车间空气中 CO2的含量为x=x(t),那么容积浓度为 x10800记在t到t+dt这段时间内，车间 CO2含量的改变量为 dx,则 dx =该时间段内CO 2通入量-该时间段内CO2排出量=单位时间进风量进风CO2的浓度时间-单位时间排风量排风CO 2浓度 时间=15000.04% dt-1500xdt,10800于是有 dx_=1500 0.04% -

3、1500 x dt10800即 dx = A (4.32- x)dt 36初始条件 x(0)=108000.12%=12.96 .方程为可分离变量的方程，其通解为_5 t x(t)=4.32+Ce 36 .将初始条件代入上式，得 C=8.64 .于是在t时刻车间内空气中 CO2的含量为5-t x(t)=4.32(1+2 e 36 ) .所以鼓风机打开10min后，车间中CO2浓度为x(10) = 6.47 =0.06%.1080010800例2(马尔萨斯人口方程)英国人口学家马尔萨斯在1798年提出了人口指数增长模型：人口的增长率与当时的人口总数成正比.若已知t=t0时人口总数为xo,试根据马

4、尔萨斯模型，确定时间t与人口总数x(t)之间的函数关系.据我国有关人口统计的资料数据，1990年我国人口总数为11.6亿，在以后的8年中，年人口平均增长率为 14.8 %。，假定年增长率一直 保持不变，试用马尔萨斯方程预测2005年我国的人口总数.解 记t时的人口总数为 x=x(t),则人口的增长率为也，据人口指数增长模型为dtdl=rx(t),( r为比例系数，即马尔萨斯增长指数)(1)dt并附初始条件：x( t0)= x .方程是可分离变量方程，易得它的通解为x=Cert.将初始条件x(t0)=代入，得C=x0e0 .于是时间t与人口总数x(t)之间的函数关系为 x( t)=x0er(t工

5、).将t=2005, t0= 1990, x0=11.6, r=0.0148代入，可预测出 2005年我国的人口总数为0.01482005-1990)x|t=2005=1 1.6e球14.5(亿).例3有一由电阻、电感串接而成的电路，如图8-6所示，其中电源电动势 E=E0Sint,( E0, 0 为常量)，电阻R和电感L为常量，在t=0时合上开关S,其时电流为零，求此电路中电流i与时间t的函数关系.解 由电学知识，电感 L上的感应电动势为 Ld_,根据回路电压定律，有dtE = Ri+L d_,dt即di +,上加以，dt L L初始条件为i(0)=0 .3ti(t)=Ce L + R2方程

6、是一阶非齐次线性微分方程，它的通解为E0(Rsinot-oLcosot). .2L2将初始条件i(0)=0代入上式，得C= EM .于是所求电流为R22L2E=ti (t)=0(8Le L +Rsint- ccLcoscot), ( t0).R22L2例4轻质油料滴入静水中后会迅速扩散，在水面形成一层圆形油膜.设油膜半径的增加速度与油膜厚度成正比，滴入油料的体积为V。，油料在水中扩散过程中的形状近似看做圆柱体，初始t=0时圆柱高度为h0,求油膜半径与时间t的关系.解 设圆柱体油料半径r=r(t),厚度h=h(t),则在任何时刻t有r(t)h(t)=Vo.(1)两边对t求导，得2 r(t)” h

7、(t)+r2(t)d=0,dtdtdr据油膜半径的增加速度与油膜厚度成正比，dr k kh(t，得dt2kh2+ j_V0_ dh_=0,即dh-=-2k (Zht).二h(t) dtdt V0分离变量后成为1h ” dh=-2k 叵dt , Vo 3两边积分得1h(t)=k 3V0 7彳-T3r (t) =J 3 kJt+C(2)、JV 0由初始条件r2(0)h(0)=r2(0)ho=V0,得 r(0)= XT ；代入(2)得 C=L_ .回代二h0(3kh0 f到(2),最终得油膜半径与时间t的关系为3 13kV0V0 3 1图8-8r=-t +(-)23 - 二二 h0例5 一边长为3m

8、的立方体形状的木材浮于水面上处于平衡位置，然后向水里按下 X0(m)后松手，物体会在上面 上下沉浮振动(图8-8).已知振动的周期为 2s,水的密度 为1,试求物体的质量及物体沉浮振动的规律.解 设物体的质量为 m ,物体在时刻t相对于平衡位 置的位移为x,振动规律为x=x(t).因为x是相对于平衡位 置的位移，物体所受重力已经被抵消，故物体在振动过程中只要考虑浮力的作用.假设x以向下为正向.由阿基米德原理，当物体位移为x时所受浮力F(x)与x的符号相反，大小为：F(x)=-3M3MxM1000g=-9000xg,(g=9.8m/s2 为重力力口速度).由牛顿第二定律得m dx =-9000g

9、 x,即 m dx +9000gx=0dt2dt2这是一个二阶常系数齐次方程，满足初始条件x(0)=xo, x (0)=0 .其特征方程为r2+9000 =0,特征根为“=_ 9000g i,通解为 mm一、c 19000g 5 . 19000g ,x( t)= Cicos f t+C2sin n t.由周期T=9000gmc 加/曰 9000g=2,解得旦=n ,mm = 9000g2JI之8937(kg).所以x(t尸CicosM+CzsinE.由初始条件，得 Ci=x(0)=xo, Cz= x (0) =0,所以物体的位移规律为x(t)=xocosm.Ji例6在例3的电路上，若再串接一个

10、的电容C,且 R2-1L0,C第5题图(电路中电阻较小或电容较小 ).求合上开关后电路上电流的变化的 一般形式.S图8-7解 以Q(t)表示电路上流动的电量，则由电学知识，电容两2 .端的电动势为 Ec=1q；电感两端的电动势El= Ld-= Ld_Q ;Cdt dt 2电阻两端的电动势 ER=Ri=RdQ_.据回路电压定律，有dt22 -Ld-Q-+ RdQ-+lQ=E0Sin6t,或 dQ- + -R- - + Q=- sincct,(3)dt 2dt Cdt2 L dt CL L方程(3)是二阶线性常系数的，对应的特征方程为r2+Rr+工=0,特征根 ri = (- R- Jr2 -4

11、)， r2= (- R+. R2 -4 ) - L CL2L . C 2LC因为R2- 4L 0,所以(3)对应的齐次方程的通解为 C士t1 R cQ (t)= e(Cisin.()2 t+C2cosCL 2L设Q*(t)为(3)的一个特解，据公式可得*，、，匚 CQ (t)= jVt jEsinst Ldtldt .应用积分公式ax ax . .e e sin bxdx = 2 (a sin bx - b cosbx) Ca baxax .e .、一fe cosbxdx = 22 (bsinbx +a cosbx )+C，a b*-可得Q (t)=- E0 2 上虫(2 sin t cos

12、-t)dtL( 1 r2 )-0L(-2 r22)(-2 ri2)r2(-risin t- -cos t)+ ( sin -t-ricos ,t)2 E 0 22 KLd)F )( -i)，2-cr2)sin t-，(ri+2)cos tE2 1R=-0 ( ，) sin t+ cos tL(，2 r22)( 一 - ri2)CLL=-E0( - 2- ) sin，t+ R cos .tL( 2 W)2(LR)2 CLL即 Q (t) =-E0 sin( M+叼,tang望.L( 2 -C)2(-LR)24/ T所以方程(3)的通解为(4)Q(t尸 et(Cisin1 _( R )2 t+C2

13、cos1 .( R )2 t)CL 2LCL 2L- E0丁 sin( cot+中).L(7 -cL)2( lR)T根据i=dQ_,即得电路上电流变化的一般形式为 dti(t尸 e中( C3sin 1 -( R )2+C4cos1 _(R)2t)CL 2 LCL 2L- E0r cos( 0t+ 9 ,L( 2 -ct)2(lR)22其中 岫(3)确定.且 C3 = -RC1 -C2J-( )2 ,C 32L2 CL2LRC 2cc )2习题8-51. 一曲线过点(1,1),且曲线上任意点 M(x, y)处的切线与过原点的直线OM垂直，求此曲线方程.2 .设质量为m的降落伞从飞机上下落后，所受空气阻力与速度成正比, 机时(t=0)速度为零.求降落伞下落的速度与时间的函数关系.3 .设火车在平直的轨道上以16m/s的速度行驶.当司机发现前方约时，立即以加速度-0.8 m/s2制动(刹车).试问：(1)自刹车后需经多长时间火车才能停车？(2)自开始刹车到停车，火车行驶了多少路程？4太阳能热水器加热水时，在某时间段水温