立几中的垂直问题

1、立几中的垂直问题1平面内垂直关系的证明的基本思路：利用点线面关系的互换；立几问题转化为平面问题解决。如何判断线线垂直：（平面几何的知识） 等腰三角形（三线合一）； 直角三角形（两角和为90;勾股定理，有时要用余弦定理求长度）； 圆：直径所对的圆周角为直角（三角形某边的中线等于边长一半能够成圆） 菱形（邻边相等的平行四边形为菱形，从而得出对角线互助垂直）；*矩形（对角线相等的平行四边形为矩形，从而得出相邻两边垂直）；"平面内两平行直线，其中一条垂直于某直线，另一条也垂直于这条直线。2彼面关系的互换：线线垂直线面垂直面面垂直（1）（两）线线垂直线面垂直*线面垂直的判定定理：如果一条直线与

2、平面的两条相交直线都垂直，那么这条直线与此平面垂直;（2）线面垂直线线垂直线面垂直的性质定理：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于此平面内的任一直线；（3）线面垂直面面垂直（找垂线）面面垂直的判定定理：如果一个平面经过或平行于另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直；*（4）面面垂直线面垂直（已知条件有“面面垂直”才会用到这个定理）面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；3 .结论要证明异面直线垂直、面面垂直都是转化为线面垂直部面BCCiBi；4 .条件如有面面垂直，一定优先转化为线面垂直。相关例题：1如图6(I)所示，在边长为12的正方

3、形AAAiA中，点B,C在线段AA上，且AB3,BC4,作BBiAAi,分别交AiAi、AA于点Bi、P,作CCiAAi,分别交AA、AAi于点Ci、Q,将该正方形沿BBi、CCi折叠，使得AA与AAi重合，构成如图6-(n)所示的三棱柱ABCAiBiCi.(i)在三棱柱ABCAiBiCi中，求证：AB(2)求VBCQP(答案：20)2. (20i3广东)如图i,在等腰直角三角形ABC中，A90,BC6,D,E分别是AC,AB上的点，CDBE2,。为BC的中点？将ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A(n)求二面角 A CD B的平面角的余弦俏图2BCDE,其中AO.3.(I)证明：AO平

4、面BCDE;3. (2013江西)如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD,E为BD的中点，G为PD的中点，DABDCB,EAEBAB1,PA3,连接CE弁延长交AD于F?2(1)求证：AD平面CFG;求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值4. (2011山东文)如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，DQ平面ABCD,底面ABCD是平行四边形，AB=2AD,AD=A1B1,BAD=60证明：AA1BD;5?如图所示，在棱长为2的正方体ABCD点.(1)求证：EF/平面ABC1D1;(2) 求证：EF±B1C;A1B1C1D1中，E,F分别是DD1、DB的中AB(3) 求三棱锥V

5、b1efc的体积？(答案:6 .（2013辽宁）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面（II）若AB2,ACPA1,求二面角，人、.6CPBA的余弦值。（答案：4（I）求证：平面PAC平面PBC;7 .（2010福建理）如图，圆柱001内有一个三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径？（I）证明：平面A1ACC1平面B1BCC1;（n）设AB=AA1,在圆柱001内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为p.C是圆上的点（i）当点C在圆周上运动时，求p的最大值；（ii）记平面A1ACC1与平面ROC所成的角为（0。90。），当p

6、取最大值时，求cos的值.（答案：（2）1/;（3）.10/5）8 .（2011湖南理）如图5,在圆锥PO中，已知PO2,圆O的直径AB2,C是AB的中点，D为AC的中点.（I）证明：平面POD平面PAC;(II)求二面角BPAC的余弦值.(答：.10/5)/6)9 .(2010北京)如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CEACEFAC,AB2,CEEF1。(I)求证：AF平面BDE;(n)求证：CF平面BDE;(JiI)求二面角ABED的大小。(答:10 .(2009深圳一模)如图，AB为圆O的直径,O所在的平面互相垂直？已知AB2,EF1.(I)求证：平面DAF平面CBF;(n)求直线AB与平面CBF所成角的大小；(JiI)当AD的长为何值时，二面角DFEB3的大小为60?【答案】(2)30;(3)点E、F在圆O上，AB/EF,矩形ABCD和圆将其中沿的OiH AO ,证明：BO2,平面HBG的中点？11 .如图所示的几何体是将高为2,底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开