立体几何的典型例的题目精选

1、(1)求证：AB 平面BCF(2)求直线AE与平面BDE所成角的正切值立体几何专题复习热点一：直线与平面所成的角例1.(2014，广二模理18)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF/平面ABCD,EF=1,FB二FC,BFC二90A-BD-C为6AB皿福-2将左图沿直线BD折起，使得二面角变式1:(2013湖北8校联考)如左图，四边形ABCD中，E是BC的中点，DB=2,DC=1,BC=成(1)求证：AE平面BDC;(2)求直线AC与平面ABD所成角的余弦值变式2:2014?福建卷在平面四边形ABCDKAB=BD=CD=1,ABLBDCDLBD将Z,ABD沿BD

2、折起,MBQ斤成角的正弦俏.使得平面ABD_平面BCD如图1-5所示.(1)求证：ABLCD(2)若M为AD中点，求直线AD与平面热点二：二面角例2.2014?广东卷如图1-4,四边形ABC助正方形，PDL平面ABCQZDPC30,AF，PC于点F,FE/CD交PD于点E(1)证明：CFL平面ADF(2)求二面角D-AF-E的余弦值.变式3: 2014 ?浙江卷如图1- 5,在四棱锥2, DE= BE= 1, AC= 2.(1)证明：DEL平面ACD (2)求二面角A - BCD 即，平面 ABCL 平面 BCDE / CDE= Z BED =90 , AB= CD=B - AD - E的大小

3、.变式4:2014?全国19如图1-1所示，三棱柱ABC-ABC中，点A在平面ABC内的射影D在AC上，/ACB=90,BC=1,AC=CC=2.(1)证明：ACAB;(2)设直线AA与平面BCCi的距离为J3,求二面角A-AB-C的大小.MCCL平政 BCQ AB，平面 BCQ热点三：无棱二面角例3.如图三角形BCD与三角形MCD都是边长为2的正三角形，平面AB=2八3.(1) 求点A到平面MBC的距离；(2) 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值变式5:在正方体ABCD-AiBCiDi中,KBB,MCCi,且BK13BBi,CMCCi44求：平面AKM与ABCD所成角的余弦值A变式6

4、：如图ABCD-A1BC1D1是长方体，AB=2,AA=AD=1，求二平面ABC与A1B1C1D1所成二面角的正切值.ALB1- 4所示？设M N分别为线段 AD,高考试题精选1. 2014?四川，18三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图AB的中点，P为线段BC上的点，且MNLNP证明：P是线段BC的中点;(2)求二面角A - NP- M的余弦值.2. 2014?湖南卷如图所示，四棱柱ABCDABQD的所有棱长都相等，A8B*O,ACQ陨=O,四边形ACGA1和四边形BDDB均为矩形.(1)证明：OOL底面ABCD若/CBA=60。，求二面角C-OBD的余弦值.3. 2014?江西19如图1

5、-6,四棱锥P-ABCDKABCDA矩形，平面PADL平面ABCD(1)求证：ABPD若/BPC=90,PB=2,PC=2,问AB为何值时，四棱锥P-ABCD的体积最大?弁求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.j：丁/*D/? E0 A0 ?10分例1.（2014,广二模）（1）证明：取AB的中点M,连接EM,则AM=MB=1,平面?/EFABCD,EF二平面ABFE,平面ABCDj平面ABFE二AB,?EF/AB,即EF/MB.1分?/EF=MB=1?四边形EMBF是平行四边形.?EM/FB,EM=FB?在 RtA BFC 中，FB2 FC2又 FB =FC,得 FB 二 2.?EM*2

6、.在公AME中，AE3,AM-1,EM222?AM2EM2=3二AE2,?AM_EM.?AM_FB,即AB_FB?.?四边形ABCD是正方形，? AB _ BC .?/ FB BC 二 B ,? AB _ 平面 BCF（2）证法1:连接ACFB 二平面 BCF , BC 二平面 BCFAC与BD相交于点取BC的中点 连接OH ,E0 , FH则0H由（1）? EF/ AB ,知 EF / OH，且1 OH AB =1.21AB,且 EF AB2 EF =OH .?四边形 EOHF是平行四边形? EOS（1）知 AB _平面 BCF,又 FH _ AB则点0是AC的中点,平面?/ FH?FH-B

7、C,ABABC二B,AB二平面ABCD,BC二平面ABCD?FH一平面ABCD.?EO平面ABCD.?/AO平面ABCD,精彩文档/AO_BD,EOABD=0,E0二平面EBD,BD二平面EBD?A0_平面EBD.11分?.AE0是直线AE与平面BDE所成的角？.12分在RtA0E中，tan.AEO二A二、E0?直线AE与平面BDE所成角的正切值为证法2：连接AC,AC与BD相交于点0,则点取BC的中点H,连接0H,E0,FH,1则0H/AB,0HAB=1.21由（1）知EF/AB,且EFAB,2?EF/0H,且EF=0H.?四边形E0HF是平行四边形？2 . 13 分E0/FH,且E0=FH

8、-1.由（1）知AB平面BCF,又FH二平面BCFFH_AB.?/FH-BC,AB门BC=B,AB二平面ABCD,BC二平面ABCD以H为坐标原点,FH平面ABCD.E0_平面ABCD.建立空一目MBD十2,-2,0?AE十1,1,1,设平面BDE的法向量为n=x,y,z,由nBD=0,BC所在直线为x轴，0H所在直线为y轴，HF所在直线为z轴，H-xyz,则A1,-2,0,B1,0,0,D-1,-2,0,E0,-1,1.得2x-2y=0,-x-yz=0,得z=0,x=-y.令x=1,则平面BDE的一个法向量为n=1,_1,0.10分设直线AE与平面BDE所成角为二,?t,怡崇2.=cos(

9、n, AE11分13分?直线AE与平面BDE所成角的正切值为,2 .14分变式1: （2013湖北8校联考）(1)取 BD 中点 F ,连结 EF, AF ,贝U AF =1,EF J 上 AFE =60;,由余弦定理知抽60拧，：*才沁，AE-EF又 BD 平面 AEF , . BD_AE,AE_ 平面 BDC 6分（2）以E为原点建立如图示的空间直角坐标系,3111则 A(0,0,-),C(-1- ,0) , B(1,-; ,0), D(-1,-; ,0) 8分2222设平面ABD的法向量为 n =(x, y, z),2x =0n DB 0一由得 1. 3，取=3，则 y - -3,. n

10、 =(0,-3=-OB OM 则 OBL CD解法一一C的大小为arccos-.OMLCD又平面MCD平面BCD，则MQL平面BCR,所以MOAB1Z4QM共面破长AMBO相交于E,则/AEB就是AM与平面BCD所成的角？。号MO3,MQABMO面ABCMO到平面ABC的距离相等，作OH_BC于H,连MH贝U MH_BC,求得:OH=OCsi n615二仝MH 利用体积相等得：VA MIBC -2 2=Vm 从 BC（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线.由（1）知，O是BE的中点，贝UBCED1菱形.作BF，EC于F,连AF,则AFEC/AFB就是二面角AECB的平面角，设为二.7分因为/

11、BC匡120,所以/BCI=60BF =BC sin60 ; = .3,12分11分tanv-AB=2,sinv-乙5BF所以，所求二面角的正弦值是詈解法二：取CD中点0,连OBOM则OBLCDOMLCD又平面MCD_平面BCD，则MOL平面BCD以。为原点，直线OCBOOM为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图O号OMJ3,则各点坐标分别为O(0,0,0),C(1,0,0),M(0,0,.3),B(0,-.3,0),A(0,-、3,2、3),(1)设n=(x,y,z)是平面MBC勺法向量，则BC=(1,.3,0),BM二(0,.3,、3),由n_BC得x.3y=0；由n_BM得?3y、?

12、3z=0；取n=(、/3,-1,1),BA=(0,0,2.3),则距离BAn(2)CM-(-1,0八,3),CA=(-1,i3,2、3)?面ACM的法向量为q = (x, y, z),由T利TrCM设平一得-x-3z=0m_CA.解得-x-J3y23Z=0.又平面B=D勺饕间果f3nU)(0,0,1),则cosri1,nx设所求二面角为二，则sinA二2、5512分变式5:解析：由于BCMK是梯形，贝UMK与CB相交于E.A、E确定的直线为m过C作CFLm于F,连结MF因为MCL平面ABCDCFLm故MLm./MFC是二面角山m-C的平面角.设正方体棱长为a,贝U3113V5CMa,BKa.在

13、公ECM中，由BK/CM可得EBa,CFa,故aMC.因442V54AJ2I此所求角的余弦值为cos.MFC二.21变式6:解析：？?平面ABCD平面ABGU,?平面ABC与平面的交线m为过点Bi且平行于AC的直线.直线m就是二平面ABC与ABiGDi所成二面角的棱？又平面ABC与平面AA，平面ABiGDi,过A作AHm于H,连结AH.则.AHAi为二面角A-m-A的平面角？可求得tanAHA:2高考试题精选1. （20i4四川卷）解：（i）如图所示，取BD的中点O,连接AQCO由侧视图及俯视图知，ABDBCD为正三角形所以AOLBDOCLBD因为AOOC平面AOC且A6OC=Q所以BD，平面

14、AOC又因为AC?平面AOC所以BDLAC取BO的中点H，连接NHPH又MN,H分别为线段ADABBO的中点，所以MN/BDNHAQ因为ACLBD所以NHLBD因为MNLNP所以NPLBD因为NHNF?平面NHP且NWNP=N,所以BDL平面NHP又因为HP?平面NHP所以BDLHP又OCLBDHF?平面BCDOC?平面BCD所以HP/OC因为H为B0的中点，所以P为BC的中点5分方法一：如图所示，作NQLAC于Q,连接MQ由（i）知，NP/AC所以NQLNP因为MNLNP所以/MN3二面角A-NP-M的一个平面角.由（i）知，ABDBCD为边长为2的正三角形，所以AO=OC=3.由俯视图可知

15、，AOL平面BCD因为OC?平面BCD所以AOLOC因此在等腰直角公AO（中,AC=6.作BFLAC于R因为在ABC中,AB=BC所以R为AC的中点,所以BR=因为在平面ABC内,NQLACBFLAC所以NQ/BR0), NP= 0 ,又因为N为AB的中点，所以Q为AR的中点,所以NQ=霁乎.同理，可得MQ=:二故皿曲等腰三角形,4MNBD24弋斤0所以在等腰4MNQKcos/MN(八-=13分NQNQ5故二面角A-NP-M的余弦值是一磐14分5方法二：由俯视图及(1)可知，AOL平面BCD因为OCo日平面BCD所以AQLOCAQLOB又OCLOB所以直线OAOBOC两两垂直6分如图所示，以O

16、为坐标原点，以OBOCOA的方向为X轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.则A(0,0,.3),B(1,0,0),C(0,3,0),D：-1,0,0).因为MN分别为线段ADAB的中点，N1又由(1)知，P0，为线段BC的中点,所以M2,0,m?AB=0,m?BC=0,(Xi,乜Zi)即*(X1,+,Zi)(1,(-1,0,.3)=0,.3,0)=0,X1V3zi=0,kX1+羽y1=0.0)= 0 ,X J0 ,冷-从而侦02= J=0 ,取Zi=1,则Xi=3,y1=1,所以m=(.3,1,1).设平面MNP勺一个法向量n2=(X2,y2,Z2),由，(X2y2,Z2)?(

17、1,0,n2?MN=0,n2?NP=0,即j(X2,y2,Z2)?0,2,AB=(1,0,-3),BC=(-1,3,0),MN=(1,0,设平面ABC的一个法向量m=(X1,y1,z,取Z2=1,贝uy2=1,X2=0,所以n2=(0,1,1).11分设二面角A-NP-M的大小为0,则cos故二面角ANRM的余弦值是21014分2. (2014湖南卷)解：(1)如图，因为四边形ACCA为矩形，所以CCAC同理DDBDD因为CC/DD，所以CC，BD而A8BD=Q因此CC，底面ABCD由题设知，QQ/CC.故QQ，底面ABCD4分方法一：如图，过Q作QH，QB于H,连接HC.由(1)知，QC，底

18、面ABCD所以QQ，底面ABCD,于是QQLAQ.又因为四棱柱ABCDABCD的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此ACBD,从而AC，平面BDDB，所以AQLQB,于是QB，平面QHC.进而QBOH.故/CHQ是二面角C-0金D的平面角.所以四边形“ ABCD1菱形，因此ACLBD不妨设AB=2.因为/CBA=60,所以QB=.3,?QB13在RtQCBi中,易知0H=QB=27而QC=1,于是CH=寸QC+QH=、A+f12故cos/CHQ=CH=2,72;57而19即二面角C-QBrD的余弦值为织5719方法二：因为四棱柱ABCDABCD的所有棱长都行又QQ，底面ABCD从而QBQCQQ两两垂直.如图，以Q为坐标原点，QBQCQQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Q-xyz,不妨设AB=2.因为/CBA=60,所以QB=,3,QC=1,于是相关各点的坐标为Q0,0,0),0,2),C(0,1,2).易知，m=(0,1,0)是平面BDEB的