立体几何(小题)专题历年高考真题模拟题汇总(解析版)

1、立体几何一、年考试大纲二、新课标全国卷命题分析三、典型高考试题讲评2011一年新课标全国(1卷、2卷、3卷)理科数学分类汇编一一11.立体几何一、考试大纲1.空间几何体(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求).(5)

2、 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式2 .点、直线、平面之间的位置关系(1)理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内公理2:过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判Tffl7E7E理

3、.理解以下判定定理.如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.旧理解以下性质定理，并能够证明.：一如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直3 .能运用公理、定理和已获得的结论

4、证明一些空间图形的位置关系的简单命题4 .空间直角坐标系1) )了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置(2)会推导空间两点间的距离公式.、新课标全国卷命题分析立体几何小题常考的题型包括：(1)球体；(2)多面体的三视图、体积、表面积或角度，包括线线角、线面角以及面面角，要重视常见几何体的三视图、三视图还原几何体的常用方法、面积和体积的计算式以及点线面的位置关系等，也要注意提高空间想象能力与数学计算能力.立体几何解答题第1问主要集中考查空间中直线、平面的位置关系的判断，注重对公理、定理的考查，而第2问多考查空间向量在空间立体几何中的应用，在证明与计算中一般要用到初中平面几何的重要定理，

5、空间思维要求较高，运算量较大，对学生的空间想象能力、转化能力、计算能力要求较高.在考查考生运算求解能力的同时侧重考查考生的空间想象能力和推理论证能力，给考生提供了从不同角度去分析问题和解决问题的可能，体现了立体几何教学中课程标准对考生的知识要求和能力要求，提升了对考生的数学能力和数学素养的考查.本试题能准确把握相关几何元素之间的关系，把推理论证能力、空间想象能力等能力和向量运算、二面角作图、建立空间直角坐标系等知识较好地融入试题中，使考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力得到了有效考查.二2) (2016新课标n,14)a、(3是两个平面，mn是两条直线，有下列四个命题:(1)如果vm

6、Ln,mLa,n/3,那么aX(3.曰(2)如果mila,n/a,那么miln.(3)如果a/(3,ma,那么m/(3.(4)如果m/n,a/(3,那么mUfa所成的角和n与B所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号.)【答案】解析：略.2. (2018 新课标 n,9)在长方体ABCDA B1C1 Di 中，AB BC1 , AA 73 ,则异面直线 AD1与DB15所成角的余弦值为(B.C.D.【答案】C解析：法一：由几何关系可知：EF1B1D 2由余弦定理可知：cos 5522解法二：坐标法： 由几何关系可知:uuur 一B1D1,1,73 ,点A的坐标为1,0,J3,点

7、D1的坐标为1,1,0ujuu-AD10,1,V3,cos. 22422.5 .立体几何（小题）（解析版）3. （2018新课标全国I卷理7）某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A-217B.25C.3D.2【答案】B解析：当路径为线段MN寸，长度最短，故最短路径的长度为4. （2018新课标I,理12）已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）A.3-1B,"C.3JD,立4342可得面A&

8、amp;B平移【答案】A解析：（直接法）平面A1GB符合题意，如图（1）所示，例题中的平面平移后的图象如图（1）所示，六边形EFGHMN为该截面设ANx,则有ENJ2x,MNJ2(1x)根据对称性可知EF2（1x）,FGJ2x,延长EN,HM相交于点P延长EF,HG相交于点Q,易证HEFEHG60o所以EHQ为等边三角形，同理EHP为等边三角形,所以务边形EFGHMNmaxSEHGSEPGSPMNSFGQ4(2)2-344(二2)2学司X)2康外)2.3i3(2x22x1)EFGHMNmax334【解法2】（特殊位置法）由题可知，截面应与正方体体对角线垂直，当平面平移至截面为六边形时,此时六边

9、形不变，所以当截面为正六边形时，面积最大SA边形EFGHMNmax6.364力,122(T)Ha5.(2018新课标H,9)在长方体ABCDAB1C1D1中,ABBC1,AA1后,则异面直线ADi与DBi所成角的余弦值为（B5B.6【答案】C解析：法一：由几何关系可知:心5,2d.21cc5BiD,22AE义3,AF1,由余弦定理可知：cos25C.EF解法二：坐标法：由几何关系可知:ujuurBiDi,i,V3,点A的坐标为1,0,V3，点Di的坐标为1,1,0uuuuuADi0,1,V3,cos2 55解法三：补型法（以右补为例）：由几何关系可知：BDJ5,DG2,BiGJ5,由余弦定理可

10、得:cosC 120°，2,6.（20i7新课标n,i0）已知直三棱柱0八中,CiiCiCCCii,则异面直线i与Ci所成角的余弦值为（）,33【答案】B解析：解法一：在边BBi、BG、ABi、AB上分别取中点E、F、G、H,并相互连接.由三角形中位线定理和平行线平移功能，异面直线ABi和BCi所成的夹角为FEG或其补角,ii，利用余弦定理可求得异面直线2通过几何关系求得EF工,FG,FH22解法二：补形通过补形之后可知:ABi和BCi所成的夹角余弦值为.BCiD或其补角为异面直线ABi和BCi由勾股定理或余弦定理可得异面直线AB和BCi所成的夹角余弦值为勺05B 0,0,i , C

11、i解法三：建系建立如左图的空间直角坐标系，A0,2,i,Bi0,0,0,BC1 uun BiAuuuuBC1uuir uuuu25210""5"7. （2016 新课标I ,11）平面 过正方体 ABCD A1B1clD1的顶点A,/ 平面 CB1D1 ,I平面ABCD平面ABB1Al n,则m,n所成角的正弦值为（(B) (C)2,33(D)uuuu31uuuBC1,1,BA0,2,1，cos22/平面CB1D1，若设平面CB1D1I平面ABCD,则色/mBQ又平面ABCD/平面ABGD,结合平面B1D1CI平面ABC1D1B1D1/白，故B1D1IIm同理可得

12、：CD1IInn的所成角的大小与B1D1、CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小.3而B1CB1D1CR(均为面对交线)，因此CRB1-,即sinCD1B132故选A.8.（2015新课标I,6）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有(A)14斛(B)解析：22斛2R（C）36斛（D）66斛8,圆锥底面半径R1

13、6,米堆体积1V12R2h320V人堆放的米约有22,选（B）.1.629.(2014新课标n,11)直三棱柱ABCABC中，/BCA90o,MN分别是ABi,AC的中点，BGCACC,则BM与AN所成的角的余弦值为（）A. ±B. 2C. _2£D. J2105而2【答案】C解析：取BC的中点P,连结NP AP, /M N分别是A1B1, A1C1的中点，四边形 NMB的平行四边形，BM/ PN，所求角的余弦值等于/ ANP勺余弦值，不妨令 BCCA=CC=2,则 AN=AP=V5 , NP=MB=6 ,cos ANP|AN|2 |NP|2 |AP|22 |AN| |NP

14、|(、.5)2 Q6)2 Q 5)22 .5 630而【另解】如图建立坐标系，令AC=BC=OC=2,则A（0, 2, 2）, B（2, 0, 2）,M1,uuuuBM1,0)UULTcos 0(1,1, 2),AN uuuT uuur BM AN-UULULUU| BM | | AN |(0, 1,0 1 46.5N0,2),30101,0)10. （2013 新课标n, 4）已知m, n为异面直线，m 平面,n 平面.直线l满足l m, l n , ll，贝U ()A. a /§ 且 l aB. 且lC.与相交，且交线垂直于lD.与相交，且交线平行于l【答案】D解析：因为ml a

15、 , l la,所以l/a.同理可得l/§.又因为mn为异面直线,所以a与B相交，且l平行于它们的交线.故选D.11. （2018新课标n,理16）已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为-,SA与圆锥底面8所成角为45.若4SAB的面积为5折,则该圆锥的侧面积为【答案】40立解析：由面积的关系可知：SASB4由几何关系可知：SOAO2加侧面积SSAl,l2OA4布,侧面积SSAl40、历ABC的直角边AC所12. （2017新课标出，）16.a,b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形在直线与a,b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论:当直线AB与a成6

16、0o角时，AB与b成30o角;当直线AB与a成60o角时，AB与b成60o角;直线AB与a所称角的最小值为4S；直线AB与a所称角的最小值为60o；其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)不妨设图中所示正方体边长为【答案】解析：由题意知，a,b,AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图.C为圆心,1为半径的圆.1,故AC1,AB22,边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以LUJfLUU、坐标原点，以CD为X轴正万向，CB为y轴正万向，CA为z轴正方向建立空间直角坐标系.则D(1,0,0),A(0,0,1),直线a的方向单位向量a(0,1,0),a1.B点起始坐标为(0,1,0),直线b的方向单位向量b (1,0,0) , b 1 .设B点在运动过程中的坐标B cos ,sin其中为BC与CD的夹角,0,2 t).UULT 那么AB'在运动过程中的向量 AB ( cos,sin ,1)，uuuuAB. 2.ABr与a所成夹角为一 兀 一0,-，贝U cos2(cos , sin ,1) (0,1,0)UULU a AB4,2,所以正确，错误.ABr与b所成夹角为0,；,cosUUUUAB biULUEI b|ABcos ,sin ,1) (1,0,0)M-rar ABcos当ABr与a