上海市虹口区九年级(上)期中数学试卷

1、九年级（上）期中数学试卷题号一一三四总分得分、选择题（本大题共 6小题，共24.0分）1.下列两个图形一定相似的是（）A.两个菱形B.两个矩形C.两个正方形D.两个等腰梯形2. 在那BC中，点D、E分别在边AB、AC上，联ZDE ,那么下列条件中不能判断 AADE 和祥BC相似的是（）A. DE/BCB. / AED=/BC.AE: AD=AB : ACD. AE: DE=AC: BC第5页，共20页A. a/c , b/cC.a=2b3. 已知a、b和c都是非零向量，在下列选项中，不能判定a/b的是（）B. |a|=|b|D. a=12c , b=2c4. 在RtAABC中，如果/C=90&

2、#176;,那么ACBC表示"的（A.正弦B.正切C.余弦5. 如图，在BBC中，AC !CB, CD是AB边上中线，AE±CD 于点E,延长AE交BC于点F,则图中不能与 AABC相 似的三角形（）A. ACEFB. ADEC. ACED. AACF6. 如图，在AABC中，点D、E分别在边 AB、AC上，且DE /BC,若 Saade: Sabde=1 ：2,贝U Szade : Sabec=()A. 1 : 4B. 1 : 6C. 1 : 8D. 1 : 9二、填空题（本大题共 12小题，共48.0分）7. 在比例尺为1: 500000的地图上，某两地图距为 2厘米，

3、那么这两地的实际距离是 千米.8. 如果 x： y=2 ： 3,那么 x+yy =.9. 计算 2 （a-2b） -3 （a+b） =.10. 已知点P是线段AB上的点，AB=4cm,且AP是AB和PB的比例中项，那么 AP=cm.11. 如图，AD/BE/FC,它们依次交直线 屋l2于点A、B、C和点D、E、F,如果 ABBC=23 , DF=7.5,那么 DE 的长为.12.13.如果两个相似三角形对应高的比是1: 2,那么它们的面积比是如图，AABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC 上，且 DE/BC, EF/AB, DE ： BC=1 ： 3,那么 EF ： AB 的值为.14

4、.如图，正方形 DEFG的边EF在4ABC的边BC上， 顶点D、G分另在边 AB、AC上，已知BC=6, AABC 的面积为9,则正方形DEFG的面积为.15.在那BC 中，点 D, E 分别在边 AB, AC 上，ZADEMBC,如果 AB=4, BC=5,AC=6, AD=3,那么 那DE的周长为 .16.如图，在 RtAABC 中,ZBAC=90 °, ZB=30 °, AC=3 ,G为AABC的重心，GD /EC,则AAGD的面积是1 7.如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形相似缩放， 使重叠的两边互相重合，我们称这

5、样的图形为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心， 所得的三角形称为原三角形的转似三角形.如图,在那BC中，AB=6, BC=7, AC=5 ,“出心是"BC以点C为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点 C为转似中心的另一个转似三角形 别与A、B对应）的边 A2B2的长为.A2B2c （点 A2, B2分18 .如图，在矩形ABCD中，已知AB=24,如果将矩形沿直线l翻折 后，点A落在边CD的中点E处，直线l分别与边AB、AD交于 点M、N,如果AN=13,那么AM的长为.三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19 .已知 a2 = b3=c5,且 2a+b-c=4,求 a、b

6、、c 的值.四、解答题(本大题共 6小题，共68.0分)20 .如图，在 GABC中，点 D、E分别在边 AB, AC上,DE/BC, ADBD = 12, DA=a, DC=b.(1)请用a、b来表示DE;(2)在原图中求作向量 DE在a、b方向上的分向量.(不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量)21 .如图，已知AD /BE /CF ,它们依次交直线li, 12于点A、B、C 和点 D、 E、F, DEEF=23, AC=10.(1)求AB, BC的长；(2)如果 AD=7, CF=12,求 BE 的长.22 .如图，在RtAACB中，ZACB=90°,点D在边AB上,D

7、E平分ZCDB交边BC于E, EM是线段 BD的垂直 平分线.(1)求证：CDBC=BEBD;(2)若 AB=10, cosB=45,求 CD 的长.23 .如图，在边长为 2的正方形 ABCD中，点E在边AD上, 点F在边CD上，且EF1BE,设BD与EF交于点 G.(1)若AE=12,求DF的长；(2)若 tan/ABET2,求 4DEG 的面积.24.已知：如图，在 AABC中，点D、E分别在边AB、AC 上，DE/BC,点 F 在边 AB 上，BC2=BF?BA, CF 与 DE相交于点G.(1)求证：DF?AB=BC?DG；(2)当点E为AC中点时，求证：2DF?EG=AF?DG.2

8、5.如图，已知 UBC中，AB=4, BC=5, AC=6,把线段AB沿射线BC方向平移至 PQ, 直线PQ与直线AC交于点E,又连接BQ与直线AC交于点D.(1)若BP=3,求AD的长；(2)设BP=x, DE=y，试求y关于x的函数解析式；(3)当BP为多少时，以 Q、D、E为顶点的三角形与 AABC相似.第 5 页，共 20 页答案和解析第21页，共20页1 .【答案】C【解析】 解:A、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定 义，故 不符合题意；B、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定 义，故不 符合题意；C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比

9、例，一定相似，故符合题意；D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；故选:C.根据相似图形的定义:对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合 选项，用排除法求解.本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键.2 .【答案】D【解析】A、 .DE /BC, zADEsMbc,故本选项错误;B、 . YED=/B, /A=/A, .zADEsaCB,故本选项错误；C、 .AE:AD=AB :AC, ZA=ZA, ."DEsaCB,故本选项错误；D、AE : DE=AC : BC不能使AADE和AABC相似，故本选项正确.故选

10、：D.根据题意画出图形，再由相似三角形的判定定理 进行解答即可.此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，为建是掌握相似三角形的几种 判定定理.3 .【答案】B【解析】解:A、尸，矶W ,才,故本选项错误;B、.国|=|石|,与彳的模相等，但不一定平行，故本选项正确;c、水=21r，矶了,故本选项错误；D> ,.=, $；S ,小|了，故本选项错误.故选：B.根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排 除法求解.本题考查了平面向量，是基础题，熟记平行向量的定义是解题的关键.4 .【答案】D【解析】解：在Rt'BC 中，=£=90 , cotA=灰,

11、故选：D.根据余切的定义求解可得.本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦、余弦、正切、余切的定义.5.【答案】B【解析】解：.AC1CB, AEJCD,ACB= ZAEC= /CEF=90°,.AD=DB ,，CD=DB=DA , .zDCB=/B, .ZECFs 工BA,. jACE+ZECF=90°, ZCAE+ZACE=900, .zECF=/CAE, .ZECFs zTACZCAF, . zABC 与AECF, AAEC , AACF 相似，故选：B.利用直角三角形斜 边中线的性质以及相似三角形的判定方法一一判断即可；本题考查相似三角形的判定和性 质、

12、直角三角形斜边中线的性质等知识，解 题的关键是灵活运用所学知 识解决问题，属于中考常考题型.6 .【答案】B【解析】解：5AOE _ 而，且SAADE ：SABDE = 1 ：2，任也打口 2 ? AB 3 '.DE/BC, .ZADEs.C,区出任上5"厂AB 9， - SAABC=9SAADE，而SABDE=2SAADE， SABEC=6S&DE， SAADE ：SABEC = 1 6故选：B.首先证明 ZADE s/ABC，进而证明 Saabc =9Szade ；运用Sabde=2Szade，得至U Sabec =6Szade，即可解决问题.该题主要考查了相似三

13、角形的判定及其性 质的应用问题；脩题的关键是牢固掌握相似三角形的判定及其性 质，这是灵活运用、解题的基础和关键.7 .【答案】10【解析】解：设这两地的实际距离是x厘米，则：1:500000=2: x,解得 x=1000000.1000000厘米=10千米.故答案为10.根据比例尺二图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离.本题考查了比例线段，比例尺的定义.要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算.8 .【答案】53【解析】解：，x：y=2：3,.设 x=2k,y=3k kO ,于+¥* T料r>贝 F=p=故答案为：A.J根据比例设x=2k,

14、y=3k k*。,然后代入比例式进行计算即可得解.本题考查了比例的性质，利用设k法”求解更简便.9 .【答案】-a-7b 【解析】解：原式=2 -4 -3 -3=-d*-7 匕,故答案为-石二7石.根据平面向量的加法法 则计算即可；本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的加法法则，属于中考基础题.10 .【答案】-2+25【解析】解：设 AP=xcm ,贝 PB=AB-AP=4-x Cm),根据题意知:'=,整理，得:x2+4x-16=0,解得:x=-2立方,经检验：x=-2 d20 均为原分式方程的解，.x>0,. x=-2+2、吊,即 AP=-2+2 * Cm),故答

15、案为：-2+2隔.设AP=x，则PB=4-x,根据AB :AP=AP:PB,列方程解答.本题考查的是比例线段与黄金分割的概念，把一条 线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割, 他们的比值手。叫做黄金比.11 .【答案】3【解析】解：.AD /BE/FC,AB DE=以1 EF ',AB 2 cL.而一DF=7.5,DE 2 =7一口£ :广解得：DE=3, 故答案为：3.根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出即可.本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行 线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键.12 .【答案

16、】1： 4【解析】解：.两个相似三角形 对应高的比是1:2, .它们的面积比是1:4.因为相似三角形的面 积比等于相似比的平方，所以这两个三角形的相似比是 1:4.考查了相似三角形的性 质：相似三角形的面积比等于相似比的平方.13 .【答案】23【解析】解：.DE/BC, .zADEs.C,DE Ic _ _ _ 7 A( = DC' - A，CE 2 = Ad ：i，.EF/AB , .zCEFs3AB ,EF CE 2=CA =；! -故答案为；. _-4F DE 分析：利用DE/BC可判断 BDEs以BC,利用相似的性质的得而二环 =.CE再利用比例性 质得/ 二然后证明CEFs

17、/CAB,然后利用相似比可得到萼的值.本题考查了三角形相似的判定与性 质：在判定两个三角形相似时，应注意利 用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用, 寻找相似三角形的一般方法是通 过作平行线构造相似三角形；在运用相似三 角形的性质时，主要利用相似进行几何计算.14.【答案】4【解析】解：作AH1BC于H,交DG于P,如图所示：. /ABC 的面积=：BC?AH=9, BC=6,. AH=3 ,设正方形DEFG的边长为x.由正方形DEFG得，DG/EF,即DG/BC,-.AHXBC, AP1DG.由 DG /BC 得 AADGs &BC.也二”B( ! A Ji

18、 -.PHIBC, DE IBC. PH=ED, AP=AH-PH ,DC： J H即充=一由 BC=6, AH=3, DE=DG=x,解得x=2.故正方形DEFG的面积=22=4;故答案为：4.由DG/BC得小DGs*BC,利用相似三角形对应边上高的比等于相似比， 列方程求解.本题考查了相似三角形的判定与性 质、正方形的性质.关键是由平行线得到 相似三角形，利用相似三角形的性 质列方程.15.【答案】454【解析】解：女用，:zADEsAABC ,口 DE AE DE AElrJ；9二犷=#，即1 =于二丁，解得DE=j乙八 e “ I-1 lb lb."DE 的周长=AD+AE+

19、DE=3+ J ；=；故答案为：.根据题意画出图形，根据相似三角形的性质求出DE及AE的长，进而可得出本题考查的是相似三角形的性 质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此 题的关键.16.【答案】34【解析】解：延长AG交BC于H,.-/BAC=90° , /B=30 °,. BC=2AC=6,由勾股定理得，AB=、/7港T.诵=3、噌，贝UzBC 的面积=',XACXAB=* *% ,.G为9BC的重心,. H是BC的中点，AG=y AH, 7 I一 一一一1_ 一一9- /AHC的面积=之XABC的面积=l姬* , .GD/BC, .zAGDsMhc ,. 一一

20、 I o. 一一,.zAGD的面积=& )2mAHC的面积=,4故答案为：乎.延长AG交BC于H ,根据直角三角形的性 质,勾股定理分别求出BC,AB,得到BBC的面积，根据重心的性质得到H是BC的中点，AG=. AH,根据相似三角形的性质定理计算.本题考查的是直角三角形的性 质，相似三角形的判定和性质，三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中 线的交点，且重心到顶点的距 离是它到对边中点的距离的2倍.17.【答案】425【解析】解：. zABCsAA2B2C,二了 一 /皿，.-12- A2B2一 百故答案为：'二.先根据条件证明BCsM2B2c就可以求出结论.本

21、题考查了旋转的性质的运用，相似三角形的判定与性 质的运用，解答时证 明三角形相似，运用相似三角形的 对应边成比例求解是关 键.18.【答案】392 【解析】解：女胸，连结NE,.四边形ABCD为矩形，. CD=AB=24 ,.E为CD的中点， I. DE= ?CD=12,.矩形沿直线l翻折后，点A落在边CD的中点E处，侬l与分别边AB、AD 交于点M、N ,. MN 1AE , NA=NE=13 ,在 RtADNE 中,DN= d 门染=八"-.3 =5,. AD=13+5=18,/+Z3=90 ； N+4=90 °,；4=2又 v NAM= /EDA , .zAMNs竺a

22、e ,.13/ a.V 31.V H；da=Ue，即FT = it，先连结NE,构造直角三角形，依据折叠的性质以及勾股定理，即可得到DN 的长以及AD的长，再根据BMN s/DAE,即可得到/ 喂,艮曰 二£ , 进而得出AM的长.本题主要考查了折叠问题、勾股定理以及相似三角形的判定与性 质，解决问 题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理 进行计算求解.折叠是 一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不 变，对应边和 对应角相等.19 .【答案】 解：设a2=b3=c5=k, 贝U a=2k, b=3k, c=5k, 代入 2a+b-c=4 得：4k+3k-5k=

23、4, 解得：k=2,即 a=4, b=6, c=10.【解析】设：=： = D=k,得出a=2k, b=3k, c=5k,代入2a+b-c=4即可求出 k. - J本题考查了比例的性质和解一元一次方程，能得出关于k的方程是解此题的关键.20 .【答案】解：(1) =DE IBC,.ZADEMBC,.AEAC=ADAB=13,.AE=13AC,.DA=a, DC=b,. AC=DC-DA=b-a,. AE=13AC=13 (b-a),贝U DE=DA+AE=a+13 (b-a) =23a+13b;(2)如图，过点 E作EM /DA交DC于M ,作EN /DC交DA于点N,则DM、DN是向量 DE

24、在a、b方向上的分向量.【解析】、一 _ _ . AE AD 11）由DE/BC 证 AADEsAABC 得答=黑=AC AU .5即AE= ： AC ,继而可得 方=沅=了-丁 , AE =：而=:C 口），根据 . 二，1.+=+可得答案；2）过点E作EM IDA、EN /DC,根据平行四边形法则即可得.此题考查了平面向量的知 识以及平行四边形的性质.注意掌握平行四边形法 则与三角形法则的应用是解此题的关键.21 .【答案】 解：（1）.AD /BE/CF,. ABBC=DEEF=23 ,. ABAC=25 ,.AC=10,.AB=4,. BC=10-4=6 ;（2）如图所示：过点 A作A

25、G/DF交BE于点H,交CF于点G,又.AD /BE /CF , AD=7 , .AD=HE=GF=7,.CF=12,. CG=12-7=5 ,. BE /CF,. BHCG=ABAC,. BH=2, . BE=2+7=9 .【解析】 ABDE 21）由平遂分线段成比例定理和比例的性 质得出而二而二?，即可求出AB的长，得出BC的长;2）过点A作AG/DF交BE于点H,交CF于点G,得出AD=HE=GF=7 ,由平行线分线段成比例定理得出比例式求出 BH,即可得出结果.本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段 成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线

26、分线段成 比例求出BH是解决问题的关键.22.【答案】(1)证明：.EM是线段BD的垂直平分线, .ED=EB,.zEDB=ZB,. DE 平分 ZCDB , .zCDE=ZEDB , .zCDE=ZB, . zDCE=ZBCD ,. KDEs 工BD,.CDBC=DEBD,.ED=EB,.CDBC=BEBD;(2)解：zACB=90° , AB=10, cosB=45, .AC=6, BC=8,.EM是线段BD的垂直平分线，. DM=BM,. CDBC=BEBD=BE2BM ,. CD8=BE2BM ,即 CD=4BEBM ,. COSB=BMBE=45,. CD=4 >54

27、=5.【解析】1）由EM是线段BD的垂直平分线，可证得/EDB=/B,又由DE平分/CDB, 可证得/CDE=ZB,继而可证得CDEs/CBD,然后由相似三角形的对应边 成比例，证得结论；-_ L - G DE2） feCB=90 , AB=10 , cosB=，可求得AC=6 , BC=8,又由和=行 , JjLfl./ U jLj则可求得CD=五/，继而求得答案.此题考查了相似三角形的判定与性 质、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角函数等知 识.止胆难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思 想的应用.23.【答案】 解：（1） .四边形ABCD是正方形，正方形 ABCD的边长为2,

28、. AB=AD=2, /A=/EDF=90°, .AE T2,. DE=2-12=1.5, .FE1BE, .zAEB+ZDEF=90 °,而 ZAEB+ ZABE=90° , .zABE=ZDEF ,而 ZA=ZEDF, ."BEsREF,. AB: DE=AE: DF ,即 2: 32 = 12: DF , . DF=38;(2) .四边形ABCD是正方形，正方形 ABCD的边长为2, . AB=AD=2, ZA= ZEDF =90 °,1 .tanZABE T2=AEAB, . AE=1 ,即 DE=AE=2-1=1 ,过点G作GM LA

29、D于M,如图，2 .FEXBE,3 .zAEB+ZDEF=90 °,而 ZAEB+ ZABE=90° , .zABE=ZDEF ,而 ZA=ZEDF, ."BEsREF,. AB: DE=AE: DF ,即 2: 1=1 : DF , . DF=12,四边形ABCD为正方形， .MDB=45°,4 .ZDGM为等腰直角三角形， .DM=MG,设 DM=x,则 MG=x, EM=1-x,. MG /DF ,5 .ZEMGs 庄DF,. MG： DF=EM： ED,即 x： 12= (1-x) : 1,解得 x=13, . S4eg=12X 1 X 1316

30、 .即ADEG的面积为16.【解析】Q）求出DE,关键相似三角形的判定得出 BBEs/DEF,得出比例式，代入 即可求出答案；2）求出DE和AE,过点G作GMSD于M,女典，先证明BEs竺EF,利 用相似比计算出DF=；,再利用正方形的性质判断AGM为等腰直角三角形 得到DM=MG ,设DM=x ,则MG=x, EM=1-x ,然后证明AEMGs任DF,则利 用相似比可计算出GM,再利用三角形面积公式计算Sdeg即可.本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具 有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性

31、质.熟练运用相似比计算线段的 长.24.【答案】 证明：(1) .BC2=BF?BA,. BC: BF=BA: BC,而 ZABC=ZCBF, .ZBACs 田F,. DE /BC, .ZBCFsRGF,ZDGFs 旭AC,. DF: BC=DG: BA,.DF ?AB=BC?DG；(2)作AH/EC交CF的延长线于H,如图,. DE /BC,. AH /DE,点E为AC的中点，.AH=2EG,.AH /DG,ZAHFs至GF ,.AHDG=AFDF,2EGDG=AFDF,即 2DF?EG=AF?DG.【解析】1）由BC2=BF?BA, BC=/CBF 可判断BACs/BCF,再由DE/BC 可判断BCFs2GF,所以ADGFs/BAC,然后利用相似三角形的性质即可得到结 论；2）伍H /BC交CF的延长线于H,女隔，易得AH/DE,由点E为AC的中点得AH=2EG ,再利用AH /DG可判定 BHFs2GF,则