初中函数知识点总结

1、1初中函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)平面直角坐标系K定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系9初中函数知识点总结2.3个象限内点的特征:第一象限工(+, +>第二象限:+)第三象限：-)第四象限工()点 P (xy), J0IJ x>0,y>0; 点 P Cx,y),则 x<0,y>0： 点 P (xTy)j 则 xVO,yV。： 点 P Cx,y)，则 xAOyVO;3.坐标轴上点的坐标特征；x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为(0.0),两坐标轴的 点不属于任何象限，4、点的对称特征：

2、已知点关于x轴的对称点坐标是横坐标相同，纵坐标反号 关于芋轴的对称点坐标是En、n)纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是Cmr)横，纵坐标都反号5,平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征；平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等：平行于¥轴的直线上的任意两点二横坐标相等,6、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等.第二i四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数.7、点P (x,y)的几何意义：点P (x.y)至J x轴的距离为M，点P (xTy)到y轴的距离为|x«点P (x,y)到坐标原点的距离为 卜+8,两点之间的距离：X轴上两点

3、为B(士 隰一)型一勺|y轴上两点为(<°，乂)、d(°5)|c:n(-3一p"已知A($M、B(”，j abh卮 Ml *rj9,中点坐标公式已知A(阳,)、R(%fJ M为AB的中点，则工卜1t巨尹，1仇点的平移特征：在平面直角坐标系中，将点(xTy)向右平移a个单位长度，可以得到对应点(x-a, y)?将点(x,y)向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a , y)；将点(x,y)向上平移b个单位长度，可以得到对应点G, y+b)；将点(xTy)向下平移b个单位长度,可以得到对应点(x, y-b),注意二对一个图形谜行平移，这个图形上所有点的坐标都

4、要发生相应的变化;反过来， 从图形上点的坐标的加减变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移、函数的基本知识基本概念K变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量，常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量n工函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的 值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把k称为自变早，把y称为因变量，v是 x的函数.*判断A是否为B的函数，只要看R取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应3,定义域和值域：定义域，一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域.值域：一般的，一个函数的因变量所得的值的范围，叫做这个函数

5、的值域。4,确定函数定义域的方法：（I）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；U）关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零；C4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标， 那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.6,函数解析式;用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式.7：墙或性（单调性：增减性又叫单调性，分两种情况：单调增、单调减单调增：y随x的增大而增大单调减

6、：y随x的增大而减小口诀:“同增异减”，注意：单调性只适用于单调区间，即有一个X只有唯一确定的*与之对应时.8、描点法画函数图形的一般步舞第一步1列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标.相应的函数值为纵坐标，描 出表格中数值对应的各点）1第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来），9、函数的表示方法列表法；一目了然1使用起来方便但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数 之间的对应规律.解析式法；简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系. 但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式

7、表示.图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系“一次函数图象和性质一、一次函数的基础知识1.定义；一般地，形如y-kx+b（kb是常数，k/Q）t那么y叫做x的一次函数当b=0时.kkx+b即产人，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的 一次函数一一次函数的二般形式：y=kx+b也起）说明：k不为零 x指数为1b取任意实数2x解析式:y=kx+b（k* b是常数，k#0）八图像:一次函数y=kx+b的图象是经过（0, b）和（-2, 0）两点的一条直线.我k们称它为直线y=k"b4、增减性（单调性）二QU, y随x的增大而增大（单调增）；k<0, y随x而

8、增大而减 小（单调减）5、必过点：（0, b）和,0）：理由如下: y=kx+b中， k当x=o,时，y=所以，该函数经过（, ）点当y=o、时，x=所瓦该函数经过（, ）点所以，一次函数廿=区+ 8的图象是必经过（-g, 0）和6. b）两点的一条K直线t注；两点确定一条直线。画图时，可通过这两点来确定直线.6、一次函数图像的画法：两点法计算必过点（0, b）和（-?, 0）描点（有小到大的顺序）连线（从左到右光滑的直线）7.增减性i kR, y随n的增大而增大；k<0, y随n增大而减小,8,倾斜度（只与k相关）:同越大，图象越接近于y轴；|k越小，图象越接近于x轴以截点（与b有关）

9、：（直线与y轴的交点，该点到原点的距离叫做截距）当b>0时直线与y铀交于原点上方（即y轴的正半轴"当b<0时，直线与y轴交于原点的下方.（即y轴的负半轴）1g图像的上下平移（只与b相关）；直线y=kx+b,它可以看作由直线厂kx平移巾个单位长 度得到一当b>0时，将直线尸kx的图象向上平移卜个单位；口诀“正上”当b<0时，将直线打kx的图象向下平移b个单位.口决负下“例如:广2/3.将直线 厂2x 的图象向一上平移 3 个单位尸2x3将直线 f 的图象向 下平移 3 个单位练习：y=5尤电将直线y=5x的图象向 下 平移6个单位注：一次函数kkx叱图像的平移，

10、只与b有关，将kkx的图像平移，平移方向：b正上移，b负下移11、一次函数 >'=Q卡卜的图象与性质bX)b<0b O（正比例函数）经过：第一、二*三象限及过工第一*三四象 不经过,第四象限限不经过：第二象限经过：第：三象限不经过：第二、四象限增减性（单调性）：图象从左到右上升，y随乂的增大而增大，单调增经过第一、二、四象限经过第二、三，四象限 经过第二、四象限不经过，第三象限 不经过：第一象限不经过:第一,三象限增减性（单调性）：图象从左到右下降，y随k的增大而减小，单调减必过点：经过0）和（。，b）两点，正比例函数即是经过原点（0, kI0）12、两直线之间的位置关系（

11、平行或相交）：若直线y=代工+匕 仁&平行：当比二人时，小- - k +bi相交：将两直线方程联立成一个方程组.乩，解得结果.即为交点.13、二元一次方程组与一次函数的关系：两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解.14、应用：要点是（1）会通过图象得信息；（2）能根据题目中所给的信息写出表达式。15、【思想方法】数形结合。巩固练习：试试画出y=K, y=K+l, y二*尸-x+l的图像反比例函数图象和性质一、反比例函数的基础知识1、定义：一般地，形如广-为常数I H 的函数称为反比例函数.x了还可以写成产二依TX2、解析式：y =- 1为常数,）x注：反比例函数解析式的特征：

12、等号左边是函数，等号右边是一个分式*分子是不为零的常数火（也叫做比例系数A ）, 分母中含有自变量力 且指数为I.比例系数#工。自变量¥的取值为一切非零实数。（反比例函数有意义的条件二分母二0） 工函数F的取值是一切非零实数”3、增减性（单调性）：kX）, y随x的增大而减小（单调减）；X0, y随x增大而增大（单 调增）4.反比例函数的图象：双曲线（1）图像的画法：描点法沿。的两边分别取三对或以上互为相反的数） 列表（应以O为中心，描点（有小到大的顺序）连线（从左到右光滑的曲线）是中心对称图形,对称中心是原点（2）时称性:O）是轴对称图形，对称轴是直线y二工和j，二 -工（3）反比

13、例西数炉=t a为常数，小二。）中自变量0,函数值j，。，所以双曲线是 X不经过原点,断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐A >0时两支曲缕分别位T ：象限且每一象限内第U的增大而减小标轴相交.，时两支曲线分别位于二、四象限且每 象限内y随工的增大而峭大（4）比例系数上的几何含义（右图）：反比例函数y=上出丁中比例， x几何意义，即过双曲线V=& （%。）上任意一点P作工轴、y轴垂线，t jr别为A、B,则所得矩形OAPB的面积（阴影面积）为k.（由¥= &变形可得士 kry因为面积为正数，所以k取绝对值0 5、反比例函数性质如

14、下衰;k的符号k>0k<0图像的大致位置经过象限象限增减性（单调性工 单调区间内讨 论）在每一象限内，从左到右 看，¥随x的增大而减± ；（70, 0） U （0, 1 宛）区在每一象限内，从左到右 看V随X的增大而增大（-oc, 0） U （0, +x）区间内，单调减间内，单调增图像的对称性中心称图形,对称中心是原点；同时，也是轴对称图形，对称轴是直线L和直线 y=-x6、1思想方法上数形结合（D应用在广二上上g7、应用<2）应用在廿=：;其要点是公进行“数形站价”来解决何会其它二次函数图象和性质一、二次函数的基础知识：1,定义：一般地,形如y=*+版+

15、 C"是常数.。射。）的函数，叫做二次函数.这里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数口工3 而入。可以为零. 二次函数的定义域G的取值范围）：全体实数，R.2 .解析式（表达式）：一般式：柢"（o壬白，人.是常数）：说明:等号左边是函数，右边是关于自变量工的二次式，的最高次数是L *Nc是常数，是二次项系数,8是一次项系数，c是常数项.对一次函数*经过配方变形为顶点式上 ¥f 6与二厂/其顶点坐标为匚?, 4二一"）加 4（7Ztr 4 3补充：二次函数解析式的表示方法（三种）工一般式: y = a:+bx+c （讶，b t c 为常数, ”。）；顶

16、点式疗+k 1、史为常薮，"“）；抛物线的顶点P （h, k）对于二次啪数丫 ="丁人叶c鳞过前方变形尚点式：v-iitx卜且十把土，其面点里分为储金、但心） 2a 4"%4<j：，,两根式（交点式）1j=和一册）僮-马）（"MU.¥:是抛物线与A,轴两交点的横坐标）.仅限于与X轴有两个交点八（XI, 0）和B Cx21 0）的抛物线，即AK）其中=b 4- 2a（即一元二次方程求根公式）注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：L b4cjc bh + b 4t/c h v/j_ 4t/c+h=k = x. = ,九二laAa 1 2a

17、1 2a注意；任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式.但并非所有的二次函数都可以写 成交点式，只有抛物线与工轴有交点，即力-4«之0时，抛物线的解析式才可以用交点 式衰示.二次函数解析式的这三种形式可以互化,二次函数厂（”-力广十七与”+酎+的比较 从解析式上者,y二事（一”力+*与丁 =d+限+ £,是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即¥生十处二贮，其中心-色，上三处法2） 4u2a 4a3、二次函数解析式的确定，根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的 解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题

18、简便.一般来说，有如下几种情 况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式：2-已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；工已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.4、二次函数,一"r+版”图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数J,一应，h * £化为顶点式F 一 （7（T* A ,确定其开口方向*对称轴及项点坐标：然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点（0.口、 以及（。3）关于对称轴对称的点（2A）.与工轴的交点住.。）, 口U）（若与工轴没有交点, 则取两组

19、关于对称轴对称的点），画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点,与刀轴的交点，与）轴的交点.4.二次函数的图像：抛物线（1）对称性二抛物线是轴对称图形，对称轴：直线X 2,对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.特别地，当b=0时，弛物线的对称轴是y轴（即直线x-0）（2）抛物线有一个顶点巳 坐标为P J."*"）2。 4a当-"F时，P在y轴上；当3=厅 4呢力时，P在x轴上。1 1,是常毕项）ahc与抛物线的关系（仃是二次项系数，片是一次项系数,（1） a决定抛物线的开口方向和大小：开口方向：a为正侬。），开口朝上，有最小值； a为负gv。），开口朝下

20、，有最大值；开口大小：a的绝对值越大.抛物线的开口越小.（2） a、b共同决定对称釉：直线x=-A-初的符号决定对称轴工=-二的位置，分两种情况；2a。当注与b同号时（即如0）,对称轴在y轴左侧;当俎与b异号时（即abVO）,对称轴在y轴右侧。概括的说就是“左同右异”（3）常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（O,分三种情况:当g川时，抛物线与j轴的交点在4轴上方，即抛物线与.，轴交点的纵坐标为正;当工时，抛物线与丁轴的交点为坐标原点，即抛物线与丁轴交点的纵坐标为。;当时，抛物线与丁轴的交点在耳轴下方，即抛物线与j轴交点的纵坐标为负.总之，只要".方都确定，那么这条抛物线就

21、是唯一确定的.6、抛物线与x轴交点个数24改0时,抛物线与n轴有2个交点。A （"0）和B （X2,0）&二*-4.=0时，抛物线与x轴有1个交点。顶点P（-W,O）2a二/-4皿,0时，抛物线与n轴没有交点口配图：开口向上（开口向下，情况类似）7类比一元二次方程的根的情况：特别地，二次函数（以下称函数）,=«/十床当片0时，二次函数为关于K的一元二次方程（以下称方程），即6+既+ e此时，函数图像与X轴有无交点即方程有无实数根。 函数与X轴交点的横坐标即为方程的根。8,二次函数F二/工+?丫 +处."的图像和性质 2口4a对称轴顶点坐标£7<0当x=时, y有最一值，y当芯= 时, y有最 值.*增减性在对称轴左侧在对称轴右侧Y随x的增大而V随X的增大而y随x的增大而y随x的增大而ii初中函数