小学奥数教程：任意四边形、梯形与相似模型_全国通用(含答案)

1、例题精讲板块三相似三角形模型（二）沙漏模型（一）金字塔模型他ABAE DE AFAC - BC - AG ' SAADE : SA ABC =AF ： AG -（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似),所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比;相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.在小学奥

2、数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.【例1】 如图，已知在平行四边形 ABCD中，AB=16, AD =10, BE =4 ,那么FC的长度是多少?【考点】相似三角形模型【难度】2星【题型】解答图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB平行于CD,一 一_ 一,4BF: FC= BE CD4 : 16= 1:,4所以 FC=10M=8.1 4例2DE如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC, AB的长为15厘米，AC被分为60等份.如果小玻璃管口 正好对着量具上20等份处（DE平行AB ）,那么小玻璃管口径 DE是多大？B【考点】相似三角形模型【难度】3星【

3、题型】解答【解析】 有一个金字塔模型，所以 DE:AB = DC:AC, DE:15 =40:60 ,所以DE =10厘米.【答案】10 例 3 如图，DE 平彳T BC,若 AD:DB=2:3 ,那么 Sade ：$ ecb =【考点】相似三角形模型【难度】2星【题型】填空【解析】 根据金字塔模型 AD： AB =AE： AC =DE : BC =2： (2 +3) =2:5 , Saade ： SA abc = 22 ：52 =4： 25 , 设 Sa ade =4份，则 Saabc =25 份，Sa bec =25 + 5x 3 =15 份，所以 Sa ade ： Sa ecb = 4

4、：15 【答案】4：15【例4】 如图， ABC中，DE , FG, BC互相平行，AD=DF=FB,则Sa ADE ： Sg边形 DEGF ： SH边形 FGCB =.【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】填空【解析】设Saade =1份，根据面积比等于相似比的平方，所以Saade ： Saafg = AD2 ： AF 2 =1： 4 , SA ADE ： SA ABC =AD ： AB =1： 9 ,因此 SA AFG =4 份，SA ABC =9 份，进而有 S|边形 DEGF =3 份， S四边形FGCB =5伤，所以 SA ADE ： SH边形DEGF ： S四边形FGCB =1

5、：3：5【答案】1：3：5【巩固】如图， DE平行BC,且 AD=2 , AB=5, AE =4 ,求AC的长.【考点】相似三角形模型【难度】3星 【题型】解答【解析】由金字塔*II型得 AD： AB =AE： AC=DE： BC=2：5 ,所以AC=4 + 2M5 = 10【答案】10【巩固】如图，4ABC 中，DE , FG , MN , PQ , BC互相平行， AD = DF = FM =MP = PB ,贝U S»A ADE : S3边形 DEGF : S3边形 FGNM : S3边形 MNQP : S3边形 PQCB = -【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】填空2

6、2【解析】设&ADE =1份，SaadeSafg=AD : AF =1:4,因此Safg =4份，进而有 鲍边形degf=3份，同理有S四边形FGNM =5 份，% 边形MNQP =7份， &边形PQCB 二 9份所以有 SA ADE : S3边形 DEGF : S3边形 FGNM : S3边形 MNQP : S3边形 PQCB = 1: 3： 5:7:9【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列.【答案】1:3:5: 7:9【例5】已知 ABC中，DE平行BC ,若AD: DB =2:3 ,且S弟形dbce比SAade大8.5cm2

7、,求SAabc【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】解答【解析】 根据金字塔模型 AD: AB =DE : BC =2: (2 +3) =2:5 , Saade : Sa abc =22 : 52 = 4 : 25,设 SAADE =4 份， 则Sa abc =25份，S弟形d bce=25-4 = 2份，S梯形d b c e比Sa ade大17份，恰好是8.5cm,所以 SAabc =12. 5 cm【答案】12.5例 6 如图：MN 平行 BC,SA mpn ：SAbcp=4:9 , AM =4 cm ,求 BM 的长度【考点】相似三角形模型【难度】3星 【题型】解答【解析】在沙漏模型

8、中，因为 SAmpn ：Sabcp =4:9 ,所以MN:BC=2:3 ,在金字塔模型中有：AM : AB =MN :BC =2:3 ,因为 AM =4 cm , AB=4_2M3 = 6 cm ,所以 BM =64=2cm【答案】2【巩固】如图，已知 DE平彳T BC , BO: EO =3: 2 ,那么AD: AB =.【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】填空【解析】 由沙漏模型得 BO: EO = BC: DE =3: 2 ,再由金字塔模型得 AD: AB = DE : BC = 2:3 .【答案】2:3【例7】1如图，MBC 中，AE =AB , AD =4平方厘米.11AC,E

9、D与BC平行，&EOD的面积是1平方厘米.那么iAED 4的面积是【考点】相似三角形模型1【解析】因为AE AB ,4根据相似模型可知【难度】3星1AD = AC ,4【题型】填空ED与BC平行,ED:BC=1:4, EO:OC=1:4, S医OD =4S eOD = 4平方厘米,贝U S传de =4+1 =5平方厘米,1又因为S浅ed : S8de = AD : DC =1:3所以S梦d =5又一=-35-（平方厘米）.例8 如下图，正方形 ABCD边长为10厘米，BO长8厘米。AE=厘米。【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第4题，10分【

10、解析】 4AOB与4EDA相似，对应边成比例。 AB : BO =AE : AD , AE =ABX AA BO = 10X10元=12.5（厘 米）。【答案】12.5例9 如图，已知正方形 ABCD的边长是12厘米，E是CD边上的中点，连接对角线 AC,交BE于点O, 则三角形AOB的面积是（）平方厘米。A、24B、36C、48D、60【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】选择【关键词】华杯赛，五年级，初赛【解析】C【答案】C【例10在图中的正方形中，A ,B, C分别是所在边的中点，|_CDO的面积是|_ABO面积的几倍?【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】解答【解析】 连接BC

11、 ,易知OA/ EF ,根据相似三角形性质，可知OB:OD=AE: AD ,且（AEE IAEE :2,11所以VC D O的面积等于VCBO的面积；由OA='BE =- AC可得C d3 O A所以24Svc DS C B3）VS , A艮BVCDO的面积是VABO面积的3倍.【答案】3【例11】图30-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米.问：阴影部分的面积是多少平方厘米【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】解答【解析】如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG.如图，线段 AB与BC垂直，已知 AD=EC=4, BD =BE =6 ,那么图中阴影部分面积是多

12、少?设4AEG的面积为x,显然AEBG、 BFG > AFCG的面积均为x,则4ABF的面积为3x,一 1 一 一 一. 100400S为BF =父20父10 =100即x =,那么正方形内仝白部分的面积为4x =.233所以原题中阴影部分面积为20 M 20-她 = 800 （平方厘米）.33【答案】8003【例12】【解析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看.作辅助线 BO,则图形关于 BO对称，有 Sado=Sceo, Sdbo=Sebo,且 Sado：Sdbo=4：6 = 2：3 .设ADO的面积为2份，则|_DBO的面积为3份，直角三

13、角形 ABE的面积为8份.因为Sabe =6x10-2=30,而阴影部分的面积为4份，所以阴影部分的面积为30+8x4=15.解法二：连接 DE、AC .由于AD=EC=4, BD = BE=6,所以DE / AC ,根据相似三角形性质，可知 DE: AC=BD:BA=6:10=3:5 ,根据梯形蝴蝶定理，S DOE : S DOA : SICOE : SICOA =32 :f3x5Yf3x552 =9:15:15:25 ,DOE DOA COE COA所以即影：S弟形adec =(15+15 >(9 +15+15+25 )=15: 32,即 南影 J5S弟adec ；321 一一 11

14、5一又SW形ADEC15=m10m10m6M6=32 ,所以 Si影=S梯形ADEC =15 -2232【例13如图，四边形 ABCD和EFGH都是平行四边形，四边形 ABCD的面积是16, BG:GC = 3:1,则四 边形EFGH的面积=.【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】填空【关键词】华杯赛，精英邀请赛【解析】因为FGHE为平行四边形，所以 EC/AG,所以AGCE为平行四边形.1 一1 一BG : GC =3.1 ,那么 GC : BC =1.4,所以 Si AGCE =父 S ABCD =父 16 = 4 .4 -4又AE =GC，所以AE: BG =GC : BG =1:3

15、 ,根据沙漏模型，3 一 3 一FG : AF =BG: AE =3:1 ,所以 Sifghe = S agce = m 4 =3 .F 4 -4【答案】3【例14】已知三角形ABC的面积为a , AF:FC=2:1, E是BD的中点，且EF / BC ,交CD于G ,求阴 影部分的面积.【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】解答【解析】已知AF : FC=2 : 1,且EF / BC ,利用相似三角形性质可知EF :BC = AF : AC =2:3 ,所以2EF =一 BC,且 Saef :SABC =4:9 .3 一1 1 2又因为E是BD的中点，所以EG是二角形DBC的中位线，那么

16、EG =1 BC , EG :EF =匕=3: 4 ,2 2 3a所以 GF:EF =1:4,可得 Scfg : S.afe =1:8 ,所以 SCFG : S ABC = 1:18 ,那么SCFG = 一 1818【例15】已知正方形ABCD ,过C的直线分别交 AB、AD的延长线于点 E、F,且AE=10cm, AF=15cm ,求正方形ABCD的边长.方形零件, 是多少？A【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】解答观察图中有金字塔模型 5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以有PN APBC - ABPH BPAD AB '设正方形的边长为 x毫米，PN +BCPHADA

17、P BP口n x x= 十 =1 ,即 十 =1 ,解得x=48 ,即正方形的边AB AB120 80【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有BC : AF =CE :EF , DC : AE =CF : EF ,设正方形的边长为xcm,所以有 约+生 =CE+CF=1 ,即2+2=1,解得x = 6,所以正方形的边AF AE EF EF15 10长为6 cm .方法二：或根据一个金字塔列方程即上=竺二x ,解得x =61015【答案】6 【例16如图，三角形 ABC是一块锐角三角形余料，边 BC =120毫米，高AD=80毫米，要把

18、它加工成正使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在 AB、AC上，这个正方形零件的边长长为48毫米.48【巩固】如图，在4ABC中，有长方形 DEFG , G、F在BC上，D、E分别在 AB、AC上，AH是4ABC 边BC的高，交 DE于M, DG:DE=1:2, BC=12厘米，AH =8厘米，求长方形的长和宽.【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】解答【解析】观察图中有金字塔模型 5个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以DE ADBC ABDGDE DG AD BD2x x所以有 + = + =1 ,设DG =x，贝U DE =2 ,所以有 一 + =1 ,解得AH24BDAB4

19、8BC AH AB因此长方形的长和宽分别是AB48厘米，24厘米.12 8【答案】长史，宽空【例17】图中ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个三角形 在AB上截得的EF长度为4cm,那么三角形 GDC的面积是多少？【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】解答【解析】根据题中条件，可以直接判断出EF与DC平行，从而三角形 GEF与三角形GDC相似，这样，就可以采用相似三角形性质来解决问题.做GM垂直DC于M ,交AB于N .因为EF / DC,所以三角形 GEF与三角形GDC相似，且相似比为 EF :DC = 4:12 =1:3 ,所以 GN :GM

20、 =1:3 ,又因为 MN =GM -GN =12,所以 GM =18(cm),所以三角形GDC的面积为1 X12x18=108(cm2【答案】1081和3,割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积【例18如图，将一个边长为 2的正方形两边长分别延长 是多少？【考点】相似三角形模型【难度】3星【解析】根据相似三角形的对应边成比例有:【题型】解答NF 3 EM 1=;=1 2 2 32 3 1 2贝U NF =5,9-1Sb -22【例19】图中的大小正方形的边长均为整数 是.(厘米)，它们的面积之和等于52平方厘米，则阴影部分的面积【难度】3星【考点】相似三角形模型【关键词】101中学【题型】填空

21、【解析】设大、小正方形的边长分别为m厘米、n厘米（mn）,则m2+n2 =52 ,所以m<8 .若m=5 ,则m2十n2 <52 m2 =50 <52 ,不合题意，所以 m只能为6或7.检验可知只有 m=6、n = 4满足题意， 所以大、小正方形的边长分别为6厘米和4厘米.根据相似三角形性质， BG:GF =AB:FE =6: 4=3:2 ,而BG+GF=6,得BG=3.6（厘米），所以阴影部分的面积为： 1 -X6X3.6 =10.8（平万厘米）. 2【答案】10.8【例20如图，O是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4,那么阴影部分的一块直角三角形的

22、面积是多少？【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】解答【解析】连接OB,面积为4的三角形占了矩形面积的-,所以SAOEL43=1，所以OE： EA=1： 3,所以4CE： CA= 5: 8,由三角形相似可得阴影部分面积为8（-）2 =竺.888【例21】已知长方形 ABCD的面积为 EHO的面积是多少厘米？70厘米，E是AD的中点,G是BC边上的三等分点，求阴影【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】解答【解析】因为E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成6份的话，那么 ED=AD=3份、BF=FG=GC=2份，大家能在图形中找到沙漏AEOD和ABOG

23、：有ED： BG=3 ：4,所以OD：BO=3 ：4,相当于把BD分成（3+4 ）7份，同理也可以在图中在次找到沙 漏：4EHD和4BHF也是沙漏，ED ： BF =3 ：2,由此可以推出：HD ： BH =3 ：2,相当于把BD分成（3+2）5份，那么我们就可以把 BD分成35份（5和7的最小公倍数）其中OD占15份，BH占14份， .35. HO占6份，连接EB则可知ABED的面积为70+4=35,在BD为底的三角形中 HO占6份，则面356积为：父=3（平方厘米）.235【答案】3例22 ABCD是平行四边形，面积为 72平方厘米，E、F分别为AB、BC的中点，则图中阴影部分的 面积为

24、平方厘米.【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】填空【解析】方法一：注意引导学生利用三角形的中位线定理以及平行线的相关性质.设G、H分别为AD、DC的中点，连接GH、EF、BD .可付S AED = S S平行四边形 ABCD ）L 4对角线BD被EF、AC、GH平均分成四段，又 OM / EF ,所以DO :ED =乌BD T BD = 2:3 ,44OE : ED =（ED -OD）: ED =（32 ）3=1: 3,所以Saeo1 1 -1 1M S平行四边形 ABCD7 72 =6 （平方厘米），Sj ado = 2 x S AEO = 12 （平方厘米）.3 43 4同理可得Sc

25、fm =6平方厘米，Scdm =12平方厘米.所以 S|_ABC S_ AEO -S CFM 于是，阴影部分一的面积为 方法二：寻找图中的沙漏，=36 6 6=24（平方厘米），24+12+12 =48（平方厘米）.AE:CD=AO:OC=1:2 , FC:AD=CM:AM二等分点， SAODM =一 Sp行四边形ABCD611=M72 =12（平万厘米）,SA AEO = SA OCD64=1:2,因此O,M为AC的1=_父12父2=6（平万厘米）, 4同理SAfmc =6（平方厘米），所以 4影=72-12 -6 6 = 48 （平方厘米）.【答案】48【例23如图，三角形PDM的面积是8

26、平方厘米，长方形 ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，M是BC的 中点，则三角形APD的面积是 平方厘米.【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】填空【解析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中点，一般需要通过这一点做垂线.取AD的中点N ,连接MN ,设MN交PD于K .则三角形PDM被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边MK ,可知三角形PDM的面积1 88 4等于一MMK MBC =8（平万厘米）,所以MK=-（厘米），那么NK =4=一（厘米）.2 33 3因为NK是三角形APD的中位线，所以AP =2父NK =8（厘米），所以三角形APD的面积

27、为31 8_黑_父6=8（平万厘米）.2 3【答案】8 【例24如图，长方形 ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、交 AF 于 O ,已知 AH =5 cm , HF =3 cm ,求 AG .【解析】由于AB / DF ,利用相似三角形性质可以得到AB:DF =AH : HF =5:3 ,又因为E为AD中点，那么有 OE:FD=1:2,3所以AB:OE =5: =10:3 ,利用相似三角形性质可以得到AG:GO=AB:OE=10:3 ,2-1而 AO = AF2401一 10 40=3 父(5+3 )=4(cm ),所以 AG =4 x _(cm >13例25右图中

28、正方形的面积为 1,1 一E、F分别为AB、BD的中点，GC =FC .求阴影部分的面积.3【考点】相似三角形模型3星【题型】解答【解析】题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质.阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积.BC于H , GI垂直BC于I .可以作FH垂直根据相似三角形性质，CI : CH =CG: CF =1:3 ,_ _ 1BI :BC =(61 ):6=5: 6 ,所以 ”ge =-1<又因为一2一 24CH =HB ，所以 CI :CB

29、= 1:6 ,即【答案】-5-24【例26梯形ABCD的面积为12, AB=2CD, E为AC的中点, 的面积是.BE的延长线与 AD交于F ,四边形CDFE【考点】相似三角形模型【难度】4星【解析】延长BF、CD相交于G .由于E为AC的中点，根据相似三角形性质，CG=AB=2CD, GD角形性质,AF : FD =AB:DG =2:1 , GF :GB=1:3 ,而 S宓BD : SBCD11=GC=AB ,再根据相似二 22=AB：CD =2 :1 ,所以S.BCD又 SGDFS. GBC【答案】831- 1. -Sabcd =-父12 =4 , S而BC = 2SBCD =8 .331

30、 111-11彳黑鼻=泊，SEBC =- SGBC ,所以 SCDFE = 1-；2 3 622 6一S 'GBC 3【例27如图，三角形 ABC的面积为60平方厘米，D、E、F分别为各边的中点，那么阴影部分的面积平方厘米.AAA【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】填空【解析】阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差.而从图中来看，既可以转化为 ABEF与AEMN的面积之差，又可以转化为ABCM与&CFN的面积之差. （法1）如图,连接DE .由于D、E、F分别为各边的中点，那么 BDEF为平行四边形，且面积为三角形ABC面积的一

31、半,即30平方厘米；那么 ABEF的面积为平行四边形 BDEF面积的一半，为15平方厘米.根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形 ABC的中位线，长度为 BC的一半，则1EM : BM =DE :BC =1:2 ,所以 EM =EB ;31EN : FN =DE : FC =1:1 ,所以 EN =1EF .21 111那么 任MN的面积占ABEF面积的x1 ,所以阴影部分面积为 15M.1 1J=12.5（平方厘米）.（法2）如图，连接AM .根据燕尾定理， S ABM : S BCM= AE：EC=1：1, S占cm : S售cm =AD :DB =1:1 ,1 1所以SaCO =

32、-SC =- M60 =20平万厘米，3 3F111而S宙DC =2S小BC =3父60 =30平方厘米，所以 S西CN =S幽DC =7.5平方厘米，那么阴影部分面积为 207.5=12.5（平方厘米）.【总结】 求三角形的面积，一般有三种方法：利用面积公式：底 X高。2;利用整体减去部分；利用比例和模型.【答案】12.5【例28如图，ABCD是直角梯形,AB =4,AD =5,DE =3 ,那么梯形ABCD的面积是多少？【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】解答【解析】 延长EO交AB于F点，分别计算 AODAAOBADOC,BOC的面积，再求和.DE ： BF =DO：OB =3 ：

33、11 SA AOD , SAAOB =3, 1 ； SADOC - SABOC =3, 1SA AOD = SA BOC_1一又 Sa abd =一父4父5=1022 c 3c3 Sa AOD - -Sa ABD -7.5, SA AOB -2.5, SABOC -7.5, SA DOC - 3SABOC 一3 7.5 - 22.54S弟形 ABCD =7.5 2.5 7.5 22.5=40【答案】40【例29】边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米?【考点】相似三角形模型【难度】3星【解析】给图形标注字母，按顺时针方向标注, 于O,H两点，AO：

34、OC=AB： EC =12 ：20=3：5 ,【题型】解答 大正方形为ABCD,小正方形为MNDE , EB分另1J交AC,ADAH : BC=AO：OC =3 ：5AO： AC =3：8, AH：AD=3：5, SAHO ： SAADC=9：40, SA ADC12二一12 =72Sa AHO29 SSA ADC404072=16.2【答案】16.2EF =16, FG =9 ,求 AG 的长.【例30如右图，长方形 ABCD中,【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】解答【解析】因为DA / BE ,根据相似三角形性质知DG AGGB GE '又因为DF / AB ,DG FG=

35、 ?GB GAAG 所以AGGE【答案】15【例31如图，已知正方形AF与BE相交于点G ,求 SA ABG【关键词】迎春杯【解析】方法一：连接AE ,延长AF , DC两条线交于点M，构造出两个沙漏，因此CM =4 ,根据题意有CE =3 ,再根据另一个沙漏有44.32SA ABG=SA A B (4 4 2)4 71 11 122AG =GE FG =25父9=225=15 ,所以 AG=15.ABCD的边长为4, F是BC边的中点，E是DC边上的点，且 DE:EC=1:3,所以有 AB:CM =BF:FC=1:1 ,GB:GE=AB: EM =4:7 ,所以方法二：连接 AE,EF,分别

36、求 SaABF =4m2 + 2 = 4, Sa AEF =4m 4 _4 m 1 +2 _3 m2+ 2 _4 =7 ,根据蝴蝶定理 Saabf : S aef = BG ： GE = 4 ： 7 ,所以 Saabg =Saabe = X(4 m432)= 4 7111111【例32如图所示，已知平行四边形 ABCD的面积是1, E、F是AB、AD的中点， BF交EC于M ,求【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】解答【解析】 解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得EF/BD,而FD:BC = FH :HC=1:2,EB:CD=BG:GD =1:2 所以 CH :CF =GH

37、:EF =2:3 ,并得G、H是BD的三等分点，所以 BG=GH,所以BG: EF =BM :MF =2:3 ,所以 BM =|BF ,1111 .S/BFD =S/ABD = M- S ABCD =一 ；222七 411 2又因为BG=BD,所以S肉mg =mMS推fd33 5130解法二：延长CE交DA于I ,如右图, 可得，AI : BC =AE: EB =1:1 , 从而可以确定 M的点的位置， BM: M F BC ±F2 : 321BM= BF BG = BD （鸟头定理）， 53可得S BMG21211二一一 SBDF= SABCD5353413030E是AB的中点,F

38、是BC的中点，四边形 BGHF的面积是【例33正方形ABCD的面积是120平方厘米,平方厘米.【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】填空【关键词】清华附中，入学测试【解析】欲求四边形BGHF的面积须求出AEBG和ACHF的面积.由题意可得到： EG:GC =EB:CD=1:2 ,所以可得：S&BG将AB、DF延长交于M点，可得：BM : DC =MF :FD =BF :FC =1:1 ,而EH而CF21C E=2BC ,所以 SHF1 21二2 5 sBeE =5SBCESra边形B G H11 AB B C =24_1 _F"SE120 30BC-3 SEBC5 S e

39、%5 S本题也可以用蝴蝶定理来做，连接【答案】14EF,确定7E=B C 3 01 5H的位置1 =4（也就是FH : HD）,同样也能解出.【例34如图，已知SAabc =14，点D,E,F分 另1J 在 AB, BC,CA 上，且 AD =2,BD =5,AF =FC【难度】4星相似三角形模型酮边形DBEF =Sa ABE则Sa ABE是多少？【题型】解答1=-CE ,5:HC =EM :CD =(-AB +AB) :CD =3: 2 ,得 CH ABE的面积.连接 ABC的面积已知，若知道 4ABE的面积占 ABC的几分之几就可以计算出SI边形 DBEF = SAABESA DEF -

40、S ADEAC与DE平行,SA ADE = S CDESA ABE = SA CDBAD =2 , BD =5SACD : SCDB = 2： 5005s ABCSA ABB - SA CDB 二5 一=5 14 =10710【例35如图，长方形ABCD中,E、F 分别为 CD、AB 边上的点，DE =EC , FB =2AF，求 PM : MN : NQ .【考点】相似三角形模型【难度】4星【题型】解答【解析】如图，过E作AD的平行线交PQ于G .由于E是DC的中点，所以G是PQ的中点.由于 DE =EC ,FB =2AF，所以AF : DE=2:3,BF : CE =4:3.根据相似性，P

41、M:MG =AM :ME=AF : DE=2:3,GN :NQ =EN :NB =EC :BF =3: 4 ,23 3364 4于是 PM =4 PG , MN =3 PG +3GQ =36PG , NQ = fGQ =fPG ,55 7357 72 36 4所以 PM : MN :NQ =: ： =7:18:10 .5 35 7【答案】7:18:10【例36如下图，D、E、F、G均为各边的三等分点，线段EG和DF把三角形ABC分成四部分，如果四边形FOGC的面积是24平方厘米,【难度】3星【考点】相似三角形模型求三角形 ABC的面积.【题型】解答【解析】设三角形以AB为底的高为h,由于 FG

42、: AB =2:3 ,所以 ED :FG =1: 2 ;- 12 2所以三角形OGF以GF为底的高是-hx = h；33 9又因为三角形CFG以FG为底的高是-h ,3所以三角形OGF的面积与三角形 CGF的面积之比22=-h : h =1:3 ,93 3所以三角形CFG的面积为24M一=18（平方厘米）,3 12 2 4而三角形CFG的面积占三角形 ABC的£父2 =4,3 39所以三角形ABC的面积是418+=40.5(平万厘米).9【答案】40.5AM =NB=DE =FC =1cm且MN =2cm ,请问四边形 PQRS的面积为多【例37如图，ABCD为正方形, 少？【考点】

43、相似三角形模型【关键词】香港保良局小学数学世界邀请赛【解析】（法1）由AB/CD ,有MP PCMN DCMQ MB,所以PC =2PM ,又=,所以QC EC1.111MQ =QC =MC ,所以 PQ =MC MC =MC ,所以 &pqr 223612.2、所以 SSPQR =一父1 父(1 +1 +2) = (cm ).631 1占 SAMCF 的一，612、 一(法2 )如图，连结AE ,则S&be =父4M 4= 8( cm ),而2RB E R ,二,所以AB E F-2-2 -16.2、SBR S幺BE 父8-( cm ).而 S&|BQ S总33311

44、ns =1 3 4 ;2=3( cm ),因为MNRB AB 0 一二一 =2，EF EFMPDC PC '【答案】所以MP =1MC ,则Smnp =1 M2M4M1 =4(cm2),阴影部分面积等于 323 3S ABR S ANS -S MBQ ' S MNP16 -3-3 + 4 =- (cm2).【例38如图12-6所示，在三角形的面积是多少？ABC中，DC=3BD , DE=EA .若三角形 ABC的面积是1.则阴影部分【考点】相似三角形模型【关键词】奥林匹克，5题【题型】解答【解析】 ABC、AADC同高，所以底的比等于面积比，那么有SDCDC xBCS.,ABC

45、4 S .ABCS ,BDFS . ABD - S .FEA - S ,FDE3S FDE S DEC = x -c，1 C、，:S FDC =(一 一 2x);( X4所以,阴影部分面积为S.DEC SFEA8 56 7而E为AD中点，所以Srec 连接FD, ADFE> AFAE面积相等，设 Sea =x,则.S在DE的面积也为x,1=2x,而 S在DC433+ )=1: 3,解得 x = 一856【例39】一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，、这三块的面积比依次为1:4:41.那么,、这两块的面积比是【考点】相似三角形模型【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，六年级，初赛【解析】如图S():S =1:4, . AB:BC=1:2 ,S管e：Sbche =1:5 ,AF :CD =7: 2,Sehif ：Saehc =(41 5): (1+5 )=6:1 , EF: AE=6:1 ,又AE:CD =1: 2 ,【答案】 AF: AC=AF:DH =7:3 ,9:14. S4 :S5= 16 6452I： "(7 3尸7=9:14 .【例40下图中，四边形 ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的重点, 如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之