n维向量组(1)

1、2015整理ppt1第三章第三章 n 维向量维向量整理ppt23.1 向量向量知识点：知识点：向量的概念向量的概念向量的线性运算向量的线性运算向量空间向量空间整理ppt3一一. 向量的概念向量的概念 定义：由 n 个有顺序的数 组成的有序数组称为 n 维向量，数 称为向量 的分量（或坐标）， 称为 的第 j 个分量（或坐标）。 行向量行向量： 列向量列向量： naaa,21naaa,21naaa,21), 2 , 1(njajnaaa,21nTnbbbbbb2121,也叫行矩阵也叫列矩阵整理ppt4二二. 向量的线性运算向量的线性运算 1. 几个常用知识点 （1）若 n 维向量 的对应分量都相

2、等，即 时，称 与 相等，记作 （2）分量都是零的向量称为零向量，记作 O，即 （3）向量 称为向量 的负向量，记作 2. 向量的线性运算 （1）向量的加法),(),(2121nnbbbaaa，), 2 , 1(nibaii) 0 , 0 , 0 (O),(21naaa),(21naaa整理ppt5 定义定义3.1.2：设 ，那么向量 称为 与 的和，记为 ，即【注】【注】由此可知向量的减法 （2）向量的数乘 定义定义3.1.3：设 为 n 维向量， ，向量 称为数 与向量 的乘积，记作 向量的加法和数乘统称为向量的线性运算。),(),(2121nnbbbaaa，),(2211nnbababa

3、nnbababa,)(2211nnbababa,2211),(21naaaR),(21naaa整理ppt6 （3）向量的线性运算满足的运算规律 例：设 ，求 和 )()()()(1)()()(OO) 1 , 4 , 3() 1 , 1 , 0()0 , 1 , 1 (321，2132123整理ppt7 解：) 1 , 1 , 0() 1 , 4 , 3() 1 , 1 , 0(2)0 , 1 , 1 ( 323) 1, 0 , 1 () 1 , 1 , 0()0 , 1 , 1 (32121整理ppt8三三. 向量空间向量空间 定义定义3.1.4：设 V 为 n 维向量的集合，如果 V 非空，

4、且 V 对于向量的加法及数乘运算封闭，则集合 V 为向量空间。 封闭封闭：若 ，则 ；若 ，则 定义定义3.1.5：设有向量空间 及 ，若 ，则称 是的子空间。 例：证明集合 是一个向量空间。V,VRV，V1V2V21VV 1V2VRxxxxVnn,| ), 0(221整理ppt9 证明：设 ，则即 对于向量的加法和数乘运算封闭，所以是一个向量空间。 1212), 0(), 0(VbbVaann，12122), 0(), 0(VaaVbabannn1V整理ppt103.2 向量组及其线性组合向量组及其线性组合知识点向量组的概念向量组的线性组合（即线性表出）整理ppt11一一. 向量组的概念向量

5、组的概念 定义定义3.2.1：若干个 n 维行向量（列向量）所组成的集合称为 n 维行（列）向量组。 例如向量组 由此可知，对于矩阵（1）若令 ，则矩阵 A 可由行向量组 表示成) 1 , 6 , 4()5 , 1, 2()7 , 4 , 3() 1 , 2 , 1 (4321，8114324114321A)8 ,11, 4 , 3()2, 4, 1, 1()4 , 3 , 2 , 1 (321，321,整理ppt12（2）若令则矩阵 A 可由列向量组 表示成321A82411434123114321，4321,4321,A整理ppt13二二. 向量组的线性组合向量组的线性组合 1. 定义定义

6、3.2.2：设 都是 n 维向量，如果存在一组数 ，使得关系式 成立，则称向量 是向量组 的线性组合，并称向量 可由向量组 线性表示（或线性表出）。【注】（【注】（1）向量 是向量组 的线性组合，和向量 可由向量组 线性表出是一个意思。（2）O 向量是任意向量组的线性组合，或者说 O 向量可由任意向量组线性表出。（3）设有 n 个 n 维单位向量：s,21skkk,21sskkk2211s,21s,21s,21s,21) 1 , 0 , 0( )0 , 1 , 0()0 , 0 , 1 (21neee，整理ppt14组成的向量组称为 n 维单位向量组，且任意 n 维向量都可以被该向量组线性表出

7、。（有的书上用 表示单位向量组。） （4）向量组 中任意向量都可以用这个向量组线性表出，即 例例：设有四个三维向量试将向量 表示为 的线性组合。 解：设存在一组数 ，使得关系式成立，则有 ，即， )0 , 1 , 0()0 , 0 , 1 (21)2 , 1 , 3() 1 , 3 , 2()3 , 2 , 1 ()2 , 4 , 0(321，) 1 , 0 , 0(n321,321,kkk332211kkk)2 , 1 , 3() 1 , 3 , 2()3 , 2 , 1 ()2 , 4 , 0(321kkkm,21miiii0010001121整理ppt15由克莱姆法则得 ，所以向量 可以

8、表示为向量组 的线性组合，且 2. 如何判断一个向量可由一个向量组线性表出 定理定理3.2.1：设 n 维向量组为令 111321kkk，321,321223432032321321321kkkkkkkkk),(),( ),(),(2121222212112111nnnnnnnnbbbaaaaaaaaa，整理ppt16若 ，则向量 可由向量组 线性表出。 命题命题1：设 m 维向量组为则向量 可由向量组 线性表出的充分必要条件是线性方程组nA210A),(21nbbbn,21),(),( ),(),(2121222212112111mnmnnnmmbbbaaaaaaaaa，),(21mbbbn

9、,21整理ppt17有解。【注】【注】定理3.2.1和命题1的区别是，定理3.2.1中向量组是 ，共有 n 个向量，且每个向量都是 n 维，而命题1中向量组是 ，共有 n 个向量，但每个向量都是 m 维。其实，当 时，命题1就是定理3.2.1，所以命题1的使用范围更广。mnnmmmnnnnbkakakabkakakabkakaka22112222211211221111,21n,n,21nm 整理ppt18 定理定理3.2.2：若向量 可由 m 维向量组线性表出，则矩阵 的 行经初等行变换可将其化为零行。 推论推论3.2.1：向量组 构成的矩阵 经初等行变换出现零行的充分必要条件是至少有一个向

10、量可由其他向量线性表出。nA21n,21nA21整理ppt19 3. 求线性表出的方法 已知向量组 ，如何判断向量 能否由向量组 线性表出呢？ 第一步第一步：用向量组 构造矩阵 ，且把原始原始向量的序号序号 标注在矩阵右侧右侧； 第二步第二步：对矩阵 A 作初等行变换行变换，化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵，且将每次变换的过程标注在右侧过程标注在右侧；,21nn,21,21nnA21,21n整理ppt20 第三步第三步：若最后的行阶梯形矩阵中，标注有 的行不是零行不是零行，则向量 不能不能被向量组 线性表出；若标注有 的行是零行是零行，则令标注的表达式为零，通过移项化简，则能能用向量组 将向量 线

11、性表出。 例：设向量组问：向量 可否由 线性表出？解：n,21n,21)2 , 1 , 2 , 0()0 , 0 , 1, 1 () 1, 1, 1, 1()2 , 2 , 0 , 4(321，321,3123212120001122041111212000111111220421 rrA整理ppt21132121221213212232122213212242/ 12/ 122/ 1200001000112011112/ 122/ 12/ 1210000000112011112/ 1221201120112011114212011202240111143423223121 rrrrrrrrr

12、rr所以，向量 不能由向量组 线性表出。321,整理ppt22同样的题目，我们利用4.1的方法该如何做呢？ 解：以 为列向量构造矩阵 A，则有要 能被向量组 线性表出，即要求非齐次线性方程组有解，而由定理4.1.1知，该方程组有解的充要条件是,3212012101221100114A321,2212204212132321xxxxxxxxx)()(ArAr整理ppt233.3 向量组的线性相关性向量组的线性相关性知识点知识点线性相关、线性无关的概念与向量组线性相关有关的结论向量组线性相关的矩阵判别法整理ppt24一一. 线性相关与线性无关的概念线性相关与线性无关的概念 1. 定义3.3.1：设

13、有 n 维向量组 ，若存在不全为不全为0 的数 ，使得 ，则称向量组 线性相关线性相关。 根据上述定义，线性无关可定义为： 设有 n 维向量组 ，若只有当只有当 时，才有 成立，则称向量组 线性无关线性无关。 2. 几点说明 （1）只含一个向量的向量组线性相关的充分必要条件是该向量是零向量；只含一个向量的向量组线性无关的充分必要条件m,21mkkk,21Okkkmm2211m,21m,21021mkkkOkkkmm2211,21m整理ppt25是该向量是非零向量。 （2）两个向量线性相关的充分必要条件是两向量的各分量对应成比例；两个向量线性无关的充分必要条件是这两个向量至少有两个对应分量不成比

14、例。 （3）若向量组中有一部分向量（称为部分组或子组）线性相关，则整个向量组线性相关；若整个向量组线性无关，则其任一子组皆线性无关。 整理ppt26 2. 判断线性相关（无关）的方法 命题3.2.2：对 m 维向量组 ，记下列三结论等价 （1） 线性相关； （2） 有非零解； （3） 或者也可以换个角度，下列三结论等价 （1） 线性无关； （2） 只有零解； （3）n,21nA,21n,21OAX nAr)(n,21OAX nAr)(整理ppt27 推论推论1：当当 时，对时，对 n 个个 n 维向量维向量 ，记，记 ，下列三结论等价，下列三结论等价 （1） 线性相关（无关）；线性相关（无关）

15、； （2） 有非零解（只有零解）；有非零解（只有零解）； （3） 推论推论2：当当 时，则时，则 n 个个 m 维向量维向量 一定线一定线性性相关。相关。nm n,21An,21n,210AX00 Amn n,21整理ppt28 例例3：讨论下列向量组的线性相关性讨论下列向量组的线性相关性 解：解：(1)设设因为该向量组是由因为该向量组是由3个个3维向量组成的，即满足推论维向量组成的，即满足推论1，所以，我，所以，我们只需计算们只需计算 8 , 1 , 71, 1, 29 , 2 , 5) 1 (321，2, 1, 4 , 30 , 1, 5 , 23 , 0 , 2, 1)2(321，819

16、112725819112725,321TTTAA053263141840819112725A整理ppt29所以所以 线性相关。线性相关。 (2)作初等行变换作初等行变换显然显然 ，所以，所以 线性无关。线性无关。321,000100110321203110452321,321TTTAnAr3)(321,整理ppt30 例例4：若向量组若向量组 线性无关，则向量组线性无关，则向量组 也线性无关。也线性无关。 证明：假设证明：假设 线性相关，则存在不全为线性相关，则存在不全为零的常数零的常数 ，使得，使得 成立，即成立，即由于由于 不全为不全为0，所以，所以 不全为不全为0，设，设 ，从而有存在不

17、全为零的常数，从而有存在不全为零的常数 使得使得 线性相关，与已知矛盾，故假设不成立，原命线性相关，与已知矛盾，故假设不成立，原命题为真。题为真。 321,322113133221,321,kkk0133322211kkk0332221131kkkkkk322131,kkkkkk321,kkk323212311,kkckkckkc1c32,cc321,整理ppt31四四. 关于线性组合与线性相关的定理关于线性组合与线性相关的定理 命题命题3.2.3：向量组：向量组 线性相关的充分必要条件为线性相关的充分必要条件为向量组中至少有一个向量可以由其余的向量组中至少有一个向量可以由其余的 个向量线性表

18、出。个向量线性表出。 向量组向量组 线性无关的充分必要条件为向量组中任线性无关的充分必要条件为向量组中任一向量都不能由其余的一向量都不能由其余的 个向量线性表出。个向量线性表出。 命题命题3.2.4：若向量组：若向量组 线性相关，且线性相关，且 线性无关，则线性无关，则 可由可由 线性表出，且表出式唯一。线性表出，且表出式唯一。 定义定义3.2.3：设有两个向量组：设有两个向量组：若若(A)中每个向量均可由中每个向量均可由(B)线性表出，则称向量组线性表出，则称向量组(A)可由向量可由向量组组(B)线性表出。线性表出。1m1mm整理ppt32 例如：向量组例如：向量组有有 ，故向量组，故向量组

19、(A)可由可由向量组向量组(B)线性表出。线性表出。 若向量组若向量组(A)和和(B)可以相互线性表出，则称向量组可以相互线性表出，则称向量组(A)等价等价于于向量组向量组(B). 向量组等价具有：（向量组等价具有：（1）反身性；（）反身性；（2）对称性；（）对称性；（3）传递）传递性。性。 1 , 0 , 00 , 1 , 00 , 0 , 1: 2 , 2 , 00 , 2 , 2:32121，；，BA32123211220022，整理ppt33 命题命题3.2.5：若向量组：若向量组(A)： 线性无关，且可由线性无关，且可由向向量组量组(B)： 线性表出，则线性表出，则 推论推论1：若向

20、量组：若向量组(A)： 可由向量组可由向量组(B)： 线性表出，且线性表出，且 ，则向量组，则向量组(A)必线性相关。必线性相关。 推论推论2：等价的线性无关向量组所含的向量个数相同。：等价的线性无关向量组所含的向量个数相同。 命题命题3.2.6：如果向量组：如果向量组 线性无关，其中线性无关，其中那么在每个向量上任意添加任意那么在每个向量上任意添加任意 s 个分量得到的个分量得到的 维向量组维向量组 也线性无关，其中也线性无关，其中sm msm sn整理ppt34 推论推论：如果：如果 维向量组维向量组 线性相关，其中线性相关，其中那么在每个向量上减少那么在每个向量上减少 s 个相应的分量得

21、到的个相应的分量得到的 n 维向量组维向量组 也线性相关，其中也线性相关，其中 例例5：判断下列向量组是否线性相关：判断下列向量组是否线性相关： sn,21；，；，416 711 000 914)2( 416 391 1131 761) 1 (05000 21200 23001 10030)3(，整理ppt35解：解：(1)显然显然该向量组前三个向量所成子组线性相关，故全组线性相关。该向量组前三个向量所成子组线性相关，故全组线性相关。（据（据P88，结论，结论3） (2)该向量组含零向量，所以线性相关。（据该向量组含零向量，所以线性相关。（据P88，结论，结论4） (3)取四个向量的前四个分量

22、构成一个新的向量组：取四个向量的前四个分量构成一个新的向量组： ，设，设显然显然 ，即，即 线性无关（据线性无关（据P89，推论，推论1），由命），由命题题3.2.6得原向量组线性无关。得原向量组线性无关。0003911131761250001200300100304321，4321,A0A4321,整理ppt363.4 向量组的最大无关组与向量组的秩向量组的最大无关组与向量组的秩一一. 向量组的最大无关组（也叫极大无关组、极大无关子组）向量组的最大无关组（也叫极大无关组、极大无关子组） 1. 定义：设向量组 为向量组 的一个子组，如果： （1） 线性无关；（2）向量组 中任意一向量都可以被线

23、性表出 则称子组 是向量组 的最大无关组（或称为极大无关组、极大无关子组）。相关结论：相关结论：（1）一个向量组的最大无关组是指它的线性无关子组中含有向量个数最多的一个。riii,21m,21riii,21m,21riii,21riii,21m,21整理ppt37（2）若一个向量组本身线性无关，则其最大无关组就是它自己。（3）全由零向量组成的向量组没有最大无关组，任何一个含非零向量的向量组一定存在最大无关组。（4）一个向量组的最大无关组不是唯一的。 例例：向量组 显然，子组 线性无关，且 中每个向量都可被 线性表出，所以 是向量组的一个最大无关组。此外，还可验证 和 也是该向量组的最大无关组。

24、)0 , 1 , 3() 1, 0 , 1 () 1 , 0 , 0()0 , 1 , 0()0 , 0 , 1 (54321，321,521,321,321,421,532,整理ppt38 2. 最大无关组的性质 性质1：向量组与它的任一最大无关组等价。 推论：向量组的任意两个最大无关组彼此等价。 性质2：一个向量组的任意两个最大无关组所含的向量个数相同。整理ppt39二二. 向量组的秩向量组的秩 1. 定义定义：向量组 的最大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为 或者相关结论：相关结论：（1）只含零向量的向量组秩为零。（2）n 维基本单位向量组 是线性无关的，所以它的最大无关组就是

25、它本身，从而有（3）向量组 线性无关的充分必要条件充分必要条件是 向量组 线性相关的充分必要条件充分必要条件是（5）向量组 的子组 为最大无关组的m,21),(21mR),(21mrneee,21neeern),(21m,21mrm),(21m,21mrm),(21m,21riii,21整理ppt40的充分必要条件是 线性无关，且向量组中任意 个向量（只要存在）都线性相关。（5）如果向量组 的秩为 r，则该向量组中任意 r 个线性无关的子组均是其最大无关组。 命题命题1：若向量组 能由向量组 线性表出，则 命题命题2：若向量组 与向量组 等价，则riii,21m,211rm,21m,21n,2

26、1),(),(2121nmrrm,21n,21),(),(2121nmrr整理ppt41三三. 向量组的秩与矩阵的秩的关系向量组的秩与矩阵的秩的关系 定义3.3.3：矩阵 A 的行向量组的秩称为矩阵 A 的行秩，A 的列向量组的秩称为 A 的列秩。 例：设矩阵 求 A 的行秩和列秩。 000210111A整理ppt42 解：首先，易知矩阵 A 的秩为2，A 的行向量为显然 线性无关， 线性相关，所以 是 A 的行向量组的极大无关子组，A 的行秩为2. A 的列向量为 显然 线性无关， 线性相关，所以 是 A 的列向量组的极大无关子组，A 的列秩为2. 0 , 0 , 02 , 1 , 01 ,

27、 1 , 1321，21,321,21,021011001321，21,321,21,整理ppt43 命题命题3.3.3：矩阵 A 的秩等于其列秩，也等于其行秩。 结论结论1：设 A 和 B 均为 矩阵，则 结论结论2：若乘积矩阵 AB 存在，则有四四. 向量组的秩和极大无关子组的求法向量组的秩和极大无关子组的求法 1.向量组秩的求法 （1）已知向量组 ，以它们为列向量（若是行向量则取转置）构成矩阵 ； （2）初等行变换化 A 为行阶梯形矩阵 （3）nm)()()(BrArBAr)()(min)(BrArABr，m,21),(21mA)(),(21Arrm整理ppt44 例：求下列向量组的秩

28、解：设 9224711191126311322154321，3433063550613304121197963211322111241211,54321A整理ppt45所以 2. 极大无关子组的求法 定理定理：矩阵的初等行（列）变换不改变列（行）向量的线性相关或线性无关的关系。0000031000011104121131000434000231110412113)(Ar整理ppt46 极大无关子组的求法极大无关子组的求法：设有 n 维列向量组 （1）以 为列向量构造矩阵 （2）对 A 作初等行变换化为行最简阶梯形矩阵 （3）矩阵 B 中列向量的极大无关子组即为 B 的首非零元所在列的向量，从而

29、得出 A 中列向量的极大无关子组即是 B 中极大无关子组所在的位置。（如 是 的极大无关子组，则 就是 的极大无关子组。）初等行变换初等行变换21,21,行最简阶梯形矩阵m,21m,21),(21mA),(21mA),(21mBm,21m,21整理ppt47 例：求下列向量组的秩与极大无关子组，并把其余向量用该极大无关子组线性表出。 (1) (2) 解：(1)对矩阵 进行初等行变换2 , 5 , 31 , 3 , 20 , 1 , 12 , 4 , 24321TTTT，1 , 0 , 0 , 3 , 01 , 1, 6 , 0 , 30 , 2, 4 , 2, 20 , 1 , 2 , 1,

30、14321，4321,A4321, 0000111012101000011103212111011103212210253143212A整理ppt48由最后一个矩阵可知： 线性无关，为 的一个极大无关子组，且 可由 线性表出。 设根据命题3.2.1知，要求 被 表出的线性表出式，则只需对线性方程组 求解，利用高斯-若尔当消元法由于其增广矩阵分别为：21,4321,43,21,0110121001001,423121bbC，43,21,21bCYbCX ，整理ppt49所以得所以得从而有从而有进一步有，相应的进一步有，相应的 也线性无关，为也线性无关，为 的一个极大的一个极大无关子组，且有无关子

31、组，且有 00011021011C0001101012C111212121yyxx，21421321，21,4321,21421321，整理ppt50 例：已知向量 （1）t 为何值时， 线性相关？ （2）当 线性相关时，求出此向量组的最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示。 解：), 3 , 1 ()4 , 2 , 1 () 1 , 1 , 1 (321t，321,321,整理ppt51三三. 向量组的线性相关与线性无关（默认为列向量）向量组的线性相关与线性无关（默认为列向量） 若向量组 中的某个向量可以由其余向量线性表出，则说明向量组内部是有关系的，我们把这种关系称为线性相关。 若向

32、量组 中的任一向量都不能由其余向量线性表出，则说明向量组内部是没有关系的，我们把这种关系称为线性无关。 严格定义如下 ： 1.定义定义3.2.2：对于向量组 ，若存在一组不全为零的常数 ，使得 成立，则称整理ppt52向量组 线性相关；否则，称向量组 线性无关。 对于线性无关的向量组当且仅当系数全为0时，即时，才有 一些简单结论： （1）只含一个向量的向量组线性相关的充分必要条件充分必要条件是该向量为零向量；只含一个向量的向量组线性无关的充分必要条充分必要条件件是该向量为非零向量。整理ppt53 （2）两个向量线性相关的充分必要条件充分必要条件是两向量的各分量对应成比例，即两个向量线性无关的充

33、分必要条件充分必要条件是两向量中至少有两个分量不成比例。 （3）若向量组中有一部分向量（称为部分组或子组）线性相关，则整个向量组线性相关；若整个向量组线性无关，则其任一子组皆线性无关。 （4）含有零向量的向量组线性相关。 （5）n 维基本单位向量组 线性无关。 整理ppt54 2. 判断线性相关（无关）的方法判断线性相关（无关）的方法 命题3.2.2：对 m 维向量组 ，记下列三结论等价 （1） 线性相关； （2） 有非零解； （3） 或者也可以换个角度，下列三结论等价 （1） 线性无关； （2） 只有零解； （3）n,21nA,21n,210AXnAr)(n,210AXnAr)(整理ppt5

34、5 推论推论1：当 时，对 n 个 n 维向量 ，记 ，下列三结论等价 （1） 线性相关（无关）； （2） 有非零解（只有零解）； （3） 推论推论2：当 时，则 n 个 m 维向量 一定线性相关。nm n,21An,21n,210AX00 Amn n,21整理ppt56 例例3：讨论下列向量组的线性相关性 解：(1)设因为该向量组是由3个3维向量组成的，即满足推论1，所以，我们只需计算 8 , 1 , 71, 1, 29 , 2 , 5) 1 (321，2, 1, 4 , 30 , 1, 5 , 23 , 0 , 2, 1)2(321，819112725819112725,321TTTAA053263141840819112725A整理ppt57所以 线性相关。 (2)作初等行变换显然 ，所以 线性无关。321,000100110321203110452321,321TTTAnAr3)(321,整理ppt58 例例4：若向量组 线性无关，则向量组 也线性无关。 证明：假设 线性相关，则存在不全为零的常数 ，使得 成立，即由于 不全为0，所以 不全为0，设 ，从而有