清华信号与系统卓晴chapter

1、§3.6 傅里叶变换的性质王文渊卓晴傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的卷积特性2006-11-11§3.6.0本节内容n 傅里叶变换的基本性质n 傅里叶变换的卷积特性傅里叶变换的性质：研究时域中信号进行变换相对应它们的频谱在频域的变化规律。王文渊 卓晴2006-11-12§3.6.0本节内容进行信号的傅里叶变换与逆变换的方法：1、直接使用公式：¥òw) =f (t)e- jwtdtF (傅里叶变换对-¥ 1 2p¥òF (w)e jwtdwf (t) =-¥2、直接使用公式：使用傅里叶变换的基本性质计算过程

2、简便，物理概念清楚王文渊 卓晴2006-11-133.6.1傅里叶变换的基本性质n 1、对称性n 3、奇偶虚实性n 5、时移特性n 7、微分特性2、线性（叠加性）4、尺度变换特性6、频移特性8、特性王文渊 卓晴2006-11-14§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：对称性n 1、对称性(Symmetry)如果F f (t) = F (w)，则F F (t) = 2p f (-w)如果f (t)是偶函数F F (t) = 2p f (w)王文渊 卓晴2006-11-15§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：对称性 1 2p¥òF (w)e jwtdt证明：

3、f (t) =-¥ 1 2p¥òF (w)e- jwtdtf (-t) =-¥，将变量t与w互换，可以得到：¥òpw) =F (t)e- jwtdtf (-2-¥所以： F F (t) = 2p f (-w)王文渊 卓晴2006-11-16傅里叶变换的基本性质：对称性§3.6.1F d (t) = 1F 1 = 2pd (w)王文渊 卓晴2006-11-17傅里叶变换的基本性质：对称性§3.6.1n 对称性举例：，王文渊 卓晴2006-11-18傅里叶变换的基本性质：对称性§3.6.1思考题：&

4、#233;ù = ?1，ê a + jt úëû王文渊 卓晴2006-11-19傅里叶变换的基本性质：对称性§3.6.1a > 1,t > 0FTf 换成tF1t 换成王文渊 卓晴102006-11-1对称性换成F (w ) = 2pf (-w ) = 2pe+aw1F (w ) = FT é1ù = ?1ê a + jt úëûf (t) = e-atF (w ) =1a + jw§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：线性n 2、线性（叠加性）(Line

5、arity)如果F fi (t) = Fi (w),(i = 1, 2,", n),则éùnnååa F (w)F=a f (t)êúiiiië i=1ûi=1傅里叶变换是一种线性运算，它满足叠加原理。所以信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。王文渊 卓晴112006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：奇偶虚实性n 3、奇偶虚实性 (Odd-Even Imaginary-Real)¥()ò由FT变换：F w= Ff (t)e- jwtdtf (t) =-¥

6、结果可以分解成幅值，角度，或者实部与虚部F (w) =F (w) e jj (w )= R(w) + jX (w)F (w) =R2 (w) + X 2 (w)j(w) = arctan é X (w) ùê R (w )úëû王文渊 卓晴122006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：奇偶虚实性(1) 如果f (t)是实函数：¥òw) =f (t)e- jwtdtF (-¥¥¥= ò-¥R(w) = ò-¥f (t) cos

7、(wt)dt - jò-¥ f (t) sin(wt)dt¥f (t) cos(wt)dt偶函数奇函数¥X (w) = -ò-¥ f (t) sin(wt)dt王文渊 卓晴132006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：奇偶虚实性(2) 如果f (t)是虚函数，f (t) =¥jg(t)òw) =jg(t)e- jwtdtF (-¥¥¥= ò-¥ g(t) sin(wt)dt + jò-¥ g(t) cos(wt)dt

8、5;R(w) = ò-¥ g(t) sin(wt)dt奇函数¥òg(t) cos(wt)dt 偶函数w) =X (-¥王文渊 卓晴142006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：奇偶虚实性f (t)实函数虚函数R(w)X (w)偶函数奇函数奇函数偶函数F (w) 是偶函数，j(w)是奇函数实函数和虚函数的幅度谱和相位谱分别为偶、奇函数。王文渊 卓晴152006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：奇偶虚实性如果f (t)为实偶函数：f (t) =f (-t)¥X (w) = 0, F (w) =

9、R(w) = 2ò0f (t) cos(wt)dt如果f (t)为实奇函数：f (t) = - f (-t)¥F (w) = jX (w) = -2 jò0R(w) = 0,f (t) sin(wt)dt实偶函数Æ 实偶函数实奇函数Æ 虚奇函数王文渊 卓晴162006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：奇偶虚实性思考题：如果对于纯虚函数的对称性与傅里叶变换结果对称性之间的关系如何？虚偶函数Æ 虚偶函数虚奇函数Æ 实奇函数王文渊 卓晴172006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：奇偶虚

10、实性函数与其傅里叶变换具有如下性质：F f (-t) = F (-w)时间尺度特性* (t)ùû = F *(-w)* (-t)ùû = F *(w)éë fëé fFF王文渊 卓晴182006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：奇偶虚实性例：求下面奇函数的频谱，其中a是正实数。(t > 0)(t < 0)ì e- atf (t) =íî-eat¥òw) =f (t)e- jwtdt解:F (-¥¥0ò&

11、#242;wt× e- jwtdt- j- at= -× edt +eate-¥0¥0e(a- jw )te-(a+ jw )t-2 jw= -a - jw+ -(a + jw)=a2+ w2-¥0王文渊 卓晴19推导符号函数的FT时候使用过这个公式2006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：奇偶虚实性奇对称指数函数的波形和频谱F (w ) = -2 jw+ w2a22 wF (w) =a2+ w2ì- p(w > 0)j(w) = ï2ípï+(w < 0)ï&

12、#238;2王文渊 卓晴20推导符号函数的FT时候使用过这个公式2006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质: 尺度变换特性4、尺度变换特性 (Scaling)若F f (t) = F (w),则F æ w öF f (at) = 1ç a ÷aèø特别：F f (-t) = F (-w)王文渊 卓晴提示：对于傅里叶级数分解的时候，没有这个性质。2006-11-121§3.6.1 傅里叶变换的基本性质: 尺度变换特性¥òf (at)e- jwtdt证明：F令f (at) =x = at-

13、¥æ w ö- jw x1a1a1a¥当a > 0时，F f (at) =当a < 0时，F f (at) =òa dx =f (x)eF ç÷è a ø-¥- jw xa dx-¥òf (x)e+¥æ w ö= -1- jw x-1+¥òa dx =f (x)eF ç÷aaè a ø-¥综上所示，尺度变换特性得以证明。王文渊 卓晴222006-11-1§

14、3.6.1 傅里叶变换的基本性质: 尺度变换特性尺度变换特性举例时域压缩时域扩展时域反褶频域扩展频域压缩频域反褶能量守恒波形变化快慢影响频谱的宽窄。文渊 卓晴232006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质: 尺度变换特性信号的等效脉冲宽度与频带宽度假设傅里叶变换对f (t), F (w),随着t ® ¥,w ® ¥f (t), F (w)趋于零，由傅里叶变换公式：¥F (0) = ò-¥ f (t)dtf(t)所覆盖的面积F(.)所覆盖的面积 1 2p¥òF (w)dwf (0) =-

15、¥设t , B分别是信号的脉冲等效宽度与频带宽度，f (0)t = F (0),F (0)B = 2p f (0)则有：王文渊 卓晴252006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质: 尺度变换特性信号的等效脉冲宽度与频带宽度B = 2p信号的等效脉冲宽度与占有的等效频带宽度成反比。t王文渊 卓晴262006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：时移特性5、时移特性 (Time Shifting)如果F f (t) = F (w)，则：F f (t - t0 ) = F (w)e0- jwt同时如下性质存在F f (t + t0 ) = F (w)e

16、0jwt- j wt0æ w ö 1F f (at - t0 ) =尺度变换与时移的统一特性公式F ç÷ eaaè a ø- j wt0w öæ 1F f (t0 - at) =F ç -÷ eaaèa ø王文渊 卓晴272006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：时移特性5、时移特性证明：F f (t - t令：¥) =ò-¥f (t - t )e- jwtdt00x = t - t0¥那么： F f (t - t

17、) = F f (x) =ò-¥f (x)e- jw ( x+t0 ) dx0¥ò= e- jwt0= e- jwt0f (x)e- jwxdx-¥× F (w) 上面其他性质同理可证王文渊 卓晴2006-11-128§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：时移特性5、时移特性-例题求下图所示三脉冲信号的频谱王文渊 卓晴292006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：时移特性解：令f0 (t)表示单个脉冲信号，它的频谱函数为:F (w) = Et × Sa æ wt öç

18、;÷0è2øf (t) =f0 (t) + f0 (t + T ) + f0 (t - T )因为:则由傅里叶变换的时移特性以及叠加特性可知:()w) = F (w) 1+ ewT + e- jwTjF (0= Et × Sa æ wt ö1+ 2 cos(wT )ç÷è2ø王文渊 卓晴302006-11-1傅里叶变换的基本性质：时移特性§3.6.1王文渊 卓晴312006-11-1傅里叶变换的基本性质：时移特性§3.6.1三脉冲的频谱王文渊 卓晴322006-11-1

19、67;3.6.1 傅里叶变换的基本性质：时移特性增多脉冲个数，频谱的变化规律：王文渊 卓晴332006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：时移特性增多脉冲个数，频谱的变化规律：王文渊 卓晴342006-11-1傅里叶变换的基本性质：时移特性§3.6.1王文渊 卓晴352006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：时移特性5、时移特性-例题已知双Sa信号f (t)，试求其频谱：f (t) = wcéSa(w t) - Sa w (t - 2t )ùëûpcc王文渊 卓晴362006-11-1§3.6

20、.1 傅里叶变换的基本性质：时移特性解：令f (t) = wc Sa(w t)p0c由于f0 (t)为Sa函数，则其频谱F0 (w)为矩形。如下图所示( w < wc )F f (t) = ìï1í0( w > w )0ïîc王文渊 卓晴372006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：时移特性由时移特性可知：( w < wc )ìïe- j 2wtF f0 (t - 2t ) = í( w> wc )ïî0则f (t)的频谱等于:F (w) = F f

21、0 (t) -F f0 (t - 2t )( w < wc )= ìï1- e- j 2wtí0( w> w )ïî它的幅度谱为:c( w < wc )F (w) = ì2 sin(wt )í0( w> w )îc王文渊 卓晴382006-11-1傅里叶变换的基本性质：时移特性§3.6.1实际中，选择t = p，此时：wcìæ pw ö2 sin( w < w )F (w) = ïç w÷cíè&

22、#248;( w > w )cï 0cî频谱集中在 w < wc，同时没有直流分量。更容易进行信号的传递。王文渊 卓晴392006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：时移特性5、时移特性-例题求下面信号x(t)的傅里叶变换：王文渊 卓晴402006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：时移特性5、时移特性-例题解：信号可以分解成两个信号的叠加：x(t) = 1 x (t - 2.5) + x (t - 2.5)122F x (t) = 2 sin(w / 2)w1F x (t) = 2 sin(3w / 2)2wé

23、sin(w / 2) + 2 sin(3w / 2) ùF x(t) = e- j5w / 2êëúûw王文渊 卓晴412006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：时移特性5、时移特性-例题§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：频移特性n 6、频移特性 (Frequency Shifting)如果：F f (t) = F (w)则：F éë f (t)e jw0t ùû = F (w - w )0F éë f (t)e- jw0t ùû

24、= F (w + w )0F f (t) cos(w t) = 1 F (w + w) + F (w - w0002F f (t) sin(w t) = j F (w + w) - F (w - w )0002王文渊 卓晴432006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：频移特性证明：由傅里叶变换公式可得：¥òw tf (t)e jw0te- jwtdtf (t)e- j (w -w0 )dt dtéùF=jf (t)e0ëû-¥¥ò-¥F éë f (t)

25、e jw0t ùû = F (w - w )0所以：同理可得：F éë f (t)e- jw0t ùû = F (w + w )0王文渊 卓晴442006-11-1傅里叶变换的基本性质：频移特性§3.6.1由欧拉公式：12(w t + e- jw0t )w t) =jcos(e001(e jw0t - e- jw0t )sin(w t) =02 j可得到如下公式：F f (t) cos(w t) = 1 F (w + w ) + F (w - w)0002F f (t) sin(w t) = j F (w + w ) - F

26、 (w - w )0002王文渊 卓晴452006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：频移特性n 6、频移特性信号f (t)乘以e jw0tÞ 频谱F (w)右移w0jw t频谱F (w0 )右移w0 Þ 信号f (t)乘以e0信号f (t)乘以cos(w0t)或者sin(w0t)Þ 频谱F (w)一分为二,左右平移各w0频移特性Æ 频谱搬移,应用在通信系统中王文渊 卓晴462006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：频移特性n 6、频移特性-举例已知矩形调幅信号f (t) = G(t) cos(w0t) 其中矩形

27、信号G(t)， 幅度为E，脉宽为t，试求它的频谱函数。王文渊 卓晴472006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：频移特性解: 设矩形信G(t)的频谱函数为:G(w)G (w ) = Et × Sa æ wt öç÷è2ø+ e- jw0t )f (t) = 1 G(w) (e jw0t根据:2F (w) = 1 G(w - w ) + 1 G(w + w )0022= Et Sa é(w - w ) t ù + Et Sa é(w + w) t ùê&#

28、235;2 úûêë2 úû0022王文渊 卓晴482006-11-1傅里叶变换的基本性质：频移特性§3.6.1频谱一分为二，往左右各平移了w0卓晴492006§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：频移特性已知：f (t) = cos(w0t)，利用频移定理求余弦信号的频谱： 解：已知直流信号的频谱为：F 1 = 2pd (w)则：F cos(w0 ) = p d (w + w0 ) + d (w - w0 )王文渊 卓晴502006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：微分特性n 7、微分特性已知

29、：F f (t) = F (w)F é df (t) ù =jwF (w)则：êëúûdtéf (t) ù = (nd)nww)FjF (êúdt 2ëû王文渊 卓晴512006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：微分特性证明：由傅里叶逆变换公式： 1 2p¥òF (w)e jwtdtf (t) =-¥两边对t求导数，可得：df (t)dt 1 2p¥ jwF (w)e jwtdtò=-¥F &#

30、233; df (t) ù =jwF (w )所以：êëúûdt同理，进行n次求导，可得：é d nf (t) ùú = ( jw )nF (w)F êdtnëû王文渊 卓晴522006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：微分特性同理，由傅里叶逆变换公式：¥òw) =f (t)e- jwtdtF (-¥两边同时对于w求导数,可得:w)dF (¥òf (t)e- jwtdt= (- jt)dw-¥F -1 &

31、#233; dF (w) ù = (- jt) f (t)则:êëúûdwéw)ùnd F (F-=(-1njt)f (t)êúdwnëû王文渊 卓晴532006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：微分特性例：利用微分定理求钟形脉冲信号的频谱（高斯信号）高斯信号特性：时域信号与频域信号具有相同的信号æ t ö2æ wt ö2-ç t ÷-ç÷, F (w ) =p Et e形式：f (t

32、) = Eeèøèø2根据高斯信号特性及其微分定可推演出其函数形式：ìFé df (t) ù =ìdf (t) = -tf (t)dtdF (w)jwF (w )dF (w)dwifëêûúïÞ ïdtííïF tf (t) =ïthen= -wF (w)jïîïîdw王文渊 卓晴542006-11-1§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：微分特性Þ

33、 f (t)与F (w)具有相同的形式,什么形式? df (t) = -tf (t)Þ df (t) = -tdtdtf (t)- t2212Þ ln f (t) = K -Þf (t) = K et 211-w2同理: F (w) = K2e2王文渊 卓晴552006-11-1特性§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：n 8、特性如果：F f (t) = F (w)f (t )dt ù = F (w) + p F (0)d (w)étòFêë -¥úûjw如果: F (0)

34、= 0,则：f (t )dt ù = F (w)éêëtòFúûjw-¥王文渊 卓晴562006-11-1特性§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：证明：由傅里叶变换公式可得：éêëùúû¥éf (t )dt ùe- jwtdtttòòòttF=f ()d-¥ êëúû-¥-¥éf (t )u (t -t )

35、dt ù e- jwtdt¥¥òò=-¥ êëúûu(t -t )e- jwtdt ù dt-¥éê륥òòt )=f (úû-¥-¥王文渊 卓晴572006-11-1特性§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：éù 1 再根据：F u(t -t ) = pdw) +wt-j(eêjw úëûe- j

36、wtjw¥¥则，上式 = ò-¥ f (t )pd (w ) ef (t )dt + ò-¥- jwtdt= p F (0)d (w ) + F (w)jw王文渊 卓晴582006-11-1特性§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：n 8、特性-举例已知三角脉冲信号，求其频谱F (w) :< t öìæ tæö2tç2 ÷ïE 1-tèøç÷f (t) =èøít 

37、6;æï0>ç t÷ïîè2 ø王文渊 卓晴592006-11-1特性§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：解：将f (t)取一阶与二阶导数，得到tì 2Eæöç - 2 < t < 0 ÷ï tèøïït öædf (t)2Et= í-ïç 0 < t < 2 ÷dtèøï0> t

38、öæ tïîç2 ÷èøç t + t ö + d ç t - t ö - 2d (t)úf (t) = 2E éd æùd 2æ以及：dt 22 ÷2 ÷êtèøèøëû王文渊 卓晴602006-11-1特性§3.6.1傅里叶变换的基本性质：王文渊 卓晴612006-11-1特性§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：记

39、F (w), F1 (w), F2 (w)分别表示f (t)及其一、二阶导数的傅里叶变换,可以求出它们：2E æ- jwtjwtöé d 2f (t) ùF2 (w) = Fú =+ e- 2 ÷ç e22êt2dtëûèøwtt2E éùæöæö8Et2 cos w=- 2= -2sinç2 ÷ç÷êútèùøè4&

40、#249;øëûwt4æ 1 ö é8Eéêëæödf (t)dtF (w) = F+ p F (0)d (w)=-2sinçjw ÷ êç÷úúû1t2èøûø ëè王文渊 卓晴622006-11-1特性§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：F (w) = F f (t) 1éwt4ùæö8Etwt

41、()+ p F (0)dw=-2sinç÷ú2 ê( jw ) ë21èøûæösinç÷EtEtæ wt ö èø =4=Sa2 ç÷æ wt ö222è4øç÷è4ø以上：F2 (0) = F1(0) = 0王文渊 卓晴632006-11-1特性§3.6.1傅里叶变换的基本性质：王文渊 卓晴642006-11-1特性

42、7;3.6.1 傅里叶变换的基本性质：n 8、特性-举例求截平斜边信号的频谱：ì 0(t < 0)ï ty(t) = ï (0 £ t £ t)ít0ï0ï1(t > t)î0王文渊 卓晴652006-11-1特性§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：1解：令f (t)t 矩形信号：为幅值为 宽度为t00(t < 0)(0 < t < t )ì0f (t) = ïí1/ t00ï0(t > t )ît0ò

43、;f (t )dty(t) =则：-¥æ wt- jw t0ö则信号f (t)频谱: F (w) = Sa ç0 ÷ e22èøF (0) = 1 ¹ 0注意：王文渊 卓晴662006-11-1特性§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：Y (w) = F y(t)1jwF (w) + p F (0)d (w)=- j wt0æ wtö1jw+ pd (w)=Sa ç0 ÷ e2è2ø当t0 ® 0, y (t ) ® u(t),

44、 f (t) ® d (t )，则：1jwF u(t) =+ pd (w)王文渊 卓晴672006-11-1特性§3.6.1 傅里叶变换的基本性质：频域特性如果：F f (t) = F (w)，则：F (W)dWù = - f (t) + p f (0)d (t)wéêëò-1Fúûjt-¥此性质仍可以通过上述方法导出应用较少。王文渊 卓晴682006-11-13.6.2傅里叶变换的卷积特性n 时域卷积定理n 频域卷积定理王文渊 卓晴692006-11-1§3.6.2 傅里叶变换的卷积

45、特性:时域卷积定理n 时域卷积定理如果给定两个时间函数f1 (t), f2 (t)，已知：F f1 (t) = F1 (w)F f2 (t) = F2 (w)则：F f1 (t) * f2 (t) = F1 (w)F2 (w)王文渊 卓晴702006-11-1§3.6.2 傅里叶变换的卷积特性:时域卷积定理¥证明：由 f1 (t) * f2 (t) = ò-¥ f1 (t ) f2 (t -t )dtéf (t ) f (t -t )dt ù e- jwtdt¥¥F f (t) * f(t) =ò

46、2;êúûë1212-¥-¥f (t ) éf (t -t )e- jwtdt ù dt¥¥-¥ò-¥ò-¥òêúûë12¥t )F (w)ewtt- j=f (d12¥ò-¥= F (w)t )ewttw)F (w)- j= F (f (d2112王文渊 卓晴712006-11-1§3.6.2 傅里叶变换的卷积特性:时域卷积定理根据相关运算定义:

47、¥相关运算傅里叶变换性质：ò-¥R (t ) =(t -t )dt* 2f (t) f121R (t ) =f (t ) * ft )(-* 2因此:121F Rtw)F (w)=*()F (1212同理：F Rt ) =w)F (w)F f (-t) = F (-w)F éë f *(t)ùû = F *(-w)*(F (2112F R(t ) =2w)F (F é f *(-t)ù = F *(w)ëû111王文渊 卓晴722006-11-1§3.6.2 傅里叶变换的卷积

48、特性:时域卷积定理卷积定理反映了串统的传递函数为它们各自的传递函数的乘积这两个子系统可以相换次序。王文渊 卓晴732006-11-1§3.6.2 傅里叶变换的卷积特性:频域卷积定理n 频域卷积定理：如果给定两个时间函数f1 (t), f2 (t)，已知：F f1 (t) = F1 (w)F f2 (t) = F2 (w)12p则：F f (t) × f(t) =F (w) * F (w)1212¥其中：F1 (w) * F2 (w) = ò-¥ F1 (u)F2 (w - u)du傅里叶变换的对称性王文渊 卓晴742006-11-1§

49、3.6.2 傅里叶变换的卷积特性:举例已知：单个半周期余弦信号，求其频谱：ì E cos æ p t ö£ t öæ tç t ÷ç2 ÷ïèøèøf (t) = í> t öæ tï0ç2 ÷ïèøî王文渊 卓晴752006-11-1§3.6.2 傅里叶变换的卷积特性:举例解：余弦脉冲f (t)可以看成矩形脉冲信号G(t)与无穷长余弦函数cos æ p t ö的乘积：ç t ÷èøf (t) = G(t) cosæ p t öç t ÷èøG(w) = F G(t) = Et Sa æ wt öç÷&#