高中数学复习专题-矩阵与行列式

1、专题八、矩阵与行列式1.矩阵：个实数排成行列的矩形数表叫做矩阵。记作，叫做矩阵的维数。矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。2.线性方程组的系数矩阵、方程组的增广矩阵、行向量、列向量、单位矩阵。3.线性方程组矩阵的三种变换：互换矩阵的两行；把某一行同乘（除）以一个非零的数；某一行乘以一个数加到另一行。变换的目的是将线性方程阻系数矩阵变为单位矩阵，其扩充矩阵的最后一列就是方程组的解。4.矩阵运算：加法、减法及乘法（1）矩阵的和（差）：记作：A+B （A-B）.运算律：加法交换律：A+B=B+A；加法结合律：（A+B）+C=A+（B+C）（2）矩阵与实数的积：设为任意实数，把矩阵A的所有

2、元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵A与实数的乘积矩阵，记作：A.运算律：分配律：； 结合律：；（3）矩阵的乘积：设A是阶矩阵，B是阶矩阵，设C为矩阵。如果矩阵C中第i行第j列元素是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的数量积，那么C矩阵叫做A与B的乘积，记作：Cm×n=Am×k Bk×n.运算律：分配律：，； 结合律：，；注意：矩阵的乘积不满足交换律，即。5.二阶行列式的有关概念及二元一次方程组的解法：设二元一次方程组（*）（其中是未知数，是未知数的系数且不全为零，是常数项）用加减消元法解方程组（*）:当时，方程组（*）有唯一解：，引入记号 表示算式，即 从而引出行

3、列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等。记 ， ， ，则：当 =时，方程组（*）有唯一解，可用二阶行列式表示为.当D=0时，方程组（*）无穷组解；当D=0时，方程组（*）无解。系数行列式也为二元一次方程组解的判别式。6.三阶行列式（1）三阶行列式的展开方法：对角线方式展开：  按某一行(或列)展开法： =-+记 ， ， ， ，称为元素的余子式，即将元素所在的第一行、第列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称为元素的代数余子式，（。则三阶行列式就可以写成= =，这就是说，一个三阶行列式可以表

4、示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和。上式称为三阶行列式按第一行展开的展开式。类似地，若将按别的行或列的元素整理，同样可得行列式按任一行(列)展开式。（2）三阶行列式的性质：行、列依次对调，行列式的值不变，即两行(或两列)对调，行列式的值变号，如某行(或列)所有元素乘以数k，所得行列式的值等于原行列式值的k倍，如某两行(或两列)的元素对应成比例，行列式的值为零。某行(或列)的元素都是二项式，该行列式可分解为两个行列式的和，如某行(或列)的所有元素乘以同一个数，加到另行(或列)的对应元素上，行列式的值不变，如性质：如果将三阶行列式的某一行（或一列）的元素与另一行（或一列）的元素的代

5、数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零。7.用三阶行列式求三角形的面积：若三个顶点坐标分别为、，则，所以、三点共线的充分必要条件为.8.三元一次方程组的解法：设三元一次方程组 ()，其中是未知数，是未知数的系数，且不全为零，是常数项。下面用加减消元法解方程组()：我们把方程组()的系数行列式记为，用的元素的代数余子式依次乘以方程组()的各方程，得， 将这三个式子相加，得：其中式中的系数恰为()的系数行列式。 由于的系数分别是的第一列元素的代数余子式的乘积之和，因此的系数都为零。式的常数项可表示为 ，于是式可化简为Dx=Dx。类似地，用D的元素、的代数余子式、依次乘以方程组（*）的各方程，可

6、推得Dy=Dy；用D的元素、的代数余子式、依次乘以方程组（*）的各方程，可推Dz=Dz ，其中，由方程组，可见， 对于三元一次方程组（*），其系数行列式为D，则：（i）当时，方程组（*）有唯一解.（ii）当D=0，时，方程组（*）无解；（iii）当D=0，时，方程组（*）有无穷多解。例1.已知，则 ； 例2.若三阶行列式按第二行展开为，求该三阶行列式。例3.求关于x、y、z的方程组有唯一解的条件，并把在这个条件下的解求出来。变式训练：（1）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则c1c2= （2）若三条直线和相交于一点，则行列式的值为_（3）已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为 （4）把表示成一个三阶行列式_（5）若的三个顶点坐标为，其面积为_（6）若表示的三边长，且满足，则是（ ）A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形（7）若复数满足,则的值为_（8）设的内角,所对的边长分别为,，若，则角_（9）若三阶行列式中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是，则(