三角形中的常用辅助线

1、三角形中的常用辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。例1：如图，ABC是等腰直角三角形，B

2、AC=90°，BD平分ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。1.png (6.45 KB, 下载次数: 293)下载附件2015-6-17 11:13 上传思路分析：1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程：证明：延长BA，CE交于点F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90°，BEFBEC，EF=EC，从而CF=2CE。又1+F=3+F=90°，故1=3。在

3、ABD和ACF中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90°，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例2：如图，已知ABC中，AD是BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ABC是等腰三角形。2.png (3.14 KB, 下

4、载次数: 120)下载附件2015-6-17 11:13 上传思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。解答过程：3.png (9.5 KB, 下载次数: 108)下载附件2015-6-17 11:14 上传证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。又因为AD是BC边上的中线，BD=DC又BDE=CDABEDCAD，故EB=AC，E=2，AD是BAC的平分线1=2

5、，1=E，AB=EB，从而AB=AC，即ABC是等腰三角形。解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。l （3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例3：已知，如图，AC平分BAD，CD=CB，AB>AD。求证：B+ADC=180°。4.png (1.83 KB, 下载次数: 112)下载附件2015-6-17 11:14 上传思路分析：1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用。2）解题思路：因为AC是BAD的平分线，

6、所以可过点C作BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。解答过程：证明：作CEAB于E，CFAD于F。AC平分BAD，CE=CF。在RtCBE和RtCDF中，CE=CF，CB=CD，RtCBERtCDF，B=CDF，CDF+ADC=180°，B+ADC=180°。解题后的思考：关于角平行线的问题，常用两种辅助线；5.png (25.24 KB, 下载次数: 134)下载附件2015-6-17 11:15 上传见中点即联想到中位线。（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例4：如图，ABC中，

7、AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。 求证：DE=DF。6.png (2.01 KB, 下载次数: 113)下载附件2015-6-17 11:16 上传思路分析：1）题意分析： 本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形DEB与DFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG/CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。解答过程：证明：过E作EG/AC交BC于G，则EGB=ACB，又AB=AC，B=ACB，B=EGB，EGD=DCF，

8、EB=EG=CF，EDB=CDF，DGEDCF，DE=DF。7.png (1.88 KB, 下载次数: 106)下载附件2015-6-17 11:17 上传解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法：8.png (43.96 KB, 下载次数: 131)下载附件2015-6-17 11:18 上传例5：ABC中，BAC=60°，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。9.png (1.53 KB, 下载次数: 112)下载附件2015-6-17 11:18 上传思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知

9、识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作BC的平行线。得ADOAQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD就可以了。解答过程：10.png (2.28 KB, 下载次数: 96)下载附件2015-6-17 11:19 上传证明：如图（1），过O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=180°60°40°=80°，又AQO=C+QBC=80°，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=

10、AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70°，BOP=OBA+BAO=70°，BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图（2），过O作ODBC交AC于D，则ADOABO从而得以解决。11.png (21.1 KB, 下载次数: 144)下载附件2015-6-17 11:19 上传如图（5），过P作PDBQ交AC于D，则AB

11、PADP从而得以解决。12.png (2.66 KB, 下载次数: 91)下载附件2015-6-17 11:20 上传小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题

12、目。例6：如图甲，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求证：CD=AD+BC。思路分析：13.png (2.5 KB, 下载次数: 91)下载附件2015-6-17 11:20 上传1）题意分析： 本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙14.png (3.3 KB, 下载次数: 99)下载附件2015-6-17 11:21 上传FCE

13、BCE（SAS），2=1。又ADBC，ADC+BCD=180°，DCE+CDE=90°，2+3=90°，1+4=90°，3=4。在FDE与ADE中，FDEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC。解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个

14、三角形中证明。2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。小结：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角形。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平

15、分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆 半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端