n阶行列式的定义

1、第二节n阶行列式的定义介绍线性代数的思想方法及其要点，关于行列式定义的说明以及学习中要特别注意之处内容要点：从三阶行列式讲起，应如何定义行列式，对于更高阶行列式定义的启发于思考。一、排列与逆序定义 1 1 由自然数 1,2,n 组成的不重复的每一种有确定次序的排列，称为一个 n 级排列（简称为排列）。例如，1234 和 4312 都是 4 级排列，而 24315 是一个 5 级排列.规定自然数的排列由小到大的次序为标准次序。定义 2 2 在一个n级排列（讨2itisin）中，若数 itAis,则称数 it与 is构成一个逆序.一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为N（i1i2in）.

2、根据上述定义，可按如下方法计算排列的逆序数：设在一个n级排列中2in中，比 ik（k=12，n）大的且排在 ik前面的数由共有 tk个，则ik的逆序的个数为 tk,而该排列中所有自然数的逆序的个数之和就是这个排列的逆序数.即nN（i1i2in）5t2n八 tk.k1定义 3 3 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列.二、n n 阶行列式的定义定义 4 4 由 n2个元素 aj（i,j=1,2，n）组成的记号a11a12a1na21a22-a2n一.*-*an1an2-ann称为n阶行列式，其中横排称为行，竖排称为歹 U,它表示所有取自不同行、不同列的n个元素乘积助产2a

3、叽的代数和，各项的符号是：当该项各元素的行标按自然顺序排列后，若对应的列标构成的排列是偶排列则取正号；是奇排列则取负号.即a11a12a1na21a22a2n.-,.,.AA=Z(_1)N(j1j2jn)a1j1a2j2anjan1an2annj1j2jn其中Z表示对所有n级排列 j1j2jn求和.行列式有时也简记为 det（aj）或|aj|,这里jj.jn数 aj称为元素，称（-1）N（j1j2jn）&j1a2j，anjn为行列式的一般项.注：（1）n阶行列式是 n!项的代数和，且冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身所带的符号）各占一半；（2） %1a2jJ,anjn的符号为（。

4、“2（不算元素本身所带的符号）;（3） 一阶行列式|a产a,不要与绝对值记号相混淆.三、对换为进一步研究 n 阶行列式的性质，先要讨论对换的概念及其与排列奇偶性的关系。定义 5 5 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续称为对换。将两个相邻元素对换，称为相邻对换。定理 1 1 任意一个排列经过一个对换后，其奇偶性改变。借助课件设计的动画形象解释证明思路。推论奇排列变成自然顺序排列的对换次数为奇数，偶排列变成自然顺序排列的对换次数为偶数.定理 2 2n 个自然数（n1）共有 n!个 n 级排列，其中奇偶排列各占一半.定理 3 3n阶行列式也定义为D（-1）saiiji

5、ai2j2ainjn其中 S 为行标与列标排列的逆序数之和.即 S=N（ili2in）十 N（jlj2jn）。推论 n 阶行列式也可定义为D二，（一1严2h1向22ainn,例题选讲:排列与逆序例 1 1（教材例 1 1）计算排列 32514 的逆序数.n n 阶行列式的定义(1)a23a31a42a56a14a65;(2)a32a43a14a51a66a25.例 9 9（教材例 6 6）用行列式的定义计算 Dnn-1课堂练习视讲课时间而定，布置课堂练习1 .若（_1严1432k心（52j14）ai5a42a3ja21ak5是五阶行列式的一项,例 4 4（教材例 3)3)计算行列式 D二例 5 5（教材例 4)4) 计算上三角形行列式a110a12a22a1na2nann(&e22ann=0).对换例 8 8（教材例5 5) )在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号例 2 2 计算排列 217986354 的逆序数,并讨论其偶性.i,j,k 应为何值？此时该项的符号是什么？0101E/，,一10102 .用行列式的定