全微分方向导数偏导数与连续四者之间的关系

1、.z；:(0,0)二1网z(:cos1,：sin)-z(0,0)全微分、方向导数、偏导数与连续四者之间的关系朱丽娜郑州工业安全职业学院451192摘要本文结合具体实例分三种情况分别讨论了二元函数的全微分、偏导数和连续之间的关系，全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系，任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系，从而得出他们四者之间的所有关系。关键词全微分，任意方向上的方向导数，偏导数，连续对于多元函数的偏导数、方向导数、偏导数和连续等基本概念及其内在联系，既是多元函数微分学中的重难点知识，也是我们教学过程中容易出现的误解和错误盲点.本文就该问题分三种情况、以二元函数为例来加以阐述，以做到

2、加强理解和灵活掌握的目的.一、全微分、偏导数和连续三者之间的关系定理1：（必要条件）如果函数z=f（x,y）在点（x,y）可微分，则该函数在点（x,y）连续且一阶偏导数存在.定理2：（充分条件）函数z=f（x,y）在点（,y0）处对x,y的一阶偏导数存在且连续，则在该点处必可微分.读者还可以从可微的定义看到函数在可微点处必连续，但是在函数的连续点处不一定存22在偏导数，当然更不能保证函数在该点可微.如z=Jx+y在原点连续，但是在该点处偏导数不存在，也不可微.偏导数存在，函数却不一定可微，也不一定连续.二、全微分存在和任意方向的方向导数存在之间的关系定理3：函数z=f（x,y）在点（%,%）处

3、可微分，则在该点处任意方向上的方向导数存在，反之不成立.例1：函数z=Jx2+y2在点（0,0）处对x,y的全微分不存在，但在该点处沿任意方向的方向导数存在.证明：生=啊z-0。8（0,0）瓯1im1Ax0 x-1,x二0,故z=Jx2+y2在点（0,0）处对x的偏导数不存在,同理z=Jx2+y2在点（0,0）处对y的偏导数不存在,由定理1z=Jx2+y2在点（0,0）处又x,y的全微分不存在.2在点（0,0）处沿任意方向的方向导数为即任意方向上的方向导数存在.三、任意方向的方向导数、偏导数和连续之间的关系咱们下面介绍一个更易出错的概念，大多数人以为“若函数在一点处沿任意方向的方向导数存在，则

4、函数在该点处必连续”.这是一个完全错误的概念，如：7,x2y2；0,4,y,它在任意方向上的方向导数为:=0,11一亍=一z（00）,即函数在该点不连续.2定理4：函数z=f（x,y）在点（xo,yo）沿任意方向上的方向导数存在，则在该点处偏导数必存在.证明：函数在点（%,%）的任意方向的方向导数为:(xo,yo)当Ay=0时，该方向导数即为函数在点（%,y0）的偏导数，即偏导数存在且为:例2:2xy:z.:1(0,0)=11moz(:cos：,Pcos:)-z(0,0)cos二cos2:2coscos2:,COSQ：”0,=cos;0,cos：=0,这一结果表明r2xyx2x2y4,0,x2

5、y2=0:0-在点（0,0）处沿任意万向的万向导数都存在.但是1im_z=limy=xx)0-xxx-0.zz(xox,yoy)-z(xo,y).z:x(xo,yo)=lim.J0z(xx,yo)-z(%,y)_；z：l(xo,yo)cz(y0)1(x0,y0)存在.该定理还有两个结论:结论1：函数函数z=f（x,y）在点（5,y）处的偏导数存在，但在该点沿任意方向上的方向导数不一定存在.彳，x2,y2:0,3 启口上.、27在点（0,0）处又x,y的偏导数存在，但在该点处沿0,xy=0,任意方向的方向导数不存在.同理，一=0存在:Y（0,0）但该函数沿任意方向上的方向导数:z(:COSF,：

6、sin)-z(0,0)P：2cosE：sinsin21.1.=lim0=二端行不存在结论2:函数函数z=f（x,y）在点（x0,y0）处的偏导数不存在，但在该点沿任意方向上的方向导数可能存在.例4：函数z=Jx2+y2在点（0,0）处对x,y的偏导数不存在，但在该点处沿任意方向的方向导数存在.证明：函数z=x2+y2在点（0,0）处对x,y的偏导数为：故函数在点（0,0）处对x的偏导数不存在，同理函数在点（0,0）处对y的偏导数不存在,由上面的例2知道函数在点（0,0）处沿任意方向的方向导数存在.定理5：函数z=f（x,y）在点（5,y）处对x,y的一阶偏导数存在且连续，则在该点处沿任意方向的方向导数必存在.证明：由定理知函数z=f（x,y）在点（x0,y0）处可微分.又由定理知函数z=f（x,y）在点（,y0）处沿任意方向的方向导数必存在.xy例3：函数z=(x2y2)证明： ：zjx=lim(0,0)x0z(：x,0)-z(0,0)二0日（0,0）臣改(0,0)z(：x,0)-z(0,0)LxJ_1,-：x0,-1,x:0,（n2）函数性综合以上分析知，上述研究问题的手段即是我们今后教学中研究多元质值得借鉴的基本方法，更为广大同学的学习提供了一种讨论类似数学问题的基本思路.参考文献：1 .