常见递推数列通项的九种求解方法

1、页眉内容常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思 维能力的好题。 要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。解决方法类型一：ani an f(n) (f n可以求和)累加法例1、在数列 an中，已知a1=i,当n 2时，有an an 1 2n 1 n 2 ,求数列的通项公式。解析：Q an an 1 2n 1(n 2)a2 a 1上述n 1个等式相加可得:2anna3 a2 3a4a35Man an 1 2n 12 an a1 n 1评注：一般情况下，累加法里只

2、有 n-1个等式相加。【类型一专项练习题】1、已知 a1 1, an an 1 n( n 2),求 an。2、已知数列 an , a1 =2, an1=an+3 n+2,求 an。3、已知数列an满足an 1an 2n 1, a1 1 ,求数列an的通项公式。4、已知2口中，a13, an 1 an 2n，求 an。一 15、已知 a12, an 1ann1, 一一、，-(nN ),求数列an通项公式.6、已知数列 an满足a11, an3n 1an 1 n 2 ,求通项公式an ?7、若数列的递推公式为a13,an 1an 2 3n 1(n-* . N ),则求这个数列的通项公式8、已知数列

3、an满足an 1 an2 3n 1, a1 3,求数列an的通项公式。119、已知数列 an满足a1 一，an 1 an =,求an。2n2 n10、数列 an 中，a12, an 1 ancn (c是常数，n 1,2,3,L ),且a，a2, a3成公比不为1的等比数列.(I)求c的值;(II )求an的通项公式.11、设平面内有n条直线(n 3),其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f (n)表不这n条直线交点的个数，则 f(4) ;当n 4时，f(n) (用n表示).答案：1.ann(n 1)c n(3n 1)2. an22n2 1 4.an2n1 5.an6.an

4、7.an12 3n 1 8. an 3n n 13 19. an- - 10.(1)2 (2) an2 nn2 n 211.(1)5 (2)类型二：an1 f(n) an(f(n)可以求积)解决方法累积法例1、在数列an中，已知a11,有nan1n 1an,( n 2)求数列an的通项公式。解析：an 亘.L2a2 al an 1 an 2 an 3 a2 a1一 _ / *又Qa1也满足上式；an(n N )n 1评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。【类型二专项练习题】-n 11、已知 a1 1, an an1(n 2),求 an。n 12、已知数列an满足a1 2 , an 1

5、nan ,求an。3n 13、已知an中，an 1 n an,且a1 2 ,求数列an的通项公式 n 23n 14、已知 a1 3, am 3nan (n 1),求 an。3n 25、已知a1 1, an n(an 1 an) (n N ),求数列an通项公式.6、已知数列 an满足a1 1, an 12n an,求通项公式an?7、已知数列an满足an 1 2(n1)5n an, a1 3 ,求数列an的通项公式。(n 1)an 1 ( n2),则an的通项8、已知数列an,满足 a1=1, an a1 2a2 3a39、设an是首项为1的正项数列，且(n + 1) a2 1 - na2 +

6、an+1 an = 0 ( n = 1,2, 3,)，求它的通项公式.10、数列an的前n项和为Sn,且a11 ,Sn= n2an(nN*),求数列an的通项公式页眉内容215. an32答案:1. an2. an n23n3.an7. an3 n!2nn2 n5 -8.an可。解析:4.an63n 1n2 n5. an n 6. an2 2类型三an 1Aan可将其转化为an在数列设anan中,a13 anan3 an【类型三专项练习题】1、在数列an中,2、若数列的递推公式为3、已知数列an中,9.10. an解决方法B(其中A,B为常数AA(an t),其中 t BA1,当n 2时，有a

7、n，则ana110,1待定常数法an t为公比等于A的等比数列，然后求an即求数列 an的通项公式。3an 1 2t是以a11 2为首项，以3为公比的等比数歹U。2an3,求数列an的通项公式。a1a1=1,1,an 12an一， .* . 2(n N ),则求这个数列的通项公式an1+ 1 (n 2)求通项 an .4、在数列an(不是常数数列)中,an 112 an1 2且a1-,求数列 an的通项公式.35、在数列an中,1, an 131, 求 an .6、已知数列an满足a1 1,an 12an, ， 一*、1(n N ).求数列an的通项公式.7、设二次方程anX2- an+1,x

8、+1=0(n CN)有两根a和3,且满足6 a -2 a 3 +6 3 =3.试用an表示an 1；(2)求证：数列an2_2是等比数列;3(3)当7时，求数列6an的通项公式，8、在数列an中，Sn为其前3n项和，右a1 2a22 ,并且 Sn 10(n 2)试判断an 1 (n N )是不是等比数列?答案：1. an3n 2 2.an 22n 1 3.an 2 21 n 4.n1 3n 1页眉内容n6. an21 7.(1) an 1n121 口3 an 328g类型四：A4BanCan 1 0;其中A,B,C为常数，且A B C 0可将其转化为A an 1anan 1 n 2A(*)的形

9、式，列出方程组B，解出C还原到(*)式，则数列anan是以a2a1为首项，为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出an。例1在数列an中,aia24 ,且 an 1 3an 2an 1 n2求数列an的通项公式。解析：令an 1an(anani),(n 2)得方程组解得1,2;则数列an 1an是以a2ai为首项，以2为公比的等比数列评注：在Aan 1 BanCan 10;其中A,B,C为常数，且A B C0中,A+B+C=0,则一定可以构造an 1 an为等比数列。例2 已知a12、a23,an 16an 1 an (n2) , 求 an解析：令anan 1 n 2 ,整理得an 1

10、anan 1an 1 3ana2 3al 2n两边同除以2n今anbn ，bn 1ibn4 令 bn1t i bn3 an2 22bn94322t910bn93102bn910故bn910是以bi9109101一为首项,10-为公比的等比数歹u。2bn910110bn910110即an n2910工10得 an - 2n10【类型四专项练习题】页眉内容21,、1、已知数列 an 中，a11, a2 2 , an 2 _ an 1 an，求 an。33一 一 552 一.一2、已知a1=1,a2=- ,a = an 1- an,求数列an的通项公式an.3333、已知数列an中，Sn是其前n项和

11、，并且Sn14an2(n1,2,L),a11,设数列 bn an 1 2an (n 1,2,)，求证：数列 bn是等比数列;an 2an 1 2n1,两边同除以2n得an any 222设数列cn a_,(n 1,2,),求证：数列cn是等差数列；2求数列an的通项公式及前n项和。an 2n 1 3(n 1) 2n 2; sn (3n 1) 2n 24、数列 an : 3an 2 5an 1 2ann 131答案：1.an 13 1143，2 n14. an3b 2a3(a b)-类型五：an 1pan0(n 1,n N),a a,a2 b,n2_n 12.an3 3 -3.(3) an2n

12、1求数列an的通项公式。3(n 1) 2n 2; sn(3n 1) 2n 2f(n) ( P 0且 P 1)一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。1例1 设在数列 an中，a1 1, an -an 1 2n 1 n 2求数列 an的通项公式。2解析：设bn an An b展开后比较得、一1一这时 bn -bn 1n 2 且bn an 4n 6 21 bn是以3为首项，以一为公比的等比数列2bnn 1n 1113 1 即3 122an 4n 6,n 1an 34n 62在数列an中，a12 , an 2an 1 2n 1 n2求数列 an的通项公式。解析：Q an 2an 1

13、2n 1 n 2an是以曳=1为首项，2为公差的等差数列。2n2页眉内容3、已知 a12 , an 14% 2n 1,求 工。1 2 2n即ann2 2n 1例3 在数列中，a15an 2an 1*2, n N 求数列an的通项公式。解析：在an2an2n1中,先取掉2n,an 2an令anan 1，即an2(an 11)；然后再加上2n得 an2 an 12nan 12 an 1 12n两边同除以2n,得 a2nan 112n 11;an2n是以已1 2为首项，1为公差的等差数歹U。2an 12n1,on2 n 1评注:若f(n)中含有常数,则先待定常数。然后加上n的其它式子，再构造或待定。

14、已知数列an满足an1 3an 52n4, a11,求数列an的通项公式。解析:在 an 1 3an5 2n 4中取掉5 2n待定令an3 an t3an 2t 2t 4t 2； an 1 2 3 an 2 ,再加上 5 2n得,an5 2n整理得：a一2 n 1an令an22nbn,则 bn2bn令bn 1即bn1bnbn 1522bn5；bn数列bn5是以bla1213一为首项,23士为公比的等比数歹U。2bn 5132n 1.3,即 an222n13 32 2;整理得an13 3n 1 52n 2类型5专项练习题:1、设数列 an的前n项和Sn43 an12 31,n N ,求数列an的

15、通项公式。2、已知数列 an中,a1。，点 n,2an 12在直线y x上，其中n1,2,3L L .(1 )令 bnan 1an 1,求证：数列bh是等比数列;(2) 求数列an的通项；页眉内容4、设数列 an : a14, an3an 1 2n 1,(n 2),求 an.5、已知数列an满足a1 2,an 1 2an (2n 1),求通项an 3.一一 .6、在数列an中，a1 , 2an an 1 6n 3,求通项公式 an。25 117、已知数列an 中，a1- ,an1-an(-)，求an。6 328、已知数列 an, a1=1, nCN , an 1 = 2 an + 3 n ,求

16、通项公式 an .9、已知数列an满足an 1 3an 2 3n 1, a1 3,求数列an的通项公式。10、若数列的递推公式为 a1 1,an 1 3an 2 3n 1(n N ),则求这个数列的通项公式11、已知数列 an 满足 a1 1,an 1 3an 2n1,求an.12、已知数列an满足an 1 2an 3 2n , a1 2,求数列an的通项公式。13、已知数列an满足an 1 2an 3 5n, a1 6,求数列an的通项公式。 n 114、已知 a1 1, anan 1 2 ，求 an。15、已知an中，a1 1 , an 2an 1 2n (n 2),求 an.16、已知数

17、列 an中，Sn是其前n项和，并且Sn 14an 2(n 1,2,L ), a1 1,16.(3) an2n 1 3(n 1) 2n 2; sn (3n 1) 2n 2设数列 bn an 1 2an(n 1,2,)，求证：数列bn是等比数列;设数列cn an,(n 1,2,),求证：数列cn是等差数列;2求数列 an的通项公式及前n项和。答案：1. an4n 2n 2.(2)an4 n2nn 195. an5 2 2n 1 6. an - 7. ann nn2 3.an42 4. ann2 28. an 3n 2n 9. an (2n -) 3n 36210. an3n(7 2n) 11. a

18、n 3Lcn1cn1n 1n nn 15 3212. an (3n 1) 213. an 5214. an2n 115.2n页眉内容Sns1 1类型六：an1c an解决方法pan倒数法例1 已知a14an 12 an2an 1，求 an。解析：两边取倒数得:an 12 an1,设工anbn ,则 bn1;令 bn 1 t1L-(bn t)；展开后得, 22;bn1 2bnbna1-为首项,41 ，一，一1为公比的等比数歹U。2an1，得an2n 12n 2 7 评注：去倒数后，一般需构造新的等差(比)数列。 【类型六专项练习题】：1、若数列的递推公式为a111一，3, 一 2(n ),则求这

19、个数列的通项公式。an 1an2、已知数列 an满足a11,n 2 时，an 1 an 2anan,求通项公式 an。3、已知数列 an满足:anan 1 -,a1 an 111 ,求数列 an的通项公式。4、设数列an满足a12, aanan，求 an .,35、已知数列 an满足a1=13an3an二，求 an66、在数列an中,a2,an 13a一 一-3a，求数列an的通项公式.an 37、若数列 an中，a二1, a答案:1.an6n2. an.2a an12n 13. an3n 24.an22 3n 15. an12n 16. an7.2n 1an类型七:解决方法Snf(an)an(n 1)(n 2)页眉内容例1 已知数列a