圆锥曲线齐次式与点乘双根法

1、圆锥曲线齐次式与点乘双根法,圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值_ ,_ x2 y2. 一 一 _ _ ,例1： Q,Q2为椭圆 3 1上两个动点，且 OQ1 OQ2,过原点O作直线Q1Q2的垂 2b2 b2线OD ,求D的轨迹方程.解法一（常规方法）：设Q1（X1,y）Q2（X2, y2）, D（xo, yo）,设直线QQ?方程为y kx my kx m化简可得：1联立x2y22b7 F2 222(2b2k2 b2)x224kmb x2222b2(m2 b2) 0,所以X1X2_ 2 22b (mb2)2 222b2k2 b2,yy222_22b (m 2b k )2222b2k2 b2因为

2、OQiOQ2所以_ 2222b (m b )x1x2 y1 y22 2 22b k b22_ 2 2b (m 2b k )2222b2k2 b2-222(m b )""22k2 122. 2m 2b kZ2 2k2 1=0_2_223m 2b (1 k )L又因为直线Q1Q2方程等价于为 yx0 /y0一(xyox。x y。2x。一y。对比于 y。xq, V。y kx m,则 2x0V。Vo解法二（齐次式）：代入中，化简可得:2 x02y。2b2. 3设直线Q1Q2方程为mx nymx1,联立 x22b2nyy2b2mx2 x2b2ny 12y222, 一 一 x y(mx

3、 ny) 0化简可得：一当2b b2mnxy 0整理成关于x,yx, y 的齐次式：(2 2b2n2)y2_2 22(1 2m b )x. 24mnb xy 0 ,进而两边同时除以X2,则_2222_22(2 2b n )k 4mnb k 1 2m b 01 2m2b22 2b因为 OQ1OQ2 OQ1 OQ2 所以 k1k2_ 2 22m b12 22 2b n_ 2223 2b (m n )L又因为直线Q1Q2方程等价于为 y y。x0一(x x°), y0Xo Xyo2X3一 Vo对比于V。mx ny 1 ,X022x0y0代入中,化简可得:例2:已知椭圆2X0y2V。2X02

4、V。2b2. 31,设直线l不经过点P(0,1)的直线交于A,B两点，若直线PA, PB证明：直线l恒过定点.的斜率之和为1,解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系x'py',如图所示:旧坐标新坐标(x, y) (x',y')即(0,1)(0,0)所以x' xy' y 1A A'B B'原来kpAkpB1 2二五 1则转换到新坐标就成为：江正 1x1x2x1' x2'即 k1' k2'1设直线l方程为：mx' ny' 1原方程：x2 4y2 4则转换到新坐标就成为：x'2

5、4(y' 1)2 4展开得：x'2 4y'2 8y' 0构造齐次式：x'2 4y'2 8y'(mx' ny') 0整理为：(4 8n)y'2 8mx'y' x'2 022两边同时除以x',则(4 8n)k' 8mk' 1 0所以k,' k2'而 mx' ny' 18m11 所以 2m 2n 1 m n -4 8n21x' (n -)x' ny' 1 n(x' y') 1 0对于任意 n都成立.则:

6、x' y' 0x'一 1 02x' 2x 2,故对应原坐标为所以恒过定点(2, 1).y' 2y 1例3:已知椭圆1,过其上一定点P(2,1)作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于A, B两点，证明：直线 AB斜率为定值.解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系x'py',如图所示:旧坐标新坐标(x, y) (x',y')即(2,1)(0,0)所以A A'B B'原来kPA kPB 0 "J 且 0则转换到新坐标就成为:x1 2 x2 1yixiy2x2即 k1' k2' 0设直线

7、AB方程为：mx' ny' 1原方程：x2 4y2 8则转换到新坐标就成为：(x' 2)2 4(y' 1)2 822展开得：x' 4y'4x' 8y' 0构造齐次式：x'2 4y'2 4x'(mx' ny') 8y'(mx' ny') 0整理为：y '2 (4 8n) x'y'(4n 8m) (1 4m)x'2 0两边同时除以 x'2,则(4 8n)k'2 (4n 8m)k' 1 4m 0所以 K' k2

8、'4n 8m 0 所以 n 2m24 8n1 而 mx' ny' 1 mx' ( 2m)y' 1 mx 2my 1 0 .所以 k=-2平移变换，斜率不变，所以直线 AB斜率为定值1.2二，点乘双根法例4：设椭圆中心在原点 O,长轴在x轴上，上顶点为 A,左右顶点分别为 F1, F2,线段OFi,OF2中点分别为Bi,B2,且ABiB2是面积为4的直角三角形(1)求其椭圆的方程 过Bi作直线l交椭圆于P,Q两点，使PB2 QB2,求直线l的方程.22解：(i) L L 1204y k(X 2) P(xi, yl), Q( X2 , y2) :(2)易知：直线l不与轴垂直，则设直线l方程为:uuur uuuu因为 pb2 qb2,则 PB2gqb2=o,所以(Xi 2,yi)(X2 2,y2) 0(x, 2)(x2 2) k2(xi 2)(x2 2) 0Ly k(x 2)现联立x2y2X2 5k2(x 2)2 20 0一 。i204则方程 x2 5k2(x 2)2 20 0 可以等价转化(i 5k2)(xi x)(x2 x) 0即 x2 5k2(x 2)2 20 (i 5k2)(xi x)(x2 x)2, 4 80k2 20 (i 5k2)(xi 2)(x2 2)(Xi 2)(X2 2)80k2 i6i 5k22, 4 0 20 (i 5