必修2.3.1.1倾斜角与斜率

1、§必修2.3.1.1 倾斜角与斜率教学目标1 .掌握直线倾斜角的定义和取值范围.2 .掌握直线斜率的定义、斜率与倾斜角的关系.3 .掌握过两点的直线的斜率计算公式.学习内容1 .倾斜角与斜率(1)倾斜角与斜率的概念倾斜角斜率前提条件直线l与x轴相交倾斜角不是90°定义取x轴作为基准，x轴正向与直线 l向上方向之间所成的角直线l倾斜角的正切值表示或记法ak= tan a(2)倾斜角与斜率的对应关系图示陋斜角(范围)90y Y180”i>o 斜率不存在t<o由上表可知直线l的倾斜角”的取值范围是0°帝180 °,斜率k的取值范围是( 8, +8

2、).2.过两点的直线的斜率公式y2yi直线过两点 Pi（xi, yi）, P2（X2, y2）,其斜率 k= （xi次2）.X2 Xi例题讲解10题型一 求直线的倾斜角与斜率12的斜率.例1】 如图，直线li的倾斜角/1=30°,直线li±l2,求li ,分析：对于直线11的斜率，可通过计算tan 30直接获得，而求直线12的斜率则需要先求出倾斜角2解析：11的斜率k1 = tan 1 = tan 30 = 3 .12 的倾斜角 «2=90°+ 30° = 120°,12 的斜率 k2 = tan 120 =tan(180 - 60

3、)=- tan 60 =- V3.点评：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及三角函数的诱导公式及特殊角正切值，还用到了平 面几何知识，o2= a1 + 90 ,然后再求tan a2即可.巩翊求倾斜角为下列数值的直线的斜率.(1)“= 30° (2)“= 45° (3)“= 60° (4) “= 0题型二根据斜率公式求斜率例 2 已知 A(3,3), B(4,2), C(0, 2),(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线 AD的斜率的变化范围.解析：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率231kAB= 43 = r-

4、2-3 c直线AC的斜率kAc= = 5, 0-33直线AB的斜率为1:, AC的斜率为5.73(2)如图,1 5AD的斜率的变化范围是 5，3 .当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAc,所以直线点评：(1)当已知两定点坐标，求过这两点的直线斜率时可直接利用斜率公式求解，应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等.若相等，直线垂直x轴，斜率不存在；若不等，再代入斜率公式求解.(2)数形结合是解决数学问题常用的思想方法.当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与 x轴垂直时，斜率由0逐渐增大到+ 8(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到与 x轴垂直时，斜率由0逐渐

5、减小至一8(即 斜率不存在).皿固】求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.(1)(1,1), (2,4); (2)( 3,5), (0,2); (3)(4,4), (4,5); (4)(10,2) , (-10,2).题型三三点共线问题例 3 求证：A(1,1), B(4,7), C(-1, 3)三点共线.证明：由斜率公式知kAB = 1 =2, kAC = 13 = 2. 4-11+1则kAB=kAc,且直线AB与AC均过点A,即直线AB与AC重合，也即A, B, C三点共线.点评：已知三点中，若任意两点连线的斜率相等，则此三点一定共线；反之，当三点共线时，任意两点连线的

6、斜 率一定相等(除非都不存在).解这类问题时要先对斜率是否存在作出判断，有时要先进行讨论，然后再下结论.巩卸 已知三点 A(0, a), B(2,3), C(4,5a)在一条直线上，求 a的值, 并求这条直线的倾斜角.综合题库1 .填空：（1）当直线与x轴平行或重合时，它的倾斜角为 .（2）当直线倾斜角为 90。时它的斜率 . “取值范围是 2 .如图所示，直线l与y轴垂直，则直线l的倾斜角为（）A. 0°C. 180°B. 90°D.不存在3.已知直线l的倾斜角a= 30°,则其斜率k的值为（）A. 03B.yC. .3D.4.已知直线l的斜率k= 1

7、,则其倾斜角为 B组1 .直线l经过原点和（1, 1）,则它的倾斜角是（）A . 45：B. 135°C. 45 ° 或 135°D , - 45 °2 .以下四个命题错误的是（）若直线的斜率存在，1rm必有倾斜角与之对应；若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；坐标平面上所有的直线都有倾斜角；坐标平面上所有直线都有斜率.A.B . rC.D.3 .过两点(2*, 6)和(一43, 3)的直线的斜率为()A .-小B，V3C.-乎 D.乎4 .下列各组点中，三点共线的是()A. (1,4), (1,2), (3,5)B . (-2, 5), (7,6), (5,3)一八 1C. (1,0), 。， 3，(7,2)D . (0,0), (2,4), (1,3)5 .直线2x 3y+1 = 0的一个方向向量是()A. (2, -3)B . (2,3)C. (-3,2)D. (3,2)6 .过点M(2, m), N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为(A. 1B. 4C. 1 或 3 “D. 1 或 4)A1 .如图，直线11, 12, 13的斜率分别为k1, k2, k3,则(A. ki<k2<k3B. k3< ki<k2C. k2<k