微分中值定理和导数的应用

1、第四章 微分中值定理和导数的应用4.1 微分中值定理费马引理：设函数 y=f(x) 在点的一个邻域上有定义，并在可导，如果（或则一、罗尔(Rolle) 定理1. 罗尔( Rolle )定理如果函数 f(x) 在闭区间 a ， b 上连续， 在开区间( a， b ) 内可导，且在区间端点的函数值相等，即 f(a)=f(b) ，那么在( a,b )内至少有一点函数 f(x) 在该点的导数等于零，即2. 几何解释 :在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线是水平的。-1 ， 3 上是否满足罗尔定理例 1. 判断函数条件，若满足，求出它的驻点。【答疑编号 11040101 】解满足在 -1 ， 3

2、上连续，在( -1 ， 3)上可导，且f(-1)=f(3)=0，,取有几例 2. 设 f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5) ，判断个实根，并指出这些根所在的区间。【答疑编号11040102 】a， b )内二、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理1. 拉格朗日 (Lagrange) 中值定理如果函数 f(x) 在闭区间 a,b 上连续，在开区间(可导，那么在( a,b )内至少有一点成立。注意：与罗尔定理相比条件中去掉了 f(a)=f(b)结论亦可写成2. 几何解释 :在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线平行于弦AR拉格朗日中值定理又称微分中值定理例 3 （教材 162

3、 页习题 4.1 ， 3 题（2）题）、判断f（x）=sinx 在上是否满足拉格朗日中值定理。11040103】推论 1 如果函数 f(x) 在区间 I 上的导数恒为零，那么 f(x) 在区间 I 上是一个常数。例 4 (教材 162 页习题 4.1 ， 4 题)、证明【答疑编号 11040104 】又即推论 2 假设在区间 I 上两个函数f(x) 和 g(x) 的导数处处相等，则 f(x) 与 g(x) 至多相差一个常数。4.2 洛必达法则型及型未定式解法：洛必达法则1、定义 如果当xf a (或xf 8)时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大，那么极限称为型未定式。例如,2、

4、定理设(1)当x-0时，函数f(x)及F (x)都趋于零；(2)在a点的某临域内(点 a本身可以除外)，V (x)及F，(x)都存在且F7 (x) w 0;3)存在(或为无穷大；那么3、 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则。当x-8时，以及 xfa, x8时，该法则仍然成立。4、例题分例 1 、求解：原式11040201】例 9 、求【答疑编号 11040202 】【答疑编号 11040203 】【答疑编号 11040204 】【答疑编号 11040205 】例 6、【答疑编号 11040206 】例 # 、求O【答疑编号11040207 】【

5、答疑编号 11040208 】解：原式例 9 、求解：原式11040209】例 10、求11040210】例 11（教材 168页，例8）、求(a>0)【答疑编号11040211】型未定式,解：当 x-+8时，in x +8,这是用洛必达法则,例 12、求n 是正整数）。【答疑编号 11040212 】解： 这是型未定式， 接连用洛必达法则n 次， 得。对于任意的a >0,同样可以证明型未定式解法关键：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型1、 0. oo型步骤：例 13、求。（0 8）例 14、求解：原式11040213】【答疑编号 11040214 】例 15（教材 169 页，例10）、求【答疑编号11040215 】解：当Xf8时,所以这是0 8型未定式。2、00 00型步骤:(oo - oo)例 16、求【答疑编号 11040216 】例 17（